EXERCICE1 4 points
Commun à tous les candidats
Le plan est muni d’un repère orthonormé³
O,−→ı,→−
´ .
On considère une fonctionf dérivable sur l’intervalle [−3 ; 2].
On dispose des informations suivantes :
• f(0)= −1.
• la dérivéef′de la fonctionf admet la courbe représentativeC′ci-dessous.
C′
−
→ı
−
→ O
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Pour tout réelxde l’intervalle [−3,−1],f′(x)60.
2. La fonctionf est croissante sur l’intervalle [−1 ; 2].
3. Pour tout réelxde l’intervalle [−3 ; 2],f(x)>−1.
4. SoitC la courbe représentative de la fonctionf.
La tangente à la courbeCau point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1; 0).
EXERCICE2 5 points
Commun à tous les candidats
Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier.
40 % des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise.
Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70 % d’entre eux sont retenus.
Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés.
1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat.
On considère les évènements suivants :
— D: « Le candidat est retenu sur dossier »,
— E1: « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien »,
— E2: « Le candidat est recruté ».
a. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
. . . D
b. Calculer la probabilité de l’évènementE1.
c. On noteFl’évènement « Le candidat n’est pas recruté ».
Démontrer que la probabilité de l’évènementFest égale à 0,93.
2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07.
On désigne parX la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.
a. Justifier queXsuit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10−3. 3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la
pro-babilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999?
EXERCICE3 6 points
Commun à tous les candidats
Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.
Partie A
On désigne parf la fonction définie sur l’intervalle [1 ;+∞[ par f(x)= 1
x+1+ln³ x x+1
´.
1. Déterminer la limite de la fonctionf en+∞.
2. Démontrer que pour tout réelxde l’intervalle [1 ;+∞[,f′(x)= 1 x(x+1)2. Dresser le tableau de variation de la fonctionf.
3. En déduire le signe de la fonctionf sur l’intervalle [1 ;+∞[.
Partie B
Soit (un) la suite définie pour tout entier strictement positif par un=1+1
2+1
3+...+1 n−lnn.
1. On considère l’algorithme suivant :
Variables : ietnsont des entiers naturels.
uest un réel.
Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur den.
Initialisation : Affecter àula valeur 0.
Traitement : Pour¯ ivariant de 1 àn.
¯¯
¯Affecter àula valeuru+1 Sortie : Afficheru. i
Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeurn=3.
2. Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur deun lorsque l’utilisateur entre la valeur den.
3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10−3.
n 4 5 6 7 8 9 10 100 1 000 1 500 2 000
un 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577 À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (un) et son éven-tuelle convergence.
Partie C
Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.
Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (un) telle que pour tout entier stric-tement positifn,
un=1+1 2+1
3+...+1 n−lnn.
1. Démontrer que pour tout entier strictement positifn, un+1−un=f(n) oùf est la fonction définie dans la partie A.
En déduire le sens de variation de la suite (un).
2. a. Soitkun entier strictement positif.
Justifier l’inégalité
b. Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivementkpar 1, 2, . . . ,net démontrer que pour tout entier strictement positifn,
ln(n+1)61+1 2+1
3+...+1 n. c. En déduire que pour tout entier strictement positifn,un>0.
3. Prouver que la suite (un) est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.
EXERCICE4 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct³
O,−→ u,−→
v´ .
On appellef l’application qui à tout pointMd’affixezdifférente de−1, fait correspondre le pointM′d’affixe 1
z+1.
Le but de l’exercice est de déterminer l’image parf de la droiteDd’équationx= −1 2.
Métropole 47 21 juin 2012
1. Soient A, B et C les points d’affixes respectives
a. Placer les trois points A, B et C sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique.
b. Calculer les affixes des points A′=f(A),B′=f(B) et C′=f(C) et placer les points A’, B’et C’ sur la figure.
c. Démontrer que les points A′, B′et C′ne sont pas alignés.
2. Soitgla transformation du plan qui, à tout pointMd’affixez, fait correspondre le pointM1d’affixe z+1.
a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformationg.
b. Sans donner d’explication, placer les points A1, B1et C1, images respectives pargde A, B et C et tracer la droiteD1, image de la droiteDparg.
c. Démontrer queD1est l’ensemble des pointsMd’affixeztelle que|z−1| = |z|.
3. Soithl’application qui, à tout pointMd’affixeznon nulle, associe le pointM2d’affixe 1 z. a. Justifier queh(A1)=A′,h(B1)=B′eth(C1)=C′.
b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nulz, on a :
¯¯
¯¯1 z−1
¯¯
¯¯=1 ⇐⇒ |z−1| = |z|.
c. En déduire que l’image parhde la droiteD1est incluse dans un cercleC dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
On admet que l’image parhde la droiteD1est le cercleC privé de O.
4. Déterminer l’image par l’application f de la droiteD.
EXERCICE4 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct³
O,−→ u,−→
v´ . On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives
zA= −1+i, zB=2i et zC=1+3i.
etDla droite d’équationy=x+2.
1. Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droiteD.
Sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droiteD.
2. Résoudre l’équation (1+i)z+3−i=0 et vérifier que la solution de cette équation est l’affixe d’un point qui n’appartient pas à la droiteD.
Dans la suite de l’exercice, on appellef l’application qui, à tout pointMd’affixezdifférente de−1+2i, fait correspondre le pointM′d’affixe 1
(1+i)z+3−i.
Le but de l’exercice est de déterminer l’image parf de la droiteD.
Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.
3. Soitgla transformation du plan qui, à tout pointMd’affixez, fait correspondre le pointM1d’affixe (1+i)z+3−i.
a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformationg.
b. Calculer les affixes des points A1, B1et C1, images respectives pargdes points A, B et C.
c. Déterminer l’imageD1de la droiteDpar la transformationget la tracer sur la figure.
4. Soithl’application qui, à tout pointMd’affixeznon nulle, fait correspondre le pointM2d’affixe1 z. a. Déterminer les affixes des pointsh(A1),h(B1) eth(A1) et placer ces points sur la figure.
b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nulz, on a :
¯¯
¯¯ 1 z−1
2
¯¯
¯¯=1
2 ⇐⇒ |z−2| = |z|.
c. En déduire que l’image parhde la droiteD1est incluse dans un cercleC dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
d. Démontrer que tout point du cercleCqui est distinct de O est l’image parhd’un point de la droite D1.
5. Déterminer l’image par l’application f de la droiteD.
Métropole 49 21 juin 2012
EXERCICE1 4 points Commun à tous les candidats
³O,−→ı,→−
,−→k´
est un repère orthonormal de l’espace.
On noteDla droite dont une représentation paramétrique est
Pour chacune des phrases ci-dessous, une seule des trois propositions est exacte. Dans chaque cas, indiquer la bonne réponse en justifiant soigneusement votre choix.
Il est attribué pour chaque question0,5point si la réponse est exacte et0,5point si la justification est correcte.
1. La droiteDet le planP sont : a. parallèles;
b. perpendiculaires;
c. non parallèles et non perpendiculaires.
2. SoitP′le plan contenant la droiteDet perpendiculaire au planP.P′admet pour équation carté-sienne :
a. −2y+z+2=0;
b. 2x−z=0;
c. x−y−z=0.
3. La droite∆, intersection du planP et du plan d’équation 2x−z =0, admet pour représentation paramétrique :
4. L’intersection de la sphèreS et du planP est : a. un point;
b. l’ensemble vide ; c. un cercle.
EXERCICE2 5 points
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³
O,→−u,−→v´ . On considère les points A, B et C d’affixes respectives
zA=p
3+i ; zB= −1+ip
3 ; zC= −1−3i.
On note D l’image du point C par la rotation de centre O et d’angle de mesureπ 2. On note E l’image du point B par la translation de vecteur−−→OC .
1. a. Écrire les nombres complexeszAetzBsous forme exponentielle.
b. Sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité graphique 2 cm, placer les points A et B et C.
c. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle.
2. a. Construire les points D et E. Calculer leurs affixeszDetzE. b. Montrer que les vecteurs−−→OE et−−→AD sont orthogonaux et que
OE = AD.
3. Le but de cette question est de retrouver le résultat précédent dans un cas plus général. Il est inutile de refaire une figure.
Soient A, B, C, D et E les points d’affixes respectives non nulleszA, zB, zC,zDetzEtels que le triangle OAB est rectangle isocèle en O avec³−−→
OA ;−−→ Le quadrilatère OBEC est un parallélogramme.
a. Justifier les égalités suivantes :
zB=izA ; zD=izC ; zE=izA+zC
EXERCICE2 5 points
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³
O,→−u,−→v´ .
On tracera la figure sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité graphique 1 cm.
Partie A : tracé d’une figure
Soient A, B et C les points d’affixes respectiveszA= −2−4i ;zB= −6i ; zC=3−3i.
1. Placer le point D tel que le triangle ABD est isocèle rectangle en D, avec
³−−→
Antilles–Guyane 51 13 septembre 2012
Le but de l’exercice est de montrer de deux manières que les droites (ED) et (BC) sont perpendiculaires et que les distances ED et BC sont égales.
Partie B : première méthode
1. Soitgla similitude directe de centre A qui transforme B en D.
a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitudeg.
b. En déduire que l’écriture complexe degest z′=
µ1 2+1
2i
¶
z−3−i.
c. Justifier que le point E est l’image du point O par la similitudeg. d. En déduire l’affixe du point E.
2. Calculer le module et un argument de zB−zC
zE−zD et conclure pour le problème posé.
Partie C : deuxième méthode
1. On considère la rotation de centre C et d’angleπ 2.
Quelle est l’image du point O par cette rotation? Justifier la réponse.
En déduire la nature du triangle OBC.
2. Soitf la similitude directe de centre B, d’angleπ
4 et de rapportp 2.
Soithla similitude directe de centre A, d’angleπ
4 et de rapport p2
2 . a. Donner l’angle et le rapport de la similitudeh◦f.
b. Quelle est l’image de la droite (BC) parh◦f ? Justifier.
c. Conclure pour le problème posé.
EXERCICE3 5 points
Commun à tous les candidats
Les rues d’une ville nouvelle sont structurées de telle sorte que les p‚tés de maisons sont des carrés super-posables et les rues sont toutes parallèles ou perpendiculaires. On identifie le plan de la ville au quadrillage d’un carré de 10 unités sur 10 dans lequel on se repère avec des points à coordonnées entières qui corres-pondent aux carrefours :
Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.
Nord
Est
O
A
Le point O a pour coordonnées (0; 0), le point A a pour coordonnées (4; 1).
On s’intéresse aux chemins partant de O et arrivant à un autre pointMde coordonnées (p;q) oùpetqsont des entiers naturels tels quep610 etq610.
À chaque intersection, on ne peut aller que vers le nord (N) ou vers l’est (E).
Dans tout l’exercice, on décrit un chemin à l’aide d’un mot composé successivement des lettres N ou E qui indiquent dans l’ordre la direction à suivre à chaque intersection.
On appellelongueurd’un chemin le nombre de lettres employées pour le décrire.
Par exemple :
Pour se rendre en A, on peut suivre par exemple les chemins NEEEE ou ENEEE (marqué en gras sur la figure) ; ces deux chemins ont une longueur égale à 5.
Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.
Partie A - Dénombrement
1. Donner la liste de tous les chemins permettant de se rendre en A.
2. SoitMun point de coordonnées (p;q) oùpetqsont des entiers naturels tels quep610 etq610.
Exprimer, en fonction depetq, la longueur des chemins qui permettent d’arriver enM.
3. Montrer qu’il y a¡p+q
p
¢chemins différents qui permettent d’arriver enM.
4. Dénombrer les chemins pour arriver au point C de coordonnées (7; 5).
5. Dénombrer les chemins pour arriver en C en passant par A.
Partie B - Étude d’une variable aléatoire
Tous les chemins considérés dans la suite de l’exercice vérifient les deux propriétés suivantes :
— ils sont de longueur 5;
— un promeneur part de O et à chaque intersection la probabilité qu’il aille vers le Nord est de 23 (et donc de13vers l’Est), indépendamment de son choix précédent.
Antilles–Guyane 53 13 septembre 2012
On appelleX la variable aléatoire qui à tout chemin suivi par le promeneur associe le nombre de fois où il va vers le Nord.
1. Énumérer, en donnant la liste de leurs coordonnées, tous les points sur lesquels peut aboutir un chemin.
2. Justifier queXsuit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
3. Calculer la probabilité que le promeneur arrive en A.
EXERCICE4 6 points
Commun à tous les candidats Partie A : étude d’une fonction
On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]1 ;+∞[ par f(x)= x
lnx
Sur l’annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbeC représentative de la fonctionf ainsi que la droiteDd’équationy=x.
1. Calculer les limites de la fonctionf en+∞et en 1.
2. Étudier les variations de la fonctionf sur l’intervalle ]1 ;+∞[.
3. En déduire que six>e alorsf(x)>e.
Partie B : étude d’une suite récurrente On considère la suite (un) définie par :
½ u0 = 5
un+1 = f(un) pour tout entier natureln
1. Sur l’annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbeC et la droiteD, placer les points A0,A1etA2d’ordonnée nulle et d’abscisses respectivesu0,u1etu2. On laissera apparents les traits de construction.
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite (un)?
2. a. Montrer que, pour tout entier natureln, on a :un>e.
b. Déterminer les variations de la suite (un).
c. En déduire que la suite (un) est convergente.
d. Déterminer sa limiteℓ.
3. On donne l’algorithme suivant :
Xest une variable réelle ;Y est une variable entière Affecter 5 àXet 0 àY
Tant queX>2,72 Faire
Affecter (X/lnX) àX AffecterY+1 àY Fin de Tant que
AfficherY
À l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l’algorithme.
n 0 1 2 3 4 5
un 5 3,106 674 672 8 2,740 652 532 3 2,718 372 634 6 2,718 281 830 01 2,718 281 828 5
Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.
ANNEXE
Exercice 4
Commun à tous les candidats