Page 1I-Notion de fonction.

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I- Notion de fonction.

Un procédé qui « transforme » les éléments de l’ensemble A pour

« obtenir » des éléments dans l’ensemble B établie une relation entre les éléments des deux ensembles, que l’on note f ou g … .

Définition :

Soient

A et B

deux ensembles.

On appelle fonction de A vers B , toute relation qui à chaque élément de

A

associe au plus un élément dans

B

.

II- Vocabulaire :

 L’ensemble A est dit : Ensemble de départ.

 L’ensemble

B

est dit : Ensemble d’arrivée.

 Pour tout x∈A , f

(

x

)

∈B .



f ( x )

est dit : Image de x par la fonction f .



x

est dit antécédent de f

(

x

)

.

 f

(

x

)

se lit f de x.

III- Exemple et notation.

f

:

R

⟶

R

x↦x²

Il s’agit d’une fonction numérique, l’ensemble de départ est

R

Et l’ensemble d’arrivée est R .

Seuls les nombres positifs ont des antécédents dans

R

.

+

¿:

R

^¿ Est l’ensemble des nombres réels positifs.

La représentation ci-dessus est dite représentation sagittale. Chaque antécédent est relié à son image par une flèche.

Ensemble de départ

Ensemble d’arrivée

Présentation cartésienne.

(Les points noirs indiquent les nombres qui sont en relation)

Exemple :

L’image de -1 est 1 Les antécédents de 1 sont -1 et 1

L’image de 1 est 1

L’image de -2 est 4 Les antécédents de 4 sont -2 et 2

L’image de 2 est 4

L’image de -3 est 9 Les antécédents de 9 sont -3 et 3

L’image de 3 est 9

L’image de 0 est 0 L’antécédent de 0 est 0



A

₂

(2;

4) : A₂ a pour coordonnées

(

2;4

)

.



B

₂

(−2 ;

4

)

: B₂ a pour coordonnées

(1;

1) .



A

₃

(3;

9) : A₃ a pour coordonnées

(3 ;9 )

.



B

₃

(−3 ;

9

)

: B₃ a pour coordonnées

(−3 ;

9) .

IV- Fonction linéaire et fonction affine.

1-

Fonction linéaire :

Définition :

On appelle fonction linéaire toutes fonction de

R

vers

R

, qui à x associe une image sous la forme ax .

Le nombre

a

est appelé coefficient de la fonction

f

. Le nombre ax est l’image de x par f .

Exemple :

f

:

R

⟶

R

x⟼2x

Le tableau ci-dessous présente quelques éléments de

R

et leurs images par la fonction f .

x

-3 -2,5 -2 0 1 2

f ( x)

^{-6 -5 -4 0 2 4}

Remarque :

La courbe représentative d’une fonction linéaire est une droite

( D )

qui passe par l’origine O du repère.

Un point

M ( x ; y )

: M de coordonnées

( x ; y )

appartient à la courbe représentative de la fonction

f

. Si y=f

(

x

)

.

On dit que la droite

( D )

a pour équation cartésienne

y= f (x )

. Ou bien

(

D

)

:y=ax

a est le coefficient directeur de la droite

( D)

. 2-

Fonction affine.

Définition :

On appelle fonction affine toutes fonction de

R

vers

R

, qui à x associe une image sous la forme ax+b .

Le nombre

a

est appelé coefficient de la fonction

f

. Le nombre b est appelé l’ordonnée à l’origine.

Le nombre

ax + b

est l’image de

x

par

f

.

Remarque :

Toute fonction linéaire est une fonction affine avec b = 0.

Exemple :

f

:

R

⟶

R

x⟼3x+2

Le tableau ci-dessous présente quelques éléments de

R

et leurs images par la fonction f .

x

-2 -1 0 1 2

f ( x)

^{-4 -1 2 5 8}

L’ordonnée à l’origine

Remarque :

La connaissance de l’ordonnée à l’origine et du coefficient directeur sont suffisant pour construire la droite représentative d’une fonction affine.