CORRIGE DES EXERCICES – LOIS A DENSITE
Exercice1 :
A partir de 7 heures le matin, les bus passent toutes les quinze minutes à un arrêt précis.
Un usager se présente à cet arrêt entre 7h et 7h30. On fait l'hypothèse que l'heure exacte de son arrivée à cet arrêt, représentée par le nombre de minutes après 7h, est la variable aléatoire uniformément répartie sur l'intervalle [0, 30].
1. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de cinq minutes le prochain bus ? 2. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de dix minutes ?
Corrigé :
Appelons 𝑋 la variable aléatoire de cet exercice. Alors 𝑋 ↪ 𝑈(0; 30).
1. 𝑝(𝑋 ≤ 5) = 𝑝(0 ≤ 𝑋 ≤ 5) =0/./-./ =0/- =12 ≈ 0,17 2. 𝑝(𝑋 ≥ 10) = 𝑝(10 ≤ 𝑋 ≤ 30) =0/.1/0/./ =8/
0/=8
0 ≈ 0,67 Exercice 2 :
Olivier vient tous les matins entre 7h et 7h 45 chez Karine prendre un café.
1. Sachant qu'Olivier ne vient jamais en dehors de la plage horaire indiquée et qu'il peut arriver à tout instant avec les mêmes chances, quelle densité peut-on attribuer à la variable aléatoire « heure d'arrivée d'Olivier
» ?
2. Calculer la probabilité qu'Olivier sonne chez Karine :
a) Après 7h30 b) Avant 7h10 c) Entre 7h20 et 7h22 d) A 7h30 exactement.
3. Calculer l’heure moyenne d’arrivée d’Olivier.
Corrigé :
1) Appelons 𝑋 le nombre de minutes après 7h qui correspond à son arrivée.
Alors 𝑋 ↪ 𝑈(0; 45)
2) a) 𝑝(𝑋 > 30) = 𝑝(30 < 𝑋 < 45) ==-.0/=-./ =1-=-=10 ≈ 0,33 b) 𝑝(𝑋 < 10) = 𝑝(0 < 𝑋 < 10) =1/./=-./=1/
=-= 8
>≈ 0,22 c) 𝑝(20 < 𝑋 < 22) =88.8/=-./ = =-8 ≈ 0,04
d) 𝑝(𝑋 = 30) = 0 Exercice 3 : Guyane 2015
Le temps d’attente en minutes à un péage est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 𝜆 = 0,2 (exprimé en min–1).
En moyenne, une personne attend à ce péage :
a. 2 min b. 5 min c. 10 min d. 20 min
Corrigé : 𝑋 ↪ 𝐸𝑥𝑝(0,2)
Or 𝐸(𝑋) =1C =/,81 = 5 donc en moyenne, une personne attend 5 min à ce péage.
Réponse b.
Exercice 4 : Nouvelle Calédonie 2015
On considère la production d’une usine de composants électroniques. On admet que la durée de
fonctionnement sans panne (en années) de ces composants peut être modélisée par une variable aléatoire 𝑋 suivant la loi exponentielle de paramètre 𝜆 = 0,1.
La probabilité qu’un composant pris au hasard soit tombé en panne au bout de 6 ans est, au centième près, de :
a. 1,6 b. 0,55 c. 0,45 d. 0,05
Corrigé :
𝑋 ↪ 𝐸𝑥𝑝(0,1). Dans cet exercice, la densité est donc 𝑓(𝑥) = 0,1𝑒./,1F
𝑝(𝑋 > 6) = 1 − 𝑝(𝑋 < 6) = 1 − ∫ 0,1𝑒/2 ./,1F𝑑𝑥 = 1— [𝑒./,1F]2/ = 1 − M−𝑒./,2− (−𝑒/)N = 1 + 𝑒./,2− 1 = 𝑒./,2 ≈ 0,55
La probabilité qu’un composant pris au hasard tombe en panne au bout de 6 ans est donc d’environ 0,55.
Réponse c.
Exercice 5 : Métropole septembre 2015
Un sismologue déclare en janvier 2014 : le « risque d’un séisme majeur le long de la faille de San Andreas, en Californie, dans les vingt prochaines années est supérieur à 70% ».
On s’intéresse au temps, exprimé en années, écoulé entre deux séismes majeurs le long de cette faille en Californie. On admet que ce temps est une variable aléatoire 𝑋 qui suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆.
Document 1
La faille de San Andreas, en Californie : séismes majeurs de magnitude supérieure ou égale à 5.
Document 2
1. Pour illustrer la situation, un élève utilise un tableur.
a. Proposer un titre pour la cellule A2 grisée.
b. Quelle formule a saisi l’élève dans la cellule C2 afin de compléter ce tableau jusqu’à la colonne S par « recopie automatique vers la droite » ?
2. a. Calculer en années la moyenne 𝑚, arrondue à 10.8 près, du temps écoulé entre deux séismes majeurs le long de la faille de San Andreas en Californie.
b. Justifier qu’une approximation du paramètre 𝜆 de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire 𝑋 est 0,0694.
3. a. Calculer 𝑝(𝑋 ≤ 20) à 10.8 près.
c. L’affirmation du sismologue paraît-elle cohérente avec cette modélisation par une loi exponentielle ?
4. Le dernier séisme majeur a eu lieu en 2014 à Napa. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas d’autres séismes majeurs le long de la faille de San Andreas, en Californie, avant 2050.
On arrondira à 10.8 près.
5. a. Résoudre l’équation 1 − 𝑒./,/2>=R = 0,95 b. Interpréter ce résultat.
Corrigé :
Remarque préliminaire : j’ai détaillé chaque calcul de la loi exponentielle avec des intégrales mais on peut utiliser les formules du cours.
1. a. Dans A2, on peut mettre : « nombre d’années entre deux séismes majeurs ».
b. Dans C2 : « =C1 – B1 » 2. a. 𝑚 =01STS=>S⋯S=
1V =8=-1V ≈ 14,41 b. 𝐸(𝑋) =1C =8=-1V donc 𝜆 = 8=-1V ≈ 0,0694
3. a. 𝑝(𝑋 ≤ 20) = ∫ 0,0694/8/ 𝑒./,/2>=R𝑑𝑡 = [−𝑒./,/2>=R]8// = 1 − 𝑒.1,0TT ≈ 0,75
b. 0,75 > 0,7 donc l’affirmation du sismologue paraît cohérente avec la modélisation par la loi exponentielle.
4. 2050 − 2014 = 36 donc on calcule 𝑝(𝑋 > 36).
𝑝(𝑋 > 36) = 1 − 𝑝(𝑋 ≤ 36) = 1 − ∫ 0,0694/02 𝑒./,/2>=R𝑑𝑡 = 1 − [−𝑒./,/2>=R]02/ = 1 − 1 + 𝑒.8,=>T= = 𝑒.8,=>T= ≈ 0,08
Il y a donc environ 92% de chances qu’il y ait un séisme majeur d’ici 2050.
5. a. 1 − 𝑒./,/2>=R = 0,95 ⟺ 𝑒./,/2>=R = 1 − 0,95 = 0,05 ⟺ −0,0694𝑡 = ln 0,05 ⟺ 𝑡 = −]^ /,/-/,/2>=≈ 43,17
b. 𝑝(𝑋 ≤ 𝑡) = ∫ 0,0694/R 𝑒./,/2>=F𝑑𝑥 = 1 − 𝑒./,/2>=R
On sait maintenant que 𝑝(𝑋 ≤ 𝑡) = 0,95 ⟺ 1 − 𝑒./,/2>=R = 0,95 ⟺ 𝑡 ≈ 43,17
La probabilité qu’il y ait un séisme majeur dans les 44 prochaines années est donc supérieur à 95%.
Exercice 6 : Métropole septembre 2015
La variable 𝑋 suit la loi normale d’espérance 3 et d’écart-type 6.
La probabilité 𝑝(𝑋 < 3) vaut :
a. 3 b. 0,5 c. 0 d. 0,997
Corrigé :
On peut utiliser la calculatrice avec 𝜇 = 3 et 𝜎 = 6, mais ça n’est pas nécessaire, car par symétrie, on a 𝑝(𝑋 < 𝜇) = 0,5. Donc réponse b.
Exercice 7 : Métropole juin 2015
Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes pour le marché de la grande distribution. Les résultats seront arrondis à 10.0 près.
1) Une machine de l’usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1 kg. La masse 𝑀 en grammes d’un paquet est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 𝑚 = 1000 et d’écart-type 𝜎 = 7.
a. Calculer 𝑝(995 ≤ 𝑀 ≤ 1005).
b. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à 990 grammes.
Quelle est la probabilité pour qu’un paquet conditionné par cette machine soir refusé ?
Dans la suite de l’exercice, on arrondit à 0,08 la probabilité 𝑝 pour qu’un paquet conditionné dans l’usine soit refusé. Ainsi 𝑝 = 0,08.
On s’intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l’usine.
2) On prélève au hasard 100 paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
On note 𝑋 la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon.
a. Quelle est la loi de probabilité de 𝑋 ? On donnera ses paramètres.
b. Quelle est la probabilité qu’exactement 3 paquets parmi ces 100 paquets soient refusés ? c. Calculer la probabilité que, parmi ces 100 paquets, 5 ou plus soient refusés ?
Corrigé :
1) a. 𝑝(995 ≤ 𝑀 ≤ 1005) ≈ 0,525 b. 𝑝(0 ≤ 𝑀 ≤ 990) ≈ 0,077
2) a. 𝑋 suit une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 100 et 𝑝 = 0,08 car on est face à une épreuve de Bernoulli avec un succès de probabilité (« tomber sur un paquet refusé ») et un échec de probabilité 1 − 𝑝 ; de plus, cette épreuve est répétée de manière indépendante et identique.
b. 𝑝(𝑋 = 3) = d1003 e × 0,080× 0,992>V ≈ 0,025 c. 𝑝(𝑋 ≥ 5) = 1 − 𝑝(𝑋 ≤ 4) ≈ 0,910
Exercice 8 : Nouvelle Calédonie 2015 Les résultats seront arrondis à 10.= près.
1) Dans une usine, une machine remplit automatiquement avec de l’huile de moteur des bidons pouvant contenir au maximum 102 litres. Pour pouvoir être commercialisé, un bidon doit contenir au moins 98 litres d’huile.
La quantité d’huile, exprimée en litres, fournie par la machine, peut être modélisée par une variable aléatoire 𝑋 qui suit une loi normale d’espérance 𝜇 = 100 et d’écart-type 𝜎 = 0,8.
a. Déterminer la probabilité de l’événement « 𝑋 > 102 » et interpréter ce résultat.
b. Déterminer le pourcentage de bidons qui ne pourront pas être commercialisés en expliquant votre démarche.
2) On estime que 99,4% des bidons sont remplis correctement.
Soit 𝑌 la variable aléatoire qui, à chaque lot de 30 bidons prélevés au hasard dans la production de l’usine, associe le nombre de bidons non correctement remplis. Le stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.
Après avoir précisé la loi suivie par 𝑌, calculer la probabilité qu’il y ait au plus un bidon non-correctement rempli dans un lot de 30 bidons.
Corrigé :
1) a. 𝑝(𝑋 > 102) ≈ 0,0062.
Ainsi, la probabilité que le bidon « contienne » plus de 102 litres (donc déborde) est d’environ 0,0062.
Impossible ici.
b. On a 𝑝(98 < 𝑋 < 102) ≈ 0,9876
Mais on va ajouter les 0,0062 car le bidon, même s’il a débordé au remplissage, sera tout de même rempli à ras bord, fermé puis vendu. Donc La probabilité pour qu’un bidon soit commercialisé est d’environ 0,9976 + 0,0062 = 0,9938
Par le fait, la probabilité pour qu’un bidon ne soit pas commercialisé est d’environ 1 − 0,9938 = 0,0062.
Autre méthode : un bidon ne sera pas commercialisé si 𝑋 < 98. Or 𝑝(𝑋 < 98) ≈ 0,0062.
2) 𝑌 suit une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 30 et 𝑝 = 0,994.
𝑝(𝑌 ≤ 1) ≈ 1,09 × 10.20 donc la probabilité est négligeable.
Exercice 9 : Concours ENI – GEIPI – POLYTECH Ti2D 2015
Dans tout l’exercice, pour chaque probabilité ou chaque pourcentage demandé, on donnera une valeur approchée à 10.0 près.
Partie A
Une étude sur tous les nageurs français de haut niveau a montré que leur taille, mesurée en centimètres, pouvait être représentée par une variable aléatoire 𝑋 suivant la loi normale de moyenne 𝑚 = 190 et d’écart-type 𝜎 = 7.
On choisit au hasard un nageur français de haut niveau.
1) Donner la probabilité 𝑝1 que ce nageur mesure plus de 195 cm.
2) Donner la probabilité 𝑝8 que ce nageur mesure moins de 180 cm.
3) Donner la probabilité 𝑝0 que ce nageur mesure entre 180 cm et 195 cm.
Partie B
Le tableau ci-dessous donne la taille, en centimètres, et le poids, en kilogrammes, d’un échantillon de 14 nageurs français de haut niveau. La taille et le poids de chaque nageur sont arrondis à une unité près.
1) Donner le poids moyen 𝑚h et la taille moyenne 𝑚R de cet échantillon.
2) Donner le pourcentage 𝑄1 de nageurs de cet échantillon qui mesurent entre 186 cm et 190 cm.
3) Donner le pourcentage 𝑄8 de nageurs de cet échantillon qui pèsent plus de 91 kg.
4) Donner le pourcentage 𝑄0 de nageurs de cet échantillon qui pèsent moins de 91 kg et et mesurent plus de 186 cm.
Partie C
On considère maintenant la population totale des nageurs français ayant une licence de natation. On suppose que la probabilité qu’un nageur, choisi au hasard dans cette population, pèse plus de 91 kg est égale à 0,3.
Un entraîneur doit constituer, pour une compétition amicale, une équipe de 10 nageurs. Pour cela, il choisit au hasard 10 nageurs dans la population décrite ci-dessus.
On suppose que cette population est suffisamment importante pour que les choix des nageurs puissent être supposés indépendants les uns des autres.
On note 𝑌 la variable aléatoire représentant, parmi les 10 nageurs choisis, le nombre de nageurs pesant plus de 91 kg.
1) 𝑌 suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
2) Donner la probabilité 𝑅1 que l’équipe ne contienne aucun nageur pesant plus de 91 kg.
3) Donner la probabilité 𝑅8 que l’équipe contienne au moins un nageur pesant plus de 91 kg.
Corrigé : Partie A :
1) 𝑝(𝑋 > 195) ≈ 0,238 2) 𝑝(𝑋 < 180) ≈ 0,077
3) 𝑝(180 < 𝑋 < 195) ≈ 0,686 Partie B :
1) 𝑚k =>/S>/ST2S⋯ST0
1= = 1128
1= = 83 kg et 𝑚R= 8//S1>2S⋯S1>1
1= = 82T1
1= = 191,5 cm 2) La proportion est 𝑄1 =1=8 =1V ≈ 0,143 ≈ 14,3%
3) La proportion 𝑄8 =1=8 ≈ 14,3%
4) La proportion 𝑄0 =1=V = 18= 0,5 = 50%
Partie C :
1) 𝑌 suit la loi binomiale de paramètres 𝑛 = 10 et 𝑝 = 0,3.
2) 𝑅1 = 𝑝(𝑌 = 0) = d10
0e × 0,3/× 0,71/ ≈ 0,028
3) 𝑅8 = 𝑝(𝑌 ≥ 1) = 1 − 𝑝(𝑌 ≤ 0) = 1 − 𝑝(𝑌 = 0) ≈ 1 − 0,028 = 0,972
