Rappels de topologie pour la Licence
Erwann Aubry
Sommaire
1 Espaces topologiques 1
1.1 Dénitions, exemples . . . 1
1.2 Voisinages . . . 8
1.3 Topologie induite, topologie produit . . . 12
1.4 Limites et continuité . . . 17
1.5 Compléments . . . 24
2 Espaces métriques 27 2.1 Généralités . . . 27
2.2 Topologie associée à une distance . . . 30
2.3 Continuité, uniforme continuité . . . 35
2.4 Caractérisations séquentielles . . . 37
3 Espaces connexes 45 3.1 Généralités . . . 45
3.2 Parties connexes deR . . . 48
3.3 Composantes connexes . . . 49 i
3.4 Connexité par arcs . . . 52
3.5 Applications. . . 54
4 Espaces complets 59 4.1 Généralités . . . 59
4.2 Sous-espaces, espaces produits. . . 61
4.3 Théorème du point xe . . . 63
4.4 Critère de Cauchy pour les fonctions . . . 64
5 Espaces compacts 69 5.1 Généralités . . . 69
5.2 Propriétés des suites d'un compact . . . 71
5.3 Parties compactes deR,Rn,CetCn . . . 74
5.4 Fonctions continues sur les compacts . . . 75
Bibliographie 77
Sommaire
1.1 Dénitions, exemples 1.2 Voisinages
1.3 Topologie induite, topologie produit 1.4 Limites et continuité
1.5 Compléments
Chapitre
1
Espaces topologiques
Nous commençons par un exercice dont le résultat sera souvent utilisé dans la suite.
Exercice 1.1 SoitEun ensemble et pour tout jPJ, soit pAjiqiPIj une famille de parties deE. Montrer qu'on a les formules de commutation suivantes
£
jPJ
¤
iPIj
Aji
¤
pijq P¹
jPJ
Ij
£
jPJ
Aji
j
¤
jPJ
£
iPIj
Aji
£
pijq P¹
jPJ
Ij
¤
jPJ
Aji
j
1.1 Définitions, exemples
1.1.1 Topologie, ouverts
SoitE un ensemble. On note PpEq l'ensemble des parties deE. 1
Dénition 1.1 Une topologie sur E est une famille OPpEq de parties de E vériant les 3 conditions suivantes
1) H etE sont des éléments de O,
2) toute réunion d'éléments deO est un élément deO,
3) toute intersection nie d'éléments deO est un élément deO.
Les éléments deOsont appelés les ouverts de la topologie. Le couple pE,Oq est appelé un espace topologique.
Exemple 1.1 L'ensemble E t1,2,3u peut-être muni de 29 topologies dis- tinctes données par la liste suivante.
O1 H, E(
, O2 H,t1u, E(
, O3 H,t1u,t1,2u, E( , O4 H,t1u,t1,3u, E(
,O5 H,t1u,t2,3u, E(
,O6 H,t1u,t1,3u,t1,2u, E( , O7 H,t2u, E(
, O8 H,t2u,t1,2u, E(
, O9 H,t2u,t1,3u, E( , O10 H,t2u,t2,3u, E(
, O11 H,t2u,t2,3u,t1,2u, E( , O12 H,t3u, E(
, O13 H,t3u,t1,2u, E(
, O14 H,t3u,t1,3u, E( , O15 H,t3u,t2,3u, E(
, O16 H,t3u,t1,3u,t3,2u, E( , O17 H,t1u,t2u,t1,2u, E(
, O18 H,t1u,t2u,t1,2u,t1,3u, E( , O19 H,t1u,t2u,t1,2u,t2,3u, E(
, O20 H,t1u,t3u,t1,3u, E(
, O21 H,t1u,t3u,t1,3u,t1,2u, E( , O22 H,t1u,t3u,t1,3u,t2,3u, E(
, O23 H,t2u,t3u,t2,3u, E( , O24 H,t2u,t3u,t2,3u,t1,2u, E(
, O25 H,t2u,t3u,t2,3u,t1,3u, E( , O26 H,t1u,t2u,t3u,t1,2u,t1,3u,t2,3u, E(
, O27 H,t1,2u, E( , O28 H,t1,3u, E(
, O29 H,t2,3u, E( .
Exemple 1.2 SoitE un ensemble non vide, alorsOPpEq dénit une topo- logie, appelée topologie discrète. Noter que la topologie est discrète si et seule- ment si tous les singletons de E (i.e. les parties de E constituées d'un seul élément) sont des ouverts.
Exemple 1.3 SoitEun ensemble non vide, alors tH, Eu est une topologie sur E appelée topologie grossière.
Tout ensembleE admet donc au moins deux topologies.
Dénition 1.2 SoitEun ensemble etO,O1 deux topologies surE. On dit que Oest plus ne queO1 siO1O(i.e. si tout ouvert deO1 est un ouvert deO).
Cela dénit une relation d'ordre sur les topologies deE.
Remarque 1.1 Dans l'exemple1.1, la topologie O6 est plus ne que la topo- logieO4. En revanche les topologiesO6 etO8ne sont pas comparables (l'ordre n'est pas total). La topologie grossière est la moins ne des topologies de E et la topologie discrète la plus ne.
Lemme 1.1 Si Oi
iPI est une famille de topologie surE alorsO X
iPIOi est une topologie surE.
Preuve. On aE,H POi pour toutidoncE,H PO. Si pΩαqαPAest une famille d'éléments deO, alors pour tout iPI et toutαPA, on aΩα POi et donc Y
αPAΩαPOi pour toutiPI. D'où Y
αPAΩαPO. De même, Oest stable par intersection nie. l
Dénition 1.3 Soit A une famille de parties de E. D'après le lemme précé- dent, l'intersection de toutes les topologies deE contenantAest une topologie surE contenantA. On l'appelle la topologie engendrée par la familleA, et on la noteOA.
La proposition suivante donne la construction pratique de la topologie en- gendrée par une famille de partiesA.
Proposition 1.2 On noteA1AY tH, Eu etA2 la famille des intersections nies d'éléments deA1. Alors la topologieOAest l'ensemble des réunions quel- conques d'éléments deA2 (i.e.OA est l'ensemble des réunions d'intersections nies d'éléments deA).
Preuve. On note A3 l'ensemble des réunions quelconques d'éléments de A2. OA contient A3 par dénition, et A3 est une topologie qui contient A, d'après le théorème suivant appliqué à la familleP A2. l
Théorème 1.3 Soit E un ensemble quelconque et P PpEq une famille de parties deE vériant
1) La famille P est stable par intersections nies (i.e. l'intersection d'un nombre ni d'éléments deP est un élément de P),
2) E Y
OPPO, 3) H PP.
Alors l'ensembleOpPq des réunions quelconques d'éléments deP est une topo- logie surE. C'est la topologie deE engendrée par la familleP.
Preuve. Il est clair queOpPq est stable par réunion quelconque et contient E et H.
Si pOjq1¤j¤k est une famille nie d'éléments deOpPq, alors pour toutj il existe une famille Ωji
iPIj d'éléments de P telle que Oj YiPIjΩji. D'après l'exercice1.1, on a alors
£k j1
Oj
£k j1
¤
iPIj
Ωji ¤
pi1,,ikqPI1Ik
Ω1i1X XΩkik et commeP est stable par intersection nie, on a bienk
j1OjPOpPq. l Exemple 1.4 Soit O la topologie engendrée par la famille des intervalles ou- verts deR. C'est la topologie usuelle deR. Comme tout intersection nie d'in- tervalles ouverts deRest soit vide, soit un intervalle ouvert deR, les ouverts de Rpour la topologie usuelle sont H, Ret toute réunion YiPIsai, bir d'intervalles
sai, bir
iPI ouverts deR.
Un intervalle de la forme sa, br est donc ouvert pour cette topologie. En revanche, les intervallesJ de la forme ra, bs, ra, br ou sb, as ne sont pas ouverts car si J YiPIsai, bir, alors il existerait i0 PI tel que aPsai0, bi0rJ, ce qui contredit le fait quea est la borne supérieure ou inférieure deJ.
Exemple 1.5 On note RRY t8, 8u. SoitO l'ensemble formé par H, Ret toute réunion d'intervalles de la forme sa, br, ou r8, br, ou sa, 8s (où aetb sont des réels). C'est la topologie usuelle deR.
1.1.2 Fermés
Dénition 1.4 Soit pE,Oq un espace topologique etF E. On dit queF est un fermé deEsi et seulement siEzF est un ouvert deE. On noteF l'ensemble des fermés deE.
Remarque 1.2 Une partie deE peut-être ni ouverte ni fermée (par exemple r0,1r dansR). De même un partie deEpeut-être ouverte et fermée (par exemple E et H).
Proposition 1.4 L'ensemble F des fermés de E vérie les propriétés sui- vantes
1) H etE sont des fermés,
2) toute intersection de fermés est un fermé, 3) toute réunion nie de fermés est un fermé.
Ces propriétés des parties fermées découlent directement des propriétés vé- riées par les parties ouvertes d'une topologie et des égalités suivantes
Ez YiPIOi
XiPI EzOi
, Ez XiPIOi
YiPI EzOi
. Remarquez qu'une partie est ouverte si et seulement si son complémentaire est fermé. Ainsi, une topologie peut aussi bien être dénie par la donnée de l'ensemble de ses ouverts que par la donnée de l'ensemble de ses fermés.
Exemple 1.6 Pour la topologie usuelle deR, ra, bs est fermé et les intervalles ra, br, sa, bs et sa, br ne sont pas fermés.
Exemple 1.7 Pour la topologie usuelle sur R, ra, 8r et s 8, as sont des fermés. CommeZRzYkPZsk, k 1r,Zest un fermé deR. En revanche,Qet RzQne sont ni ouverts ni fermés dansR(par construction deR, tout intervalle ouvert de Rcontient un rationnel et un irrationnel et donc, ni Q, ni RzQ ne peut-être la réunion d'une famille d'intervalle ouvert deR).
1.1.3 Adhérence, intérieur, frontière
Proposition-dénition 1.5 Soit pE,Oq un espace topologique etX une par- tie deE.
a) Il existe un plus petit fermé contenant X, appelé l'adhérence (ou la fer- meture) de X dansE. On le noteX.
b) Il existe un plus grand ouvert contenu dans X, appelé l'intérieur de X dansE. On le note IntX.
c) On appelle frontière deX l'ensemble XXEzX, on le note FrX. d) On appelle extérieur deX l'ensemble IntpEzXq, on le note ExtX.
Preuve.
a) SoitF1l'ensemble des fermés deEqui contiennentX. AlorsF0 XFPF1F est un fermé deE contenantX. SiF1 est un autre fermé deEcontenant X, alorsF1PF1 et donc F1F0. On en déduit queF0 est le plus petit fermé deE contenantX.
b) De même, siO1 est l'ensemble des ouverts deE contenus dansX, alors O0 YOPO1Oest le plus grand ouvert deE contenu dansX.
l
Exemple 1.8 Si pE,Oq pR,topologie usuelleq etX sa, br, alorsX ra, bs.
En eet, ra, bs est un fermé deR qui contient sa, br et donc sa, brX ra, bs.
Xne peut donc être égal qu'à sa, br, ra, br, sa, bs ou ra, bs. Comme seul le dernier de ces intervalles est fermé dansRpour la topologie usuelle, on a sa, br ra, bs.
Proposition 1.5 SoitX une partie deE. L'adhérence, l'intérieur, la frontière et l'extérieur deX vérient les propriétés suivantes
1) X X si et seulement siX est fermé, 2) X IntX si et seulement si X est ouvert, 3) EzX EzIntX,
4) ExtX IntpEzXq EzX,
5) FrX est un fermé deE etFrX Ez IntXYExtX ,
6) ExtXXIntX H et donc, pour toute partie X deE,E est la réunion disjointe de IntX, de ExtX et deFrX.
Preuve.
1) X est un fermé par dénition, donc siXX alorsX est fermé.
Réciproquement, si X est fermé alors X X (car X est le plus petit fermé qui contient X). Comme on a toujours X X par dénition de X, on obtientXX.
2) la preuve est similaire à celle de 1q.
3) On a IntX X, donc EzX EzIntX. Or EzIntX est un fermé, et EzX est le plus petit fermé de E contenant EzX, donc pEzIntXq EzX EzX.
Réciproquement, comme EzpEzXq est un ouvert deE contenu dansX, on aIntX EzpEzXq. DoncEzIntX EzX. On en déduit l'égalité.
4) Soit Y EzX, alors d'aprés l'égalité 3), on a EzY EzIntY, d'où EzpEzXq EzIntpEzXq, i.e. X EzIntpEzXq, ce dont on déduit EzX IntpEzXq.
5) FrX XXEzX, doncFrX est fermé etEzFrX pEzXq YEzpEzXq, d'oùEzFrX IntpEzXq YIntpEzpEzXqq ExtXYIntX.
6) Comme IntX X et ExtX pEzXq, on a IntX XExtX H. La dernière assertion découle alors de5q.
l
Les propriétés suivantes découlent directement des dénitions mais sont très souvent utilisées.
Proposition 1.6 SoitA une partie deE.
1) SiAF etF est un fermé deE, alors AF. 2) SiOA etO est un ouvert deE, alors OIntA. 3) SiOXA H etO est un ouvert deE, alors OExtA.
Proposition 1.7 Soit pE,Oq un espace topologique etA etB deux parties de E. On a
1) siAB, alors AB etIntAIntB. 2) AYBAYB etIntpAYBq IntAYIntB. 3) AXBAXB etIntpAXBq IntAXIntB.
Preuve. Exercice. l
Exemple 1.9 Si A s0,1r et B s1,2r, alors AXB H H (car H est fermé). Or AXB r0,1s X r1,2s t1u. Cet exemple montre qu'en général l'inclusion dans 3) n'est pas une égalité.
1.1.4 Parties denses
Dénition 1.6 Soit pE,Oq un espace topologique etD une partie deE.D est dite dense dans E si et seulement si DE.
La propriété suivante est une caractérisation très pratique des parties denses.
Proposition 1.8 D est dense dansE si et seulement si tout ouvert non vide deE rencontre D.
Preuve. SiD n'est pas dense alorsDE, doncEzD est un ouvert non vide deE qui n'intercepte pasD (carDD).
Réciproquement, siOPOest un ouvert non vide deEtel queOXD H, alorsDest inclue dans le fermé EzO, et doncD pEzOq E. l
Exemple 1.10 On considère Rmuni de sa topologie usuelle etX Q. Alors Qest dense dansR. En eet pour tout intervalle sa, br non vide deR, on note rn le nombre décimal obtenu en gardant lesnpremiers chires après la virgule dans l'écriture décimal de a b2 ). Comme a a b2 b, on a rn Psa, br pour n assez grand. Comme tout ouvert deEest réunion d'intervalles sa, br, on obtient la densité deQdansR.
De mêmeRzQest dense dans Rcar si rest un rationnel de sa{? 2, b{?
2r, alors ?
2rest un irrationnel de sa, br. On en déduit que Qest d'intérieur vide et queFrpQq R.
1.2 Voisinages
1.2.1 Définition, systèmes fondamentaux
Dénition 1.7 Soit pE,Oq un espace topologique et a P E. On dit qu'une partie V de E est un voisinage de a dans E s'il existe un ouvert O de E vériantaPOV. On noteVpaq l'ensemble des voisinages de a.
Proposition 1.9 Les voisinages d'un point vérient les propriétés suivantes.
1) Pour tout V PVpaq, aPV.
2) Pour toutV PVpaq et toutU E, siV U alors U est un voisinage de a.
3) toute intersection nie de voisinages dea est un voisinage dea.
Preuve. 1) et 2) sont évidentes. Si pViq1¤i¤nsont des voisinages deaalors il existeOiPOtel queaPOiVi. On en déduit que X1¤i¤nOi est un ouvert contenantaet contenu dans X1¤i¤nVi. l
Dénition 1.8 Une partieV1paq deVpaq est appelée système fondamental de voisinage (noté SFV) de a si et seulement si pour tout U P Vpaq, il existe V PV1paq tel queV U.
Exemples 1.11 les SFV suivants seront souvent utilisés
1) Soit pE,Oq un espace topologiqueV1paq tOPO{aPOu est un SFV de a,
2) SoitRmuni de la topologie usuelle etaPR, alors sa, a r
¡0 est un SFV dea. sa1{n, a 1{nr
nPN est un SFV de adénombrable, 3) Soit R muni de la topologie usuelle, alors sa, 8s
aPR est un SFV de 8. sn, 8s
nPNest un SFV dénombrable de 8.
1.2.2 Caractérisations des ouverts et des fermés
Théorème 1.10 Soit pE,Oq un espace topologique. O est un ouvert de E si et seulement siO est un voisinage de chacun de ses points.
Preuve. SiOest un ouvert alors c'est évidemment un voisinage de chacun de ses points. Réciproquement, siO est un voisinage de chacun de ses points, alors pour tout a P O, il existe un ouvert Ua O tel que a P Ua. D'où O YaUaO. DoncO est ouvert comme réunion d'ouverts. l
Proposition 1.11 Soit pE,Oq un espace topologique et AE. On a les éga- lités
IntA txPE{ DV PVpxq{V Au txPE{APVpxqu. Dénition 1.9 Soit pE,Oq un espace topologique, AE etxPE
1) On dit quexest adhérent à Asi et seulement si pour tout V PVpxq, on aV XA H.
2) x est un point isolé de A si et seulement si il existe V P Vpxq tel que V XA txu.
3) xest un point d'accumulation deAsi et seulement si pour toutV PVpxq, l'ensemble pVztxuq XA est inni.
Remarque 1.3 Les points de A sont adhérents à A mais un point adhérent àAn'est pas nécessairement dansA (par exemple1 est adhérent à r0,1r dans R).Un point isolé deA est dansA.
Les points isolés et les points d'accumulation deAsont des points adhérents àA.
Remarque 1.4 Dans chacune de ces dénitions, on peut remplacerVpxq par n'importe quel SFVV1pxq dex. Par exemple,xest adhérent àAsi et seulement si pour toutV PV1pxq, on aV XA H.
Proposition 1.12 SoitAune partie deE.xest adhérent àA si et seulement si x P A (i.e. l'adhérence A de A est l'ensemble des points adhérents à A).
Autrement dit, on a
A txPE{ @V PVpxq, V XA Hu
Preuve. Montrons que l'ensembleS des points deEadhérents àAest un fermé deE. En eet, siyPEzS alors il existeV PVpyq tel queV XA H. Il existe donc un ouvertO deE tel quey PO et OXA H. CommeO est un voisinage de chacun de ses points, on aOEzS. Et doncEzS est un ouvert deE. CommeAS, on aAS.
Réciproquement, si y PEzA, alorsEzA est un voisinage de y qui n'inter- cepte pas A (car A A) et donc y P EzS. D'où EzA EzS et S A. l
Proposition 1.13 Soit R muni de la topologie usuelle et A une partie non vide deR. SiAest majorée, on asupAPA. SiAn'est pas majorée alors 8 est dans l'adhérence deA dansR.
On a le même genre de propriété pourinfA.
Preuve. SiAest majorée alors supA 8. Comme ssupA,supA r
¡0est un SFV desupA, et quesupAest strictement plus petit quesupA,
ça ne peut pas être un majorant deA, donc il existeaPAXssupA,supAs pour tout¡0. On en déduit quesupAest dans l'adhérence de AdansR.
Si A n'est pas majorée alors supA 8 et pour tout n P N, on a AX rn, 8s H. Or rn, 8s est un SFV de 8 dans R, et donc 8 est dans l'adhérence deAdansA. l
Exemples 1.12 SoitA tn1, nPNu. Alors tout point 1n deA est un point isolé de A (car AXsn11,n11r tn1u) et 0 est un point d'accumulation de A dansR car s 1n,n1r
nPN est un système de voisinage de 0 dansR, k1 PAX s1n,n1r
zt0u pour toutk¥n. Réciproquement, soitxPRz AYt0u
. Six¡0 alorsOsE1pxq,Epx1q 1r est un voisinage dex(car 1x RN) vériantOXA H et donc x R A. Si x 0, alors O s 8,0r est un voisinage de x tel que OXA H et donc xRA. On en déduit queA t0u YAdans R.
Exercice 1.2 Soit A t1n m1,pn, mq P pNq2u. Déterminer l'adhérence et les points d'accumulation deA dansR.
1.2.3 Espaces séparés (ou de Hausdorff)
Dénition 1.10 pE,Oq est séparé si et seulement si pour tout points distincts px, yq deE, il existeV PVpxq etW PVpyq tels queV XW H.
Exemple 1.13 1) Si E est muni de la topologie discrète alors txu et tyu sont des ouverts disjoints si xety sont distincts, doncE est séparé, 2) Si E est muni de la topologie grossière et #E ¥ 2, alors E n'est pas
séparé (pour tout xPE,E est le seul voisinage de x), 3) Rmuni de la topologie usuelle est séparé, Raussi.
Proposition 1.14 SiE est un espace topologique séparé alors pour toutlPE, on a XVPVplqV tlu.
Preuve. Si V PVplq alors l P V donc l P XVPVplqV. Réciproquement, si y P Eztlu alors il existeV P Vplq tel que y RV et donc y R XVPVplqV. D'où XVPVplqV tlu. l
Exercice 1.3 Montrer que la seule topologie séparée sur un ensemble ni est la topologie discrète (indic. montrer que les singletons sont alors tous ouverts).
Proposition 1.15 Si pE,Oq est séparé etV1pxq est un SFV dex, alors xest un point d'accumulation de A si et seulement si pVztxuq XA H pour tout V PV1pxq.
En particulier,Aest la réunion disjointe des points isolés deAet des points d'accumulation deA (ce qui n'est pas vrai siE n'est pas séparé).
Preuve. Si x est un point d'accumulation alors pour tout V P V1pxq, Vztxu XA est inni donc non vide. Réciproquement, s'il existeV0PV1pxq, tel queV0ztxu XA ty1, , ypu est ni et si E est séparé, alors pour tout i il existe Vi P V1pxq tel que yi RVi. Or V X0¤i¤pVi est un voisinage de x et Vztxu XA H. On en déduit que si pVztxuq XA H pour tout V P V1 alors pVztxuq XA H est inni pour tout V P V1 et donc x est un point d'accumulation. l
Remarque 1.5 Dans le casE non séparé, on peut avoir des points adhérents qui sont ni isolés, ni d'accumulation. Par exempleE t1,2u muni de la topo- logie grossière n'est pas séparé et tout point deE est adhérent àA t1u, mais aucun n'est ni isolé, ni d'accumulation.
Exemples 1.14 SoitA tn1, nPNu. Alors tout point 1n deA est un point isolé de A (car AXsn11,n11r tn1u) et 0 est un point d'accumulation de A dans R car s n1,n1r
nPN est un système de voisinage de 0 dans R, 2n1 P AX s n1,n1r
zt0u pour tout n P N et R est séparé. Réciproquement, soit xPRz AY t0u
. Si x¡0 alors O sEp1xq,Epx1q 1r est un voisinage de x(car
1
xRN) vériantOXA H et doncxRA. Six 0, alorsOs 8,0r est un voisinage dextel queOXA H et doncxRA. On en déduit queA t0uYA dansR.
Soit Rmuni de la topologie usuelle et A R. Alors A R car R n'étant pas majorée (minorée), on a 8 PA (8 PA). Tout point de Rest un point d'accumulation deA.
Exercice 1.4 Soit A t1n m1,pn, mq P pNq2u. Déterminer l'adhérence et les points d'accumulation deA dansR.
1.3 Topologie induite, topologie produit
1.3.1 Topologie induite
Soit pE,Oq un espace topologique etAune partie de E.
Proposition 1.16 AXO
OPO dénit une topologie sur A appelée topologie induite surA par la topologie deE.
Preuve. AAXE et H H XA, donc AXO
OPO contientAet H. Si pAXOiqiPI est une famille de AXO
OPO, alors YiPIpAXOiq AX pYiPIOiq donc AXO
OPO est stable par réunion quelconque. De même, AXO
OPO
est stable par intersection nie. l
Proposition 1.17 D'après la dénition, les ouverts de A pour la topologie induite sont les traces sur (intersections avec) Ades ouverts de E. De même, on a
1) F XA
FPF (où F est l'ensemble des fermés de E) est la famille des fermés deA pour la topologie induite par celle deE.
2) SoitaPA, alors VXA
VPVpaq est la famille des voisinages deadansA pour la topologie induite (oùVpaq est la famille des voisinages de adans E).
3) Si V1 est un SFV de a dansE alors tV XA, V PV1u est un SFV de a dansA pour la topologie induite.
Preuve.
1) F1est un fermé deApour la topologie induite si et seulement siAzF1 est un ouvert de Apour la topologie induite, i.e. si et seulement si il existe OPOtel queAzF1AXO. DoncF1est un fermé deApour la topologie induite si et seulement si il existe O P O tel que F1 AzpAzF1q AzpAXOq AX pEzOq, i.e. si et seulement si il existe F P F tel que F1AXF.
2) Si V P Vpaq alors il existe O P OpEq tel que a P O V. Alors a P AXO AXV, et donc AXV est un voisinage de a dans A pour la topologie induite. Réciproquement, si V1 est un voisinage de a dans A pour la topologie induite, alors il existe un ouvert AXO de A (i.e.
OPOpEq) tel queaPAXOV1. AlorsV OYV1 vérieaPOV, doncV est un voisinage de adans E et on a V XA pOYV1q XA pOXAq Y pV1XAq pOXAq YV1V1.
3) Soit V1 V XA un voisinage de a dans A pour la topologie induite, avec V voisinage de a dans E. Si V1 est un SFV de a dans E alors il existe W PV1 tel que W V et donc W XA V1. On en déduit que tV XA, V PV1u est un SFV deadansApour la topologie induite.
l
Exemple 1.15 Soit E R muni de la topologie usuelle et A s0,1r. Alors s0,1{2s r1{2,1{2s XA est un fermé deA pour la topologie induite par celle deA. En particulier, l'adhérence de s0,1{2s dansAest s0,1{2s (alors quelle est r0,1{2s dans R).
Il faut retenir de cet exemple que les notions d'ouverts, fermés, adhérence, voisinages ne sont pas intrinsèques mais dépendent de la topologie de l'espace ambiant. Ainsi, dire que r0,1r n'est pas un fermé deRa un sens mais dire que r1 8r est un fermé n'a pas de sens. Il faut préciser la topologie et l'ensemble dans lequel la partie est considérée (r1, 8r est un fermé deRpour la topologie usuelle, mais n'est pas un fermé deR pour la topologie usuelle).
Proposition 1.18 Soit pE,Oq un espace topologique,Aune partie deEmunie de la topologie induite etB A.
Si B est un ouvert de E, alors B est un ouvert de A pour la topologie induite. Si A est ouvert dans E, alors B est ouvert dans A pour la topologie induite si et seulement siB est ouvert dans E.
SiBest fermée dansEalorsB est fermée dansApour la topologie induite.
SiAest fermée dansE, alorsB est fermée dansA pour la topologie induite si et seulement siB est fermée dans E.
Preuve. SiBPOpEq alors, commeB BXA,Best ouvert dansApour la topologie induite. SiAPOpEq etB est un ouvert dansA pour la topologie induite, alors il existeO POpEq tel queB OXA, et doncB est un ouvert deE comme intersection de 2 ouverts deE.
La preuve est la même pour les fermés. l
Proposition 1.19 Soit E un espace topologique etX E1 des parties deE. SiX est l'adhérence deX dansEetX1 l'adhérence deX dansE1 (pour la topologie induite par celle deE) alors on a X1 XXE1.
Si IntX est l'intérieur de X dans E et Int1X l'intérieur de X dans E1 (pour la topologie induite par celle deE) alors on a Int1XIntXXE1
Preuve. X1 est l'intersection des fermés de E1 pour la topologie induite contenantX. Or ces fermés sont les intersections des fermés deEcontenantX avecE1. DoncX1 est l'intersection des fermés deEcontenantX avecE1. D'où le résultat.
Int1X est la réunion des ouverts de E1 pour la topologie induite contenus dansX. Or ces ouverts sont les intersections des ouverts de E contenus dans X avecE1. DoncInt1X est l'intersection des ouverts deEcontenusX avecE1. D'où le résultat. l
Proposition 1.20 Si pE,Oq est une topologie séparée et A une partie de E, alors la topologie induite surA par la topologie deE est séparée.
Preuve. Sixetysont deux points distincts deA, alors il existeU PVOpxq etV PVOpyq tels queUXV H. OrUXAetAXV sont des voisinages dex ety pour la topologie induite sur A, et sont disjoints. On en déduit queA est séparé pour la topologie induite. l
Proposition 1.21 (transitivité de la topologie induite) Soit pE,Oq un es- pace topologique et B A E deux parties de E. On note OA la topologie induite sur A par celle de E,OB la topologie induite sur B par celle de E et O1B la topologie induite sur B parOA. Alors on aOB OB1 .
Preuve. Si U P OB, alors il existe O P OpEq tel que U OXB. Or AXOPOA et doncU BXOBX pAXOq POB1 .
Réciproquement, si U POB1 , alors il existeO POA tel que U BXO et O1 P OpEq tel que O AXO1. On a donc U BX pAXO1q BXO1 et U POB. l
Dénition 1.11 Une partie D de E est dite discrète si et seulement si la topologie induite par celle deE est la topologie discrète.
Proposition 1.22 D est un partie discrète de E si et seulement si tous les points de D sont isolés.
Preuve. Si D est discrète, alors pour tout x P D, txu est un ouvert de D pour la topologie induite. Il existe donc un ouvert O P OpEq tel que txu OXD. On en déduit que xest isolé.
Réciproquement, sixPD est isolé alors il existeV PVpxq tel queVXD txu. On en déduit qu'il existe un ouvert O de E tel que txu OXD. En particulier, txu est un ouvert deD pour la topologie induite. Si tous les points de D sont isolés, alors tous les singletons de D sont ouverts dans D pour la topologie induite, et donc toute partie de D est ouverte pour la topologie induite. On en déduit queDest une partie discrète deE. l
Exemple 1.16 La topologie usuelle de Rinduit sur Rla topologie usuelle de RetR et un ouvert deR. DoncARest un ouvert deRssi c'est un ouvert deR. En revanche, siARest un fermé deRalors c'est un fermé deRmais la réciproque est fausse.
Si R est muni de la topologie usuelle alors A tn1, n P Nu est un partie discrète (mais non fermée de R). Z est aussi une partie discrète de R car tnu sn1, n 1rXZest un ouvert deZpour la topologie induite.
Exercice 1.5 Soit pE,Oq un espace topologique etAE. Montrer queaPA est un point isolé deAsi et seulement si tau est un ouvert deApour la topologie induite par celle deE.
1.3.2 Topologie produit
Soit pE1,O1q et pE2,O2q deux espaces topologiques.
Proposition-dénition 1.12 On appelle ouvert élémentaire deE1E2 toute partie ΩE1E2 de la forme ΩO1O2, où O1 est un ouvert de E1 et O2 est un ouvert deO2. La famille formée de l'ensemble vide et des réunions quelconques d'ouverts élémentaires dénit une topologie sur E1E2 appelée topologie produit.
Preuve. E1E2et H H H sont des ouverts élémentaires. De plus, pO1O2q X pO11 O21q pO1 XO11q pO2XO12q, on en déduit que toute intersection nie d'ouverts élémentaires est un ouvert élémentaire. On conclut grâce au théorème1.3. l
Dénition 1.13 On appelle topologie usuelle sur Rn la topologie obtenue par produit successif de la topologie usuelle deR.
Proposition 1.23 Soita pa1, a2q PE1E2alors V1V2qV1PVpa1q, V2PVpa2q
est un système fondamentale de voisinage de a dans E1E2. Plus généra- lement, si V1pa1q est un SFV de a1 et V1pa2q est un SFV de a2 alors V1 V2
V1PV1pa1q, V2PV1pa2qest un SFV de a.
Preuve. SoitΩun ouvert de la topologie produit contenant pa1, a2q. Alors il existe une familleΩiUiVid'ouverts élémentaires tels queΩ YiPIΩi. Or il existei0PItel que pa1, a2q PΩi0 Ui0Vi0, et commeUi0 est un ouvert de E1etV1pa1q un SFV dea1, il existeW1PV1pa1q tel queW1Ui0. De même, il existeW2PV1pa2q tel queW2Vi0. Alors pa1, a2q PW1W2Ui0Vi0Ω. l
Exemple 1.17 SoitRn muni de la topologie usuelle et a pa1, . . . , anq PRn. La famille Πni1saii, ai ir
p1,...,nqPpRqn est un SFV dea. De même, la famille Πni1sai, ai r
PR est un SFV de a.
Proposition 1.24 SiE1 etE2 sont séparés alors E1E2 est séparé.
Preuve. Si px1, y1q et px2, y2q sont deux points distincts deE1E2alors soit x1 x2, soit y1 y2. Si on suppose que x1 x2 alors, comme E1 est séparé, il existeU1PVE1px1q etU2PVE1px2q tel queU1XU2 H. On a donc Vi UiE2 P VE1E2 pxi, yiq
et V1XV2 H. Si y1 y2, on procède de même en utilisant queE2 est séparé. l
Exemple 1.18 La topologie usuelle deRn est séparée.
1.4 Limites et continuité
1.4.1 Limites de fonctions
Dénition 1.14 Soit E et F deux espaces topologiques, X E non vide et a P X. Soit f : X Ñ F une fonction et l P F. On dit que f tend vers l quandxtend vers aen restant dans X si et seulement si pour tout voisinage V PVFplq, il existe un voisinageU PVEpaq tel quefpUXXq V (i.e. tel que UXX f1pVq).
Remarque 1.6 Dans la dénition précédente, on peut remplacerVplq etVpaq par n'importe quels SFV del etarespectivement.
L'exemple suivant montre que la limite n'est pas toujours unique.
Exemple 1.19 Soit f : E Ñ F une fonction eta P E. Si F est muni de la topologie grossière, alors tout pointlPF est une limite def en aPE. Théorème 1.25 SiF est séparé, alors la limite est unique (quand elle existe).
Preuve. Supposons que f admet deux limites l l1 de f en a quand xPX. Comme F est séparé, il existe des voisinages W P Vplq et W1 PVpl1q tels que W XW1 H. Or par hypothèse, il existe V P Vpaq et V1 P V tels quefpV XXq W etfpV1XXq W1. On en déduit quefpV XV1XXq WXW1 H, et doncXXV XV1 H. Ceci contredit aPX carV XV1 est un voisinage dea. l
Dénition 1.15 SiF est séparé, on peut parler de la limite def. Cette limite, quand elle existe, sera notée lim
xÑa, xPXfpxq.
Dans le cas particulier oùX Eztau etaPX, on notera lim
xÑa, xafpxq.
SiERmuni de la topologie usuelle et siX ra, 8r, on note lim
xÑa, x¥afpxq.
SiERmuni de la topologie usuelle et siX sa, 8r, on note lim
xÑa, x¡afpxq.
SiERmuni de la topologie usuelle et siX Rztau, on note lim
xÑa, xafpxq.
Si E Rmuni de la topologie usuelle et si X rb, ar, avec a 8, on note lim
xÑ 8fpxq.
Proposition 1.26 Soit E un espace topologique, a P X E, F un espace topologique séparé et f :X ÑF. Si l lim
xÑa, xPXfpxq existe alors lfpaq.
Preuve. Par hypothèse, pour tout V P Vplq, il existe U P Vpaq tel que fpXXUq V. Or, pour tout U P Vpaq, on a a PX XU (car on a supposé a P X), et donc fpaq P V pour tout V P Vplq. Comme F est séparé, on a tlu XVPVplqV, d'oùlfpaq. l
Dénition 1.16 SoitE un espace topologique, pxnqnPNune suite de points de EetlPE. On dit que pxnqnPNtend verslsi et seulement si pour toutV PVplq, il existen0PNtel que pour toutn¥n0 on a xn PV.
Si F est séparé, la limitel est unique et on notel lim
nÑ 8xn.
Proposition 1.27 SoitE,F1 etF2des espaces topologiques,X une partie de E etaPX, f1 :X ÑF1, f2 :X ÑF2 des fonctions et f :X ÑF1F2 la fonction dénie parfpxq f1pxq, f2pxq
Alors fpxq tend vers pl1, l2q quand x.tend vers a en restant dans X si et seulement sif1pxq tend versl1quandxtend versaen restant dansX etf2pxq tend versl2 quandxtend vers aen restant dansX.
Preuve. Cela découle facilement du fait que V1V2qV1PVpl1q, V2Vpl2q est un SFV de pl1, l2q. l
1.4.2 Limites de suites
La notion de limite d'une suite pxnqnPNd'éléments d'un espace topologique est un cas particulier de limite de fonction.
Dénition 1.17 Si pxnqnPN est une suite d'éléments de E et X : N Ñ E est la fonction dénie par Xpnq xn pour tout n P N, alors lim
nÑ 8xn lim
nÑ 8,nPNXpnq oùNest muni de la topologie induite par celle deR(on a bien 8 P N). Autrement dit, limxn l si et seulement si pour tout V PVplq, il existemPNtel quexnPV pour toutn¥m.
Comme 8 est le seul point adhérent àNdansRsans être dansN, la seule notion de limite intéressante pour les suites est la limite en 8.
Proposition 1.28 SoitF1etF2deux espaces topologiques, pxnqnPN pyn, znqnPNP F1F2
N
une suite deF1F2 etl pl1, l2q PF1F2.
Alors pxnqnPNtend vers l si et seulement si pynqnPN tend versl1et pznqnPN
tend versl2.
1.4.3 Continuité en un point
Dénition 1.18 SoitE et F deux espaces topologiques,f :EÑF une fonc- tion et a P E. On dit que f est continue en a si et seulement si pour tout voisinage V P VFpfpaqq, il existe U P VEpaq tel que fpUq V (i.e. si et seulement sifpxq tend versfpaq lorsquextend vers a).
Ici encore on peut remplacerVpaq et Vpfpaqq par des SFV deaet fpaq.
On en déduit directement la propriété suivante.
Proposition 1.29 Siaest un point isolé deE alorsf est continue ena. Les liens entre continuité et limites sont donnés par les propositions sui- vantes.
La première découle directement des dénitions.
Proposition 1.30 f : E Ñ F est continue en a si et seulement si fpaq est une limite def en a.
Dans le cas oùF est séparé, alors fpaq est la seule limite possible. On en déduit le résultat suivant.
Proposition 1.31 SiF est un espace séparé, alorsf :EÑF est continue en aPE si et seulement si f a une limite en a. On a alors lim
xÑafpxq fpaq.
Preuve. Si f est continue en a alors lim
xÑafpxq fpaq par dénition, et donc lim
xÑafpxq existe. Réciproquement, si lim
xÑafpxq existe, alors cette limite est égale àfpaq caraPE etF est séparé. l
Proposition 1.32 Soit f : E Ñ F une application continue en a P E. Alors, pour toute suite pxnqnPN d'éléments de E qui converge vers a, la suite
fpxnq
nPN tend vers fpaq dans F.
On dit alors que f est séquentiellement continue ena.
Remarque 1.7 On verra que siE est un espace métrique, alors f : E ÑF est continue enasi et seulement si f est séquentiellement continue ena.
C'est vrai dès que aadmet un SFV dénombrable, mais faux en général.
Proposition 1.33 Soit E,F et G trois espaces topologiques, f : E Ñ F et g:F ÑGdeux fonctions etaPE. Sif est continue en aetg est continue en fpaq alorsgf est continue en a.
Preuve. SoitW PV gfpaq
. Commegest continue enfpaq, il existe un voisinageV PV fpaq
tel quegpVq W et commef est continue ena, il existe un voisinageU PVpaq tel que fpUq V. On en déduit quegfpUq W. l
La proposition suivante est évidente et est très souvent utilisée (parfois même sans s'en rendre compte).
Proposition 1.34 Soit E et F deux espaces topologiques, f : E Ñ F une fonction et aPE. Sia PE1 E etfpE1q F1 F et f est continue en a, alors f¯:E1 ÑF1 dénie par f¯pxq fpxq pour tout xPE1 est aussi continue ena (oùE1 etF1 sont munis des topologies induites par celles deE et F).
Preuve. si V1 P VF1 fpaq
, alors il existe V P VF fpaq
tel que V1 V XF1. Orf est continue en aet donc il existe U PVpaq tel que fpUq V. AlorsUXE1 PVE1paq et on af¯pUXE1q fpUq XfpE1q VXF1 V1. Donc f¯est continue ena. l
Proposition 1.35 SoitE,F1etF2des espaces topologiques etf :EÑF1F2
dénie parfpxq f1pxq, f2pxq
Alorsf est continue en asi et seulement si. f1 etf2 sont continues ena.
1.4.4 Continuité globale
Dénition 1.19 SoitE etF deux espaces topologiques etf :EÑF. On dit quef est continue sur E si et seulement sif est continue en tout point de E. Proposition 1.36 f est continue surE si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert deF est un ouvert deE.
f est continue surE si et seulement si l'image réciproque de tout fermé de F est un fermé deE.
Preuve. Supposonsf continue. SoitOun ouvert deF. Sif1pOq est vide alors c'est un ouvert. Sinon, soitxun point quelconque def1pOq. CommeO est un ouvert qui contient fpxq, c'est un voisinage defpxq. Par continuité de f enx, il existe un voisinage V PVpxq tel quefpVq O. On en déduit que V f1pOq et doncf1pOq est un voisinage de chacun de ses points.
Réciproquement, soit x P E, on montre la continuité de f en x. Soit O un voisinage ouvert de fpxq (rappelons que les ouverts contenant a forment un SFV de a). Alors f1pOq est un ouvert de E contenant x, c'est donc un voisinage dex. Orf f1pOq
O, doncf est continue enx.
Comme f1pFzOq Ezf1pOq, on en déduit facilement la proposition pour les fermés. l
Proposition 1.37 Soit E,F et G trois espaces topologiques, f : E Ñ F et g:F ÑG deux fonctions etaPE. Si f est continue surE etg est continue sur F alorsgf est continue sur E.
Là encore, la proposition suivante est évidente et souvent utilisée.
Proposition 1.38 Soit E et F deux espaces topologiques, f : E Ñ F une fonction,E1 E etfpE1q F1F. Sif continue sur E, alorsf¯:E1 ÑF1 dénie parf¯pxq fpxq pour tout xPE1 est aussi continue sur E1 (oùE1 et F1 sont munis des topologies induites par celles deE etF).
Preuve. Exercice. l
Exemples 1.20 1) SiE est un espace topologique,F Retf est continue sur E. Alors txPE{fpxq ¥αu et txPE{fpxq αu sont des fermés de E, txPE{fpxq ¡αu est un ouvert deE.
2) f : xPR ÞÑ x1 PR est continue sur R et r1, 8r est un fermé de R.
f1pr1, 8rq s0,1s est bien un fermé de R (mais pas de R, mais cela ne contredit pas la théorème carf n'est pas continue surR).
Remarque 1.8 Attention, l'image directe d'un ouvert par une application conti- nue n'est pas nécessairement un ouvert (de même pour les fermés). Par exemple on asin s 10,13r
r1,1s alors que le sinus est une fonction continue sur R.
Dénition 1.20 Une fonctionf : E ÑF est dite ouverte si et seulement si l'image de tout ouvert deE est un ouvert deF.
Une fonction f :EÑF est dite fermée si et seulement si l'image de tout fermé deE est un fermé deF.
Exemple 1.21 Soit E1 et E2 deux espaces topologiques et E E1 E2 muni de la topologie produit. Soit π1 : E1E2 Ñ E1la fonction dénie par π1px1, x2q x1. Pour tout ouvert O de E1,Π1pOq OE2 est un ouvert (élémentaire) deE1E2, doncπ1 est continue.
Montrons que π1 est ouverte: Soit O un ouvert de E1 E2, alors O YiPIΩi, où lesΩi sont des ouverts élémentaires, i.e. de la formeUiVi oùUi
est un ouvert deE1. On en déduit queπ1pOq YiPIπ1pΩiq YiPIπ1pUiViq YiPIUi et doncπ1pOq est un ouvert deE1 comme réunion d'ouverts deE1.π1
est donc bien ouverte.
Rappelons les propriétés suivantes:
f1pYiBiq Yif1pBiq f1pXiBiq Xif1pBiq fpYiBiq YifpBiq fpXiBiq XifpBiq
Dénition 1.21 f :E ÑF est un homéomorphisme si et seulement si f est continue, bijective etf1est continue. On dit queE estF sont homéomorphes si et seulement si il existe un homéomorphisme deE surF.
Proposition 1.39 Si f : E ÑF est un homéomorphisme et g :F ÑG est un homéomorphisme alorsgf :EÑG est un homéomorphisme.
Proposition 1.40 Soit pE,OEq et pF,OFq deux espaces topologiques. Si f : E ÑF est un homéomorphisme, alors fpOEq tfpUq, U POEu OF (i.e.
l'image de tout ouvert deE est un ouvert deF et tout ouvert deF est l'image d'un ouvert deE).
De même, f réalise une bijection entre les fermés deE et les fermés deF. Preuve. SiU POE etgf1, alorsfpUq g1pUq est un ouvert deF carg est continue et donc fpOEq OF. Si V POF alors U f1pVq POE
(carf est continue) et fpUq V et doncfpOEq OF. On procède de même pour les parties fermées. l
Proposition 1.41 SiE et F sont deux espaces topologiques et si f :E ÑF est un homéomorphisme, alors pour tout A E, la fonction g f|A est un homéomorphisme de Asur fpAq munis des topologies induites par celles deE etF.
Preuve. g est bien une bijection deA surfpAq et get g1sont continue comme restrictions de fonctions continues. l
Exemple 1.22 Les intervalles deRde la formeR, sa, 8r, s 8, br et sa, br munis de la topologie usuelle deRsont homéomorphes.
fpxq x aa1 est un homéomorphisme de sa1, 8r sur sa, 8r.
fpxq xest un homéomorphisme de s0, 8r sur s 8,0r.
fpxq a1 pb1a1qxbaa est un homéomorphisme de sa, br sur sa1, b1r.
fpxq 1{xest un homéomorphisme de s0,1r sur s1, 8r.
fpxq arctanpxq est un homéomorphisme de s π{2, π{2r surR.
Remarque 1.9 Une fonction f peut-être continue et bijective sans que f1 soit continue. Par exemple
r0,2πr Ñ U tzPC{ |z| 1u x ÞÑ eix
est un bijection continue maisf1n'est pas continue (car sixneip2πn1qalors
nlimÑ8xn 1 etf1pxnq 2πn1, donc lim
nÑ8f1pxnq 2π0f1p1q).
1.5 Compléments
1.5.1 Topologie quotient
SoitX un espace topologique, Rune relation d'équivalence sur X et π :xP XÞÑ rxs PX{Rla projection canonique.
Dénition 1.22 La topologie quotient est la topologie de X{Rdénit par O est ouvert deX{Rsi et seulement si π1pOq est un ouvert deX.
Remarque 1.10 Cela dénit bien une topologie carπ1 Y
iPIOi
YiPIπ1pOiq etπ1 X
iPIOi
X
iPIπ1pOiq. De plus,π:X ÑX{Rest alors continue. C'est la plus ne topologie deX{Rqui rende la projection canonique continue.
Notez aussi qu'en général l'image d'un ouvert deX parπn'est pas un ouvert deX{R.
On a alors le théorème suivant.
Théorème 1.42 SoitX etY deux espaces topologiques,f :XÑY etRune relation d'équivalence surX. Sifpxq fpx1q dès quexRx1, alors il existe une uniquef¯:X{RÑY telle quef f¯π. De plus,f est continue si et seulement sif¯est continue.
Preuve. L'existence de f¯ est le théorème de l'isomorphisme. Si f¯ est continue alors f f¯π est continue comme composée de fonction continue.
Si f est continue alors pour tout ouvert O deY, f1pOq π1 f¯1pOq un ouvert deX, et donc, par dénition de la topologie quotient,f¯1pOq est unest ouvert deX{R. On en déduit quef¯est continue. l
Exemple 1.23 Soit R la relation d'équivalnce sur R dénie par xRx1 si et seulement si il existe k P Z tel que x1 x 2kπ. On munit R{R R{2πZ de la topologie quotient et S1Cde la topologie induite par celle de C. Alors la fonction f : x P R ÞÑ eix P S1 est continue et passe au quotient en une bijectionf¯:R{2πZÑS1 qui est continue. En faitf¯est un homéomorphisme (pour le montrer on peut soit appliquer le théorème d'inversion locale àf, soit remarquer queR{2πZest compact, car égal à πpr0,2πsq).
1.5.2 Topologie engendrée par une famille d’applications
Proposition 1.43 Soit pFi,OiqiPI une famille d'espace topologiques,E un en- semble etfi:EÑFi une famille d'applications. Il existe une plus petite topo- logie surE pour laquelle toutes les applicationsfi sont continues, on l'appelle la topologie dénie par la famillefi. C'est la topologie engendrée par la famille A Y
iPItfi1pOiq{OiPOiu.
Preuve. Une topologie surE rend toutes les applications continues si et seulement si elle contient tous les éléments de A. La topologie engendrée par Aest donc la plus petite topologie vériant cette propriété. l
Proposition 1.44 Soitfi :EÑXi une famille d'applications. On supposeE muni de la topologie dénie par la famille pfiqiPI. Alors une fonctionf :Y ÑE est continue si et seulement sifif est continue pour tout iPI.
Preuve. Sif est continue alorsfif est continue comme composée d'ap- plications continues.
Réciproquement, si toutes les applicationsfif sont continues, alors tout ouvertΩdeEest une réunion d'ensembles de la formefi1
1 pUi1qX Xfi1
k pUikq, où ti1, , iku est une famille nie d'éléments deIetUij est un ouvert deXij. Alorsf1pΩq est réunion d'ensembles de la forme
f1 fi1
1 pUi1q X Xfi1
k pUikq
f1 fi1
1 pUi1q
X Xf1 fi1
k pUikq pfi1fq1pUi1q X X pfikfq1pUikq
qui est un ouvert de Y puisque toutes les fonctionsfif sont continues. On en déduit quef est continue. l
Dénition 1.23 Une famille fi : E Ñ Fi est dite séparante si pour tout px, yq PE avec xy, il existeiPI tel quefipxq fipyq.
Proposition 1.45 Si la famille fi : E Ñ Fi est séparante, et si tous les Fi
sont des espaces topologiques séparés, alors la topologie induite sur E par la famille pfiq est une topologie séparée.
Preuve. Soitxx1sont des points deEet sifipxq fipx1q, alors il existe des ouverts disjointsU et V deFi tels quefipxq PU etfipx1q PV. On a alors xPfi1pUq et x1Pfi1pVq, etfi1pUq et fi1pVq sont des ouverts disjoints de E pour la topologie dénie par les applications pfiqiPI. l
Remarque 1.11 Si pEi,OiqiPI est une famille d'espaces topologiques et fi : pxjqjPI P ±
jPIEj ÞÑ xi P Ei, alors la topologie de ±
jPIEj dénie par la famille d'applications pfjqjPI est la topologie produit.
Si AE eti:xPAÞÑxPE est l'injection canonique, alors la topologie deAinduite par iest la topologie induite sur A par celle deE.
1.5.3 Valeurs d’adhérence
La notion de valeur d'adhérence est une version faible de la notion de limite qui s'avère très utile, en particulier pour l'étude des suites.
Dénition 1.24 Soit X, Y deux espaces topologiques, a P X et f : X Ñ Y une application.yPY est une valeur d'adhérence def ena si et seulement si pour tout voisinageV PVpyq et pour tout voisinageU PVpaq, on a pUztauq X f1pVq H (i.e. fpUztauq XV H).
Proposition 1.46 L'ensemble des valeurs d'adhérence def enaest X
UPVpaqfpUztauq.
C'est donc un fermé deY.
Preuve. y est valeur d'adhérence def en asi et seulement si pour tout voisinageV PVpyq et pour tout voisinageU PVpaq, on afpUztauq XV H.
Doncy est valeur d'adhérence def enasi et seulement si pour tout voisinage U PVpaq, on ayPfpUztauq si et seulement siyP X
VPVpaqfpVztauq. l
Dans le cas d'une suite pxnqnPN(i.e.X Netfpnq xn pour toutnPN, fp 8q x0eta 8), y est une valeur d'adhérence de pxnq si et seulement si pour tout V P Vpyq, et pour tout n PN, il existe m ¥ n tel que xm P V. L'ensemble des valeur d'adhérence de la suite pxnq est alors XnPNtxk, k¥nu.
Toute limite d'une suite extraite de pxnq est une valeur d'adhérence de la suite pxnq. On verra que dans les espaces métriques, toute valeur d'adhérence de pxnq est la limite d'une suite extraite de pxnq.
Sommaire 2.1 Généralités
2.2 Topologie associée à une distance 2.3 Continuité, uniforme continuité 2.4 Caractérisations séquentielles
Chapitre
2
Espaces métriques
2.1 Généralités
Dénition 2.1 Soit E un ensemble non vide. Une distance sur E est une applicationd:EEÑR vériant les conditions suivantes.
1) dpx, yq 0si et seulement si xy,
2) pour tout px, yq PEE, on adpx, yq dpy, xq (i.e. dest symétrique), 3) pour tout px, y, zq P EEE, on a dpx, zq ¤ dpx, yq dpy, zq (i.e. d
vérie l'inégalité triangulaire).
Le couple pE, dq est appelé un espace métrique.
Sidest à valeurs dansR Yt 8u et vérie les trois conditions précédentes on dit quedest un écart.
Proposition 2.1 Pour tout px, y, zq PEEE, on a
|dpx, yq dpy, zq| ¤dpx, zq. 27
