Caractérisations séquentielles

Soit pE, dq un espace métrique. Comme pour toutxPE, la famille Bpx, q

¡0

est un SFV dexdansE, on en déduit la réécriture suivante de la dénition de la limite d'une suite dans un espace métrique

Proposition 2.18 Soit pE, dq un espace métrique et pxnqnPN une suite d'élé-ments de E. Alors pxnqnPN tend vers l si et seulement si pour tout ¡0, il existeN PNtel que dpl, xnq ¤pour toutn¥N.

Comme un espace métrique est séparé, la limite d'une suite est unique quand elle existe.

2.4.1 Points adhérents, parties fermées

Théorème 2.19 Soit pE, dq un espace métrique,A une partie non vide deE etxPE.xPA si et seulement si xest limite d'une suite de point deA.

Preuve. Soit pa_nqnPNune suite de points deAqui tend versx. Pour tout V PVpxq il existeN PNtel que pour toutn¥N,a_n PV. Commea_nPA, on aa_nPAXV H et doncxPA.

Réciproquement, soitxPA.Bpx,_n¹q étant un voisinage de x, il intercepte A. Soit an PAXBpx,_n¹q, alors panqnPN est une suite de points deAvériant dpx, anq ¤_n¹ pour toutnPN, i.e. panqnPNest une suite de points deAqui tend versx. l

Remarque 2.8 D'après la preuve précédente, si pE,Oq est un espace topolo-gique et si x est la limite d'une suite de points de A alors x P A. Mais la réciproque n'est pas vraie dans tous les espaces topologiques.

Théorème 2.20 Soit pE, dq un espace métrique,A une partie non vide deE etxPE.

x est un point d'accumulation de A si et seulement si il existe une suite panqnPNPA^Ntelle que anÑxetan xpour toutnPN,

si et seulement si il existe une suite panqnPN P A^N telle que an Ñ x et anampour toutnm.

Preuve. Si panqnPN est une suite de points de A qui tend vers xet telle quean x, pour toutnPN, alors pour toutV PVpxq, il existeN PNtel que

@n¥N,anPV. Or,anxet doncanPAX pVztxuq H. On en déduit que xest un point d'accumulation deA.

Si panq est une suite de points deux à deux distincts de Aqui tend versx alors il existe au plus un indice q PN tel que aq x. Donc panqn¡q est une suite de points deAdistincts dexqui tend versx.

Sixest un point d'accumulation deA, alors Bpx,1qztxu

XAest non vide donc contient un point a1. De même,

B x,minp¹₂, dpx, a1qq ztxu

XA H donc contient un point a2 qui est forcément distinct de a1. On construit en itérant une suite panq telle que @nPN,an 1P

B x,minp_n¹₁, dpx, anqq ztxu

X A. Donc la suite pa_nqnPNest une suite de points de A2 à 2 distincts qui tend versxcardpx, a_nq  _n¹. l

Théorème 2.21 (Caractérisation séquentielle des fermés) Soit pE, dq un espace métrique,Aune partie deE.Aest fermée si et seulement si pour toute suite pa_nqnPNPA^N, si pa_nq tend versxPE alorsxPA.

Preuve. Si A est fermé alorsA €A. Or, si pa_nq est une suite de points deAqui converge vers un pointxPE, alorsxPAet doncxPA.

Réciproquement, si xPA, alorsx est limite d'une suite panq de points de A et donc, par hypothèse on axliman PA. D'où A€A, i.e.AA et A est fermé. l

Corollaire 2.22 Soit A une partie non vide d'un espace métrique pE, dq et xPE.

Alorsdpx, Aq 0 si et seulement sixPA.

Preuve. Si x P A, alors il existe panq P A^N tel que an Ñ x. Comme dpan, xq Ñ0, on adpx, Aq ¤infnPNdpan, xq 0 et doncdpx, Aq 0.

Si dpx, Aq 0, alors @n P N, il existe a_n P A tel que 0 ¤dpx, a_nq   ¹_n. Alors la suite pa_nqnPNest une suite de points deAqui tend versx. D'oùxPA. l

2.4.2 Limites de fonctions

Rappelons que si pE, dq et pF, d¹q sont deux espaces métriques,Xest une partie non vide de E, f : X Ñ F est une application et aP X, alors f admet une limite l quand xtend vers a en restant dans X si et seulement si pour tout V PVplq, il existeU PVpaq tel quefpUXXq €V.

Théorème 2.23 Soitf :EÑF,X€E,aPX etlPF. On a lim

xÑa, xPXfpxq l si et seulement si pour toute suite px_nq de points deX qui tend vers a, on a

nlimÑ8fpx_nq l.

Preuve. Supposons que lim

xÑA, xPXfpxq let soit pxnq une suite de points deX qui tend vers a. SoitV PVplq. Il existeU PVpaq tel que fpUXXq €V, et commex_n Ña, il existe N PN, tel que x_n PU pour tout n¥N. Comme x_n PX, on ax_n PUXX et doncfpx_nq PV pour toutn¥N. D'oùfpx_nq Ñl. Réciproquement, s'il existeV₀PVplq tel que pour toutU PVpaq,fpUXXq n'est pas inclus dansV₀, alors pour toutnPN,U Bpa,_n¹q PVpaq, et comme f Bpa,¹_nq XX

n'est pas inclus dans V0, il existe xn P Bpa,_n¹q XX tel que fpxnq RV0. Alorsxn Ña(cardpxn, aq ¤ _n¹ etfpxnq ne tend pas versl (car ne rentre jamais dans le voisinageV0). l

Théorème 2.24 Soit f : E Ñ F, X € E et a P X. f a une limite quand x tend vers a en restant dans X si et seulement si pour toute suite px_nqnPN

d'éléments deX qui tend vers a, fpx_nq

nPN a une limite dansF. Preuve. Le sens direct découle du théorème précédent.

Réciproquement, si px_nq et px¹_nq sont des suites deX qui tendent versa, on note l limfpx_nq et l¹ limfpx¹_nq. On posey_2n x_n et y_{2n 1} x¹_n. Alors y_n Ña et doncfpy_nq converge. Or fpx_nq etfpx¹_nq sont deux suites extraites defpynq d'oùll¹. On en déduit qu'il existel telle que pour toute suite pxnq de points de X qui tend vers a, on ait lim

nÑ8fpxnq l. On conclut grâce au théorème précédent. l

On en déduit la caractérisation suivante de la continuité.

Théorème 2.25 Soit pE, dq et pF, d¹q deux espaces métriques, f :E ÑE¹ et aPE.f est continue enasi et seulement si pour tout suite px_nqnPNd'éléments deE, telle quex_nÑa, la suite pfpx_nqqnPN a une limite dansF.

La limite est alors nécessairementfpaq.

En combinant les deux derniers résultats, on obtient le corollaire suivant.

Corollaire 2.26 Soitf :EÑF,X €E etaPX. Si pour toute suite px_nqnPN

d'éléments de X qui tend vers a, fpx_nq

nPN a une limite l dans F, alors la fonction f¯:XY tau ÑF, dénie par f¯f sur X et f¯paq l, est continue ena.

On dit que f¯est la prolongement def par continuité ena.

2.4.3 Valeurs d’adhérence d’une suite

Dénition 2.14 Soit pE,Oq un espace topologique, px_nqnPNune suite de points deE etaPE.aest une valeur d'adhérence de px_nqnPN si et seulement si pour toutV PVpaq, pour tout nPN, il existep¥ntel quex_pPV.

Remarque 2.9 Si a est la limite de px_nqnPN alors tout voisinage V de a contient tous lesx_n (sauf un nombre ni).

Si a est une valeur d'adhérence de px_nqnPN alors tout voisinage V de a contient une innité dexn.

Dénition 2.15 Soit px_nqnPNune suite. On appelle suite extraite de cette suite toute suite de la forme x_φpnq

nPN, oùφ:NÑNest strictement croissante.

Théorème 2.27 Soit pE, dq un espace métrique.aest une valeur d'adhérence de la suite pxnqnPN si et seulement si il existe une suite extraite px_φpnqqnPN de la suite pxnqnPN qui tend vers a.

Preuve. Supposons qu'il existe une suite extraite px_φpnqqnPNqui tend vers a. Soit V P Vpaq et n P N, alors il existe N P N tel que pour tout k ¥ N, x_φpkq P V. Comme φ est strictement croissante, on a φpkq ¥ k pour tout k (récurrence), donc sik¥maxpN, nq, on aφpkq ¥netx_φpkqPV doncaest une valeur d'adhérence de pxnqnPN.

Réciproquement, si a est une valeur d'adhérence de pxnq, alors il existe p1 ¥0 tel que xp₁ PBpa,1q. On pose φp1q p1. Il existe p2 ¥φp1q 1 tel que xp₂ P Bpa,¹₂q. On pose φp2q p2. On a bien φp1q ¡ φp2q. On suppose

construitsφp0q  . . . φpnq tels que @kP t1, . . . , nu,x_φpkqPBpa,¹_kq. On pose V Bpa,_n¹₁q, alors il existe pn 1 ¥ φpnq 1 tel que pn 1 P V. On pose φpn 1q p_{n 1}, et on ax_{φpn 1q}PBpa,_n¹₁q etφpn 1q ¡φpnq ¡. . .¡φp1q.

On en déduit, par récurrence, qu'il existe une suite pφpnqq strictement croissante telle quex_φpnqÑa. l

Remarque 2.10 Pour certains problèmes, il est plus commode d'utiliser la dénition d'une valeur d'adhérence plutôt que la caractérisation avec les suites extraites.

Remarque 2.11 D'aprés la preuve qui précède, si pE,Oq est un espace topo-logique et qu'une suite extraite de la suite pxnq tend vers a, alors a est une valeur d'adhérence de pxnqnPN. La réciproque est fausse en général dans un espace topologique.

Remarque 2.12 1) Une suite peut avoir plusieurs valeurs d'adhérence ou aucune (par exemple p1qⁿ

nPN a deux valeurs d'adhérence dans R et pnqnPN n'a pas de valeur d'adhérence dansR).

2) Si pxnqnPN est convergente alors pxnqnPNa pour seule valeur d'adhérence la limite. La réciproque est fausse en général (px_2nq 1etx_{2n 1}nn'a qu'une valeur d'adhérence dansR mais ne converge pas).

3) L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite dépend de l'ensemble dans lequel la suite est considérée (par exemple la suite p_n¹qnPNadmet0comme valeur d'adhérence dansRmais n'a pas de valeur d'adhérence dans R).

4) SoitE1E2un produit d'espaces métriques, pxn, ynqnPNune suite d'élé-ments deE1E2et pa1, a2q PE1E2. Si pa1, a2q est une valeur d'adhé-rence de pxn, ynqnPN alors a1 est une valeur d'adhérence de pxnqnPN et a2 est une valeur d'adhérence de pynqnPN. La réciproque est fausse car p1,1q n'est pas valeur d'adhérence de la suite p1qⁿ,p1qⁿ

nPN. Théorème 2.28 Soit pE, dq un espace métrique, pxnqnPN une suite de points deE et l'ensembleAdes valeurs d'adhérence de pxnqnPN. AlorsAest un fermé de E et plus précisément, si on pose Sn txp, p ¥ nu, alors A XnPNSn

(noter qu'on peut avoirA H).

Preuve. aest une valeur d'adhérence de px_nqnPN si et seulement si pour toutV PVpaq et pour toutnPN, il existep¥ntel quex_pPV. Doncaest une valeur d'adhérence de px_nqnPN si et seulement si pour tout V PVpaq et pour toutnPN, on aS_nXV H. On en déduit queaest une valeur d'adhérence de pxnqnPN si et seulement siaPSn pour toutnPN. l

2.4.4 Cas des suites réelles

Théorème 2.29 Soit px_nq une suite de réels. L'ensembleAdes valeurs d'adhé-rence de px_nqnPN dansRest un fermé non vide deR.A admet dansRun plus grand et un plus petit élément. On les appelle respectivement la limite supérieure de pxnqnPNet la limite inférieure de pxnqnPN. Notéeslim supxn etlim infxn.

Preuve. Si px_nqnPN est bornée dans R, alors le théorème de Bolzano-Weierstrass permet d'extraire une suite convergeant dansR. Si px_nqnPNest non majorée alors on peut extraire une suite tendant vers 8. Si px_nqnPNest non minorée alors on peut extraire une suite qui tend vers 8. DoncA H. On en déduit queA admet une borne supérieure et une borne inférieure dansR.

CommeAA, on asupAPAetinfAPA. l

Remarque 2.13 L'intérêt pratique des limites supérieure et inférieure est qu'elles existent toujours pour toutes les suites réelles (contrairement aux limites).

Lemme 2.30 Soit px_nqnPN une suite réelle. On pose S_n tx_p, p¥nu, y_n supS_n et z_n infS_n. Alors py_nqnPN est une suite décroissante d'éléments de Rqui tend vers lim supx_n et pz_nqnPNest une suite croissante d'éléments de R qui tend verslim infx_n.

Preuve. Pour toutnPN,S_{n 1}€S_n doncy_{n 1}¤y_n etz_{n 1}¥z_n. Donc les suites py_nq et pz_nq sont monotones, et donc convergentes dans R.

SoitnPN xé. Pour toutp¥n, on a S_p €S_n et donc S_p €S_n. Comme y_psupS_pPS_p, on a y_pPS_n, @p¥n. CommeS_n est fermé, on alimy_pPS_n pour toutn, et donc limy_pP XnS_n A. D'oùlimy_n¤lim supx_n supA.

Commelim supx_nest une valeur d'adhérence de px_nqnPN, il existe une suite extraite px_φpnqqnPNtelle que x_φpnqÑlim supxn. Comme φpnq ¥n, onx_φpnqP Snpour toutn, doncx_φpnq¤ynpour toutn. En passant à la limite, on obtient lim supxn¤limyn.

La preuve delimzn lim infxn est similaire. l

Théorème 2.31 Soit px_nq une suite d'éléments de R. px_nqnPNconverge dans Rsi et seulement si on alim infx_n lim supx_n.

Preuve. Si pxnqnPNconverge alors elle n'a qu'une valeur d'adhérence, d'où l'égalité.

Réciproquement, si lim supxn lim infxn l, alors pour tout ¡ 0 il existen1 PN etn2 PNtels que pour tout n¥n1,l¤yn ¤l et pour toutn¥n2,l¤zn¤l (où pynqnPNet pznqnPNsont les suites introduites plus haut). Donc pour toutn¥maxpn1, n2q, on al¤zn ¤xn¤yn ¤l . On en déduit quexn Ñl. l

Proposition 2.32 On a les règles de calcul suivantes.

1) lim supxn lim infxn etlim infxn lim supxn.

2) Sixn ¤x¹_n@nPN, alorslim infxn¤lim infx¹_netlim supxn¤lim supx¹_n. 3) lim suppxn x¹_nq ¤lim supxn lim supx¹_netlim infpxn x¹_nq ¥lim infxn

lim infx¹_n (on a pas nécessairement l'égalité).

4) Si pxnq a une limitex¡0, on alim supxnx¹_nxlim supx¹_netlim infxnx¹_n xlim infx¹_n. En revanche on n'a paslim suppxnx¹_nq lim supxnlim supx¹_n ni lim infx_nx¹_n lim infx_nlim infx¹_n en général (même si x_n ¡0 @nP N).

Preuve.

2) Si xn ¤ x¹_n pour tout n ¥ p, alors xn ¤ y¹_p pour tout n ¥ p et donc yp ¤y¹_p pour toutp. En passant à la limite, on alimyp¤limy¹_p. 3) x²_nxn x¹_n ¤yp y_p¹ pour toutn¥p, d'oùy_p²¤yp y_p¹ etlim suppxn

x¹_nq ¤lim supxn lim supx¹_n.

4) Soit px_φpnqx¹_φpnqq une suite extraite qui tend vers lim suppx_nx¹_nq alors x_φpnq Ñ x et x¹_φpnq ^xφpnq_xφpnq^x1φpnq Ñ ^{lim sup}_x^pxnx1nq. Comme lim supx¹_n est la plus grande des valeurs d'adhérence de px¹_nq on a ^{lim sup}_x^pxnx1nq ¤ lim supx¹_n.

Réciproquement, soitx¹_ΨpnqÑlim supx¹_n, alorsx_Ψpnqx¹_ΨpnqÑxlim supx¹_n¤ lim supxnx¹_n, car alorsxlim supx¹_n est une valeur d'adhérence de pxnx¹_nq.

l

Nous nissons une application, illustrant la simplication apportée à l'étude des limites de suites par les notions delim supetlim inf.

Proposition 2.33 On dit qu'une suite de réels positifs pxnqnPNest sous-multiplicative si et seulement si pour tout pp, qq PN², on a xp q¤xpxq.

L'exemple type est la suite xn }Mⁿ} oùM est une matrice carrée (réelle ou complexe) et } } est une norme d'algèbre (ou d'opérateur) sur les matrices.

Pour toute suite sous-multiplicative, on alimpxnqⁿ¹ inftx

1

nn,PNu.

Preuve. On pose yn pxnqⁿ¹. Soit p P N xé et n P N quelconque. Il existe un unique couple pq, rq PN² tel quenpq ret r p. On a alors

yn pxpq rq^pq1r ¤ pxpqxrq^pq1r ¤x

q pq r

p x

1 pq r

r x

nr

ppn xrⁿ¹

orr pdonc ⁿ_pn^r Ñ_p¹ et x

nr pn

p x

1

rn Ñx

1 p

p.

On en déduit quelim supyn ¤yppour toutpet donclim supyn¤inftyp{pP Nu. Comme par ailleurs, on ayn¥inftyp{pPNu, on en déduit quelim infyn¥ infty_p{pPNu.

Comme par ailleurs, on a toujours lim infy_n ¤ lim supy_n on en déduit quelim infy_n lim supy_n infty_p{pPNu. Donc la suite py_nq converge vers infty_p{pPNu. l

Sommaire 3.1 Généralités

3.2 Parties connexes deR