Polycopié

M ODULE 2 - O UTILS Q UANTITATIFS

C ALCUL & L OGIQUE 2

Polycopié de cours

Julie Scholler

chapapp 1 - Ensembles et dénombrement ³

1.1 Vocabulaire ensembliste . . . 3

1.1.1 Appartenance . . . 3

1.1.2 Égalité d’ensembles . . . 4

1.1.3 Inclusion . . . 4

1.1.4 Ensemble des parties . . . 5

1.2 Opérations sur les parties de E . . . 5

1.2.1 Réunion . . . 6

1.2.2 Intersection . . . 7

1.2.3 Complémentaire . . . 8

1.2.4 Différence . . . 9

1.2.5 Règles de calcul sur les parties d’un ensemble . . . 9

1.2.6 Couples, n-uplets et produits cartésiens . . . 11

1.3 Cardinal d’un ensemble fini . . . 12

1.3.1 Définition intuitive . . . 12

1.3.2 Cardinal et réunion disjointe . . . 12

1.3.3 Cardinal d’une sous-partie . . . 13

1.3.4 Cardinal d’une partie et de son complémentaire . . . 13

1.3.5 Cardinal et réunion . . . 13

1.3.6 Cardinal et produit cartésien . . . 14

1.4 Dénombrement . . . 14

1.4.1 Premier exemple . . . 14

1.4.2 Listes . . . 15

1.4.3 Listes sans répétition . . . 16

1.4.4 Combinaisons . . . 18

1.4.5 Propriétés des coefficients binomiaux . . . 19

chapapp 2 - Nombres complexes ²³ 2.1 Historique . . . 23

2.2 EnsembleC des nombres complexes . . . 24

2.2.1 Forme algébrique d’un nombre complexe . . . 24

2.2.2 Interprétation géométrique de la forme algébrique . . . 24

2.2.3 Parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe . . . 24

2.2.4 Opérations dans l’ensemble des nombres complexes . . . 25

2.2.5 Conjugaison dans l’ensemble des nombres complexes . . . 25

2.3 Résolutions d’équations du second degré à coefficients réels dans C . . . 27

2.4 Module d’un nombre complexe . . . 28

2.5 Nombres complexes et trigonométrie . . . 29

2.5.1 Nombres complexes de module 1 et cercle trigonométrique . . . 29

2.5.2 Argument d’un nombre complexe non nul . . . 30

2.5.3 Forme trigonométrique et forme exponentielle . . . 31

chapapp 3 - Suites numériques ³³ 3.1 Généralités sur les suites réelles . . . 33

3.1.1 Définition des suites réelles . . . 33

3.1.2 Variations d’une suite . . . 34

3.2 Nature d’une suite . . . 35

3.2.1 Suite convergente . . . 35

3.2.2 Suite divergente . . . 36

3.2.3 Généralités . . . 37

3.3 Propriétés de limites . . . 37

3.3.1 Opérations sur les limites . . . 37

3.3.2 Limites de suites et fonctions . . . 40

3.3.3 Théorèmes d’encadrement . . . 41

3.3.4 Théorème de la limite monotone . . . 42

3.3.5 Suites extraites des termes d’indices pairs et impairs . . . 42

3.3.6 Croissances comparées . . . 43

3.4 Suites usuelles . . . 43

3.4.1 Suites arithmétiques . . . 43

3.4.2 Suites géométriques . . . 45

3.4.3 Utilisation des résultats sur les suites arithmétiques et géométriques . . . 48

Ensembles et dénombrement

Objectifs

• Connaître le vocabulaire lié aux ensembles. Distinguer les notions d’appartenance et d’inclusion.

• Manipuler les opérations (réunion, intersection, complémentaire) sur les parties d’un ensemble.

• Comprendre les notions de couple,n-uplet et de produit cartésien.

• Déterminer le cardinal d’un ensemble.

• Modéliser un problème.

• Dénombrer des listes (avec ou sans répétition), des permutations et des combinaisons.

• Manipuler les factorielles.

• (*) Manipuler les coefficients binomiaux.

• (*) Utiliser la formule du binôme de Newton.

1. Vocabulaire ensembliste

Le mathématicien et linguiste italien GiuseppePeano(1858-1932) a introduit, dans sonFormulaire mathéma- tiquepublié en 1895, de nombreux symboles qui permettent une compréhension universelle des mathématiques, notamment ∈pour l’appartenance,∩ pour l’intersection et∪ pour la réunion.

On peut représenter les ensembles et les éléments par des diagrammes de Venn : ce sont des schémas géométriques utilisés pour représenter les relations entre ensembles. Les ensembles sont représentés entourant leurs éléments.

On ne définit pas la notion d’ensemble ni la notion d’appartenance.

On considérera qu’un ensemble est bien défini s’il est possible de préciser ses éléments.

On peut définir un ensemble de plusieurs manières :

• en extension : en donnant la liste de ses éléments (E ={−1,0,1}) ;

• en compréhension : en donnant une propriété caractéristique de ses éléments (E={x∈Z, |x|61}) ;

• de manière paramétrique : à l’aide d’une formule : (E ={x−1, x∈ {0,1,2}}).

1.1. Appartenance

Définition. Appartenance

Si un élémentx appartient à un ensemble E, alors on notex∈E.

On dira indifféremment que

• x appartientà E;

• x est unélément deE;

• x estdansE;

• E contient x.

E

×x

Pour deux éléments x etx⁰ de E, on notera parfois «x, x⁰ ∈E » à la place de «x∈E et x⁰∈E», (abus de notation).

Remarque (Non appartenance).

Six n’appartient pas àE, alors on notex /∈E.

E

×x

1.2. Égalité d’ensembles

Définition. Égalité d’ensembles

On dit que deux ensemblesA etB sont égaux, et on noteA=B, si et seulement si les ensemblesA et B ont exactement les mêmes éléments.

Autrement dit, A=B ⇐⇒ quel que soitx,x∈A⇔x∈B.

Proposition. Ensemble vide

Il existe un unique ensemble ne contenant aucun élément : il est appelé ensemble videet noté∅.

Le symbole∅a été introduit par le mathématicien français André Weil(1906-1998) en souvenir d’un séjour en Scandinavie.

1.3. Inclusion

Définition. Inclusion Soient Aet B deux ensembles.

On dit que A est inclus dans B, et on note A⊂B, si et seulement si tout élément de Aappartient à B :

A⊂B ⇐⇒ ∀x∈A, x∈B. On dira indifféremment que

• A estinclus dansB;

• A est unepartiede B;

• A est unsous-ensemblede B;

• B contientA.

A B

Remarque.

• {1,3} ⊂ {1,2,3}et{3} ⊂ {1,2,3}.

• Quel que soit l’ensembleE, on aE ⊂E et∅⊂E.

• SiA⊂B et si B ⊂C, alorsA⊂C (transitivité de la relation d’inclusion).

Remarque.

La négation deA⊂B, c’est-à-dire de « tout élément de Aest un élément de B », est « il existe un élément de Aqui n’est pas un élément de B », notéeA6⊂B (ce qui signifie qu’au moins un élément deA n’est pas dansB, et pas qu’aucun élément deA n’est dansB).

Méthode. Prouver une inclusion

Pour prouver qu’un ensemble Aest inclus dans un ensemble B,

• on considère un élément x deA quelconque en écrivant « Soitx dansA. » ;

• on montre quex appartient à l’ensemble B (en utilisant les propriétés de A).

Proposition. Double inclusion

A=B ⇐⇒ A⊂B etB ⊂A.

Remarque.

C’est une méthode très utile pour prouver des égalités : on procède en deux temps par inclusion.

Méthode. Prouver une égalité entre deux ensembles

Pour prouver une égalité entre deux ensembles, il suffit de prouver chacune des inclusions A⊂B et B ⊂A comme indiqué dans la méthode précédente.

1.4. Ensemble des parties

Définition. Ensemble des parties

On note P(E) l’ensemble des parties d’un ensemble E :

A⊂E ⇐⇒ A∈ P(E).

Exemple.

SiE={1,2,3}, alorsP(E) =ⁿ ∅

|{z}

0 élément

;{1};{2};{3}

| {z }

1 élément

;{1; 2};{1; 3};{2; 3}

| {z }

2 éléments

;{1; 2; 3}

| {z }

3 éléments

o .

Remarque.

Pour tout ensemble E, on a ∅∈ P(E) et E∈ P(E). Exemples.

• [0,1]⊂R; • [0,1]∈ P(R) ; • 1∈R; • {1} ⊂R; • {1} ∈ P(R).

Afin de bien distinguer l’appartenance et l’inclusion, on peut raisonner en terme d’échelle :

• l’inclusion concerne des objets de même échelle ;

• l’appartenance concerne des objets qui ne sont pas à la même échelle : l’échelle d’un ensemble étant celle juste au-dessus de l’échelle de ses éléments.

2. Opérations sur les parties de E

Dans cette section, on décrit des opérations qui permettent, à partir de certains ensembles, d’en construire de nouveaux.

2.1. Réunion

Définition. Réunion

Soient Aet B deux parties d’un ensembleE.

L’ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B

est appelé réunion deA et de B, et noté A∪B, ce qui se lit «A union B».

A∪B =ⁿx∈E x∈A oux∈B^o

E

A B A∪B

Remarque.

Pour toutes parties AetB de E, on a clairement A⊂A∪B etB ⊂A∪B.

Remarque (« ou » inclusif).

On rappelle qu’en mathématiques, le symbole ∪propose un choix qui n’est pas exclusif : un élément qui appartient àE∪F peut appartenir aux deux ensembles. On parle de « ou » inclusif.

L’ordre n’a pas d’importance lorsque l’on considère la réunion de deux ensembles.

Proposition. Commutativité de la réunion

Pour toutes parties A etB d’un ensemble E, on a A∪B=B∪A.

Les parenthèses sont inutiles lorsque l’on considère des réunions successives.

Proposition. Associativité de la réunion

Pour toutes parties A,B etC d’un ensemble E, on a A∪(B∪C) = (A∪B)∪C.

Définition. Réunion finie

Soient A1, . . . , An des parties d’un ensemble E.

On appelleréunion deA1, . . . , An, et on note

n

[

i=1

Ai, l’ensemble des éléments de E qui sont dansau moins un des ensemblesA₁, . . . , A_n. Autrement dit,

∀x∈E, x∈

n

[

i=1

A_i ⇐⇒ ∃i∈J1, nK, x∈A_i.

Exemple (*).

Pour tout entierkdans N^?, on poseA_k=−k,1 k

. Pour tout entierndans N^?, on a

n

[

k=1

A_k=

n

[

k=1

−k,1 k

= [−n,1].

Méthode. Montrer que x∈A∪B

Pour montrer qu’un élémentx d’un ensemble E appartient à la réunion de deux parties Aet B de E, on peut montrer que si x n’appartient pas àA, alors il appartient àB.

En général, pour utiliser le fait qu’un élémentx appartienne àA∪B, on fait des cas :

• six est dans A, alors . . . (on utilise les propriétés deA) ;

• six est dans B, alors . . . (on utilise les propriétés deB).

2.2. Intersection

Définition. Intersection

Soient Aet B deux parties d’un ensembleE. L’ensemble des éléments qui sont à la fois dansA et dansB est appeléintersection deA et deB, et est noté A∩B, ce qui se lit «A interB ».

A∩B =ⁿx∈E x∈Aet x∈B^o

E

A B A∩B

Remarque.

Pour toutes parties AetB de E, on a clairement A∩B ⊂A etA∩B⊂B.

L’ordre n’a pas d’importance lorsque l’on considère l’intersection de deux ensembles.

Proposition. Commutativité de l’intersection

Pour toutes parties A etB d’un ensemble E, on a A∩B=B∩A. Les parenthèses sont inutiles si l’on considère des intersections successives.

Proposition. Associativité de l’intersection

Pour toutes parties A,B etC d’un ensemble E, on a A∩(B∩C) = (A∩B)∩C.

Définition. Intersection finie

Soient A1, . . . , An des parties d’un ensemble E. On appelle intersection deA₁, A₂, . . . , A_n, et on note

n

\

i=1

A_i, l’ensemble des éléments deE qui sont danstous les ensembles A1, . . . , An. Autrement dit,

∀x∈E, x∈

n

\

i=1

Ai ⇐⇒ ∀i∈J1, nK, x∈Ai.

Exemple (*).

Pour tout entierkdans N^?, on poseAk=−k,1 k

. Pour tout entierndans N^?, on a

n

\

k=1

Ak=

n

\

k=1

−k,1 k

=−1,1 n

.

Définition. Disjoint

On dit que deux partiesAet B d’un ensembleE sontdisjointessi et seulement si leur intersection est vide :

A∩B =∅.

E

A B

Définition. Partition

On dit qu’une famille finie (A_i)16i6n de parties deE est unepartition de E si et seulement si

• toutes les parties A_i sont non vides : ∀i∈J1, nK, A_i 6=∅;

• les parties sont deux à deux disjointes :∀i∈J1, nK, ∀j∈J1, nK, i6=j=⇒A_i∩A_j =∅;

• leur réunion est égale à E :

n

[

i=1

Ai =E.

Exemple.

L’ensemble{1,2,3} a les partitions suivantes :

• {{1},{2},{3}};

• {{1,2},{3}};

• {{1,3},{2}};

• {{1},{2,3}};

• {{1,2,3}}. Remarquons que :

• {∅,{1,3},{2}} n’est pas une partition parce qu’elle contient l’ensemble vide∅;

• {{1,2},{2,3}} n’est pas une partition parce que l’élément 2 appartient à plus d’une partie ;

• {{1},{2}} n’est pas une partition de{1,2,3} car l’union de tous les éléments est{1,2} 6={1,2,3}.

2.3. Complémentaire

Définition. Complémentaire Soit A une partie d’un ensembleE. On appellecomplémentaire deA dansE, on noteA et on prononce «A barre »,

la partie de Eégale à l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dansA.

A=ⁿx∈E x /∈A^o.

E

A A

Pour un élément xd’un ensemble E, la négation de «x∈A» est «x /∈A», c’est-à-dire x∈A. Exemple.

Le complémentaire de l’ensemble{1,4} dans l’ensemble{1,2,4,5} est{2,5}.

Remarque.

• Il est indispensable de préciser dans quel ensemble on considère le complémentaire deA.

• Dans tout ensembleE, on a E=∅,∅=E et∀A⊂E,A=A.

• Pour toute partieA non vide de E, le coupleA, Aest une partition de E

Exemples.

• Le complémentaire de{0} dansN estN^?.

• Le complémentaire de{0} dansR estR^?.

• Le complémentaire deR+ dansR estR^?−.

Méthode. Montrer que x∈A

Pour montrer qu’un élément xd’un ensemble E n’appartient pas à une partieA deE, on raisonne en général par l’absurde : on suppose que x appartient à A et on montre que l’on aboutit à une contradiction.

Exemple.

Pour montrer que√

2∈/Q dans le cours de Calcul & Logique 1, vous avez raisonner par l’absurde. Vous avez supposé qu’il existe deux entiersp etq tels que √

2 = p

q et vous êtes arrivés à une contradiction.

2.4. Différence

Définition. Différence

Soient Aet B deux parties d’un ensembleE.

L’ensemble des éléments deE qui sont dansB mais pas dans A est noté B\A, ce qui se lit «B privé deA».

B\A=ⁿx∈B x /∈A^o=B∩A.

E

A B\A B

Exemple.

L’ensembleZ\Nest l’ensemble de tous les entiers relatifs qui ne sont pas des entiers naturels.

Ainsi, Z\N={. . . ,−3,−2,−1}est l’ensemble de tous les entiers strictement négatifs.

2.5. Règles de calcul sur les parties d’un ensemble

Proposition. Encadrement

Pour toutes parties A etB de E, A∩B ⊂ A ⊂ A∪B

Proposition. Loi de De Morgan : complémentaire d’une réunion

Le complémentaire d’une réunion est l’intersection des complémentaires : pour toutes parties Aet B de E,

A∪B =A∩B

Plus généralement, pour toutes parties A1, . . . , An deE, on a ^[n

i=1

Ai = ^\n

i=1

Ai.

Démonstration.

Soitx dans deE. Alors

x∈A∪B ⇐⇒x /∈A∪B ⇐⇒x /∈A et x /∈B ⇐⇒x∈A et x∈B ⇐⇒x∈A∩B La généralisation se montre par récurrence.

Proposition. Loi de De Morgan : complémentaire d’une intersection

Le complémentaire d’une intersection est la réunion des complémentaires : pour toutes parties A et B de E,

A∩B =A∪B Plus généralement, pour toutes parties A1, . . . , An deE, on a

n

\

i=1

Ai =

n

[

i=1

Ai.

Démonstration.

Soitx dansE. Alors

x∈A∩B ⇐⇒x /∈A∩B ⇐⇒x /∈A ou x /∈B ⇐⇒x∈A ou x∈B ⇐⇒x∈A∪B La généralisation se montre par récurrence.

Proposition. Distributivité de ∩ sur ∪ et de ∪ sur ∩ Pour toutes parties A,B etC de E, on a

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) et A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C). Plus généralement, pour toutes parties A, B₁, . . . , Bn de E, on a

A∩

n

[

i=1

Bi

!

= ^[n

i=1

(A∩Bi) et A∪

n

\

i=1

Bi

!

= ^\n

i=1

(A∪Bi).

Démonstration.

Montrons la première égalité. Soitx un élément de E. Alors

x∈A∩(B∪C)⇐⇒





 x∈A x∈B∪C

⇐⇒





 x∈A x∈B

ou





 x∈A x∈C

⇐⇒x∈A∩B ou x∈A∩C

⇐⇒x∈(A∩B)∪(A∩C). La généralisation se montre par récurrence.

Remarque (Parenthèses).

Attention, on n’a pas A∪(B∩C) = (A∪B)∩C en général.

2.6. Couples, n-uplets et produits cartésiens

Définition. Couple

On appelle couple dex et y, et on note (x, y), la donnée de deux objetsx et y non nécessairement distincts dans un ordre déterminé. On a

(x, y) = x⁰, y⁰ ⇐⇒ x=x⁰ ety=y⁰.

x ety sont appelés respectivement première composanteetdeuxième composante du couple (x, y).

Remarque.

L’ordre est important dans un couple : six est différent dey, alors le couple (x, y) est différent du couple (y, x).

Si l’on souhaite considérer deux élémentsdistincts x ety sans tenir compte de l’ordre, alors on considère la paire{x, y}={y, x}.

Définition. n-uplet

Soit nun entier naturel non nul.

On appellen-upletdex1, . . . , xn, et on note (x1, . . . , xn) ou (xi)_i∈

J1,nK la donnée denobjetsx1, . . . , xn

non nécessairement distincts dans un ordre déterminé. On a

(x1, . . . , xn) = x⁰₁, . . . , x⁰_n ⇐⇒ ∀i∈J1, nK, xi =x⁰_i. Pour tout entieridans J1, nK,x_i est appelé lai^ecomposante dun-uplet (x₁, . . . , x_n).

Un 2-uplet est un couple et un 3-uplet est appelé untriplet. Remarque.

Deuxn-uplets sont différents si et seulement s’il existe une composante qui est différente.

En particulier, unn-uplet (x₁, . . . , x_n) est différent dun-uplet nul (0, . . . ,0) si et seulement si les nombres x₁, . . . , x_n sont non tous nuls (à ne pas confondre avec tous non nuls).

Le terme cartésien fait référence au mathématicien, physicien et philosophe français René Descartes (1596-1650).

Définition. Produit cartésien

On appelle produit cartésien de deux ensemblesX et Y, et on noteX×Y (prononcé «X croix Y »), l’ensemble formé de tous les couples (x, y) oùx est dans X ety est dansY :

X×Y ^def= ⁿ(x, y), x∈X, y∈Y^o.

Plus généralement, on appelle produit cartésien d’un nombre fini n d’ensembles X1, . . . , Xn, et on note X1× · · · ×Xn, l’ensemble formé de tous lesn-uplets (x1, . . . , xn) oùx1 est dans X1, . . . , xn est dansX_n :

X₁× · · · ×X_n^def= ⁿ(x₁, . . . , x_n), ∀i∈J1, nK, x_i ∈X_i^o.

Exemple.

{0,1} × {0,1,2}=ⁿ(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)^o.

Pour tout entier naturel non nuln, on noteE^ndef= E× · · · ×E

| {z }

nfois

.

Exemple.

R²=R×R=(x, y) x∈R, y∈R .

3. Cardinal d’un ensemble fini

Nous allons définir et étudier les ensembles finis.

L’essentiel est de bien savoir manipuler les objets et de comprendre comment dénombrer.

3.1. Définition intuitive

On commence par donner une idée intuitive de la notion de cardinal, que nous utiliserons en pratique.

Définition. Définition intuitive d’ensemble fini et de cardinal

On dit qu’un ensemble E est fini si et seulement s’il possède un nombre fini (éventuellement nul) d’éléments.

On dit qu’un ensembleE estinfini si et seulement s’il n’est pas fini.

On appelle cardinal d’un ensemble fini E, et on note card(E), Card(E), |E| ou #E, son nombre d’éléments.

Exemples.

• L’ensemble vide est le seul ensemble fini de cardinal 0 : card(∅) = 0.

• Les ensembles de cardinal 1 sont appeléssingletons.

Ce sont exactement les ensemblesE non vides tels que ∀(x, y)∈E², x=y.

• Le cardinal de l’ensemble2,3,4,5,6,7,8,9,10,valet,dame,roi,as est 13.

• Le cardinal de l’ensemble{∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}est 8.

3.2. Cardinal et réunion disjointe

Proposition.

Soient Aet B deux ensembles finisdisjoints. Alors leur réunion A∪B est un ensemble fini et card(A∪B) = card(A) + card(B).

Soient A₁, . . . , A_n des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors leur réunion

n

[

i=1

A_i est un ensemble fini et

card

n

[

i=1

Ai

!

=

n

X

i=1

card(Ai).

3.3. Cardinal d’une sous-partie

Proposition. Cardinal d’une sous-partie

SoitE un ensemble fini. SoitA une partie deE. AlorsA est un ensemble fini et card(A)6 card(E).

SiA est une partie de E de même cardinal queE, alors A=E : A⊂E et card(A) = card(E) =⇒ A=E.

Remarque.

Pour montrer que deux ensembles A et B finis sont égaux, il suffit de montrer que A ⊂B et card(A) = card(B).

3.4. Cardinal d’une partie et de son complémentaire

Proposition. Cardinal d’une partie et de son complémentaire Soit A une partie d’un ensemble finiE.

AlorsA est un ensemble fini et cardA= card(E)− card(A)6 card(E).

Cette proposition est très utile lorsque le cardinal du complémentaire est plus simple à calculer.

Démonstration.

On admet que AetA sont finis.

La réunionE=A∪A est disjointe donc card(E) = card(A) + cardA.

Comme le cardinal de tout ensemble fini est positif, cette égalité prouve que card(A)6 card(E).

De plus, on obtient directement cardA= card(E)− card(A).

Exemple.

Le cardinal de l’ensemble des lancers dendés à 6 faces dont au moins un dé tombe sur 6 se ramène au calcul du cardinal de l’ensemble des lancers de ndés à 6 faces dont aucun dé ne tombe sur 6.

3.5. Cardinal et réunion

Proposition. Cardinal d’une réunion ou formule des quatre cardinaux Soient AetB deux parties finies d’un ensemble E.

Alors la réunionA∪Best finie et son cardinal vérifie card(A∪B) = card(A) + card(B)− card(A∩B).

E

A B A∩B

Ce théorème se comprend facilement à l’aide du diagramme : pour compter les éléments dansA∪B, 1. on compte les éléments dansA;

2. on compte les éléments dansB;

3. on retire les éléments que l’on a comptés deux fois (ceux qui sont à la fois dansA et dansB).

Démonstration.

On a la réunion disjointe A=A∪(B\A) =A∪(B\(A∩B)).

On en déduit que

card(A∪B) = card (A∪(B\(A∩B)))

= card(A) + card (B\(A∩B)) = card(A) + card(B)− card(A∩B)

3.6. Cardinal et produit cartésien

Proposition. Cardinal d’un produit cartésien

• SoientE etF deux ensembles finis non vides.

Alors l’ensembleE×F est fini et

card(E×F) = card(E)× card(F).

• SoientE₁, . . . , En des ensembles finis. Alors le produit cartésienE₁× · · · ×En est fini et on a card(E1× · · · ×En) =

n

Y

i=1

card(Ei).

En particulier, pour tout entier naturel nnon nul, on a card (Eⁿ) = ( card(E))ⁿ.

Démonstration (*).

• On notep= card(E) et E ={x₁, . . . , x_p}. Pour tout entieridansJ1, pK, on noteF_i={(x_i, y), y∈F}. Alors les ensemblesFi sont deux à deux disjoints et de même cardinal card(F). On en déduit

card(E×F) = card



 [

i∈J1,pK

F_i



=

p

X

i=1

card(F_i) =

p

X

i=1

card(F) =p card(F).

• La généralisation se montre par récurrence sur le nombre d’ensembles.

Remarque.

Choisir un élément deE×F revient à choisir un élément deEpuis un élément deF(de manière indépendante).

On a card(E) possibilités de choix d’un élément dansE et card(F) possibilité de choix d’un élément dans F. Les nombres de choix possibles se multiplient (penser à un arbre représentant les cas possibles).

Pour chacun des card(E) choix possibles d’un élément de E, il y a card(F) choix possibles d’un élément de F.

Exemple.

On noteC ={cœur, carreau, pique, trèfle}l’ensemble des couleurs et V ={7,8,9,10,valet, dame, roi, as} l’ensemble des valeurs d’un jeu de cartes. L’ensembleC×V des cartes est fini et a pour cardinal

card(C×V) = card(C)× card(V) = 4×8 = 32.

4. Dénombrement

4.1. Premier exemple

Commençons par un exemple reprenant les règles de calculs sur les cardinaux déjà vues précédemment (cardinal d’une union, d’un produit cartésien, du complémentaire).

Benoît sait que le congélateur de la cuisine renferme quatre paquets de bâtons de crème glacée, chacun d’un parfum différent (vanille, chocolat, pistache, fraise).

Gourmand et insomniaque, il décide de se lever en pleine nuit, sans allumer la lumière, et de prendre, à tâtons et successivement, deux bâtons dans le congélateur.

Tous les choix sont possibles.

Utilisation du cardinal d’un produit cartésien

On noteE l’ensemble des goûts possibles : E={vanille, chocolat, fraise, pistache}.

L’ensemble représentant tous les choix possibles estE² =E×E. Le nombre de choix possibles (avec ordre) est card(E×E) = card(E)× card(E) = 4×4 = 16.

On obtient donc 16 possibilités pour les différents couples de bâtons de crème glacée qu’il peut obtenir.

Utilisation du cardinal du complémentaire

Le parfum préféré de Benoit est la vanille. Il se demande s’il a plus de chance de ne pas avoir de glace à la vanille ou d’avoir au moins un bâton de crème glacée à la vanille.

On noteV l’ensemble des couples de goût avec au moins une fois de la vanille. Cet ensemble n’est pas facile à dénombrer mais son complémentaire l’est. En effetV = (E\ {vanille})². Ainsi card(V) = (4−1)² = 9 et card(V) = 16−9 = 7.

Benoit a donc plus de chance de ne pas avoir de glace à la vanille que d’avoir au moins un bâton de crème glacée à la vanille.

Utilisation du cardinal d’une union On aurait pu calculer directement le cardinal deV.

On noteVi l’ensemble des choix de couple de goût comportant la vanille comme choix pour lei^e bâton. On a V₁ ={vanille} ×E etV₂=E× {vanille}ainsi card(V_i) = 4.

De plus, on a V =V₁∪V₂ mais attention cette union n’est pas disjointe carV₁∩V₂ n’est pas vide. En effet, V1∩V2 ={vanille}² ={(vanille,vanille)}.

On obtient finalement card(V) = card(V₁) + card(V₂)− card(V₁∩V₂) = 4 + 4−1 = 7.

Utilisation d’une partition

Toujours pour dénombrer V, on peut partitionnerV, c’est-à-dire découper V en sous-parties formant un système complet pourV. On introduit les trois sous-parties de V suivantes :

• V^e₁ ={vanille} ×(E\ {vanille}) : l’ensemble des couples de goût contenant la vanille en premier et ne contenant pas la vanille en second ;

• V^e2 = (E\ {vanille})× {vanille}: l’ensemble des couples de goût ne contenant pas la vanille en premier et contenant la vanille en second ;

• V1,2 ={vanille} × {vanille}={vanille}² : l’ensemble des couples de goût contenant la vanille en premier et contenant la vanille en second.

On se convint aisément queV =V^e₁∪Ve₂∪V_1,2 et ses sous-parties sont 2 à 2 disjoints. On a donc card(V) = card(V^e₁) + card(V^e₂) + card(V_1,2) = 1×3 + 1×3 + 1² = 3 + 3 + 1 = 7 4.2. Listes

Définition. p-listes

Soit E un ensemble fini non vide. Soit pun entier naturel non nul.

On appellep-liste ou p-uplet d’éléments deE tout élément de E^p.

Remarque.

Dans lap-liste (x1, . . . , xp), les élémentsx1, . . . , xp deE ne sont pas nécessairement distincts et leur ordre est important.

Exemple.

(2,5,2) est une 3-liste d’éléments de l’ensemble {1,2,3,4,5}.

Dans la partie précédente, les couples de goût sont des 2- liste d’éléments de{vanille, chocolat, fraise, pistache}.

Proposition. Nombre de p-listes

Soit E un ensemble fini non vide de cardinal n. Soit pun entier naturel non nul.

Alors l’ensemble desp-listes d’éléments de E est fini et son cardinal est ( card(E))^p =n^p.

Remarque.

Il y a card(E) possibilités pour chacun des péléments de la liste donc card(E)^p possibilités en tout.

Exemples.

• Une urne contientnboules distinctes numérotées de 1 à n.

On effectuep tirages successifs(l’ordre compte) et avec remise(avec répétition éventuelle).

Le résultat est noté sous la forme d’unep-liste (x₁, . . . , xp) d’éléments deJ1, nK, où pour tout entieri dansJ1, pK,x_i désigne le numéro de lai^eboule tirée.

Le nombre de résultats possibles estn^p. Il y a donc n^p situations possibles.

• Le nombre de mots (ayant un sens ou pas) den lettres dans l’alphabet usuel est 26ⁿ.

4.3. Listes sans répétition

Définition. p-listes sans répétition

Soit E un ensemble fini non vide. Soit pun entier naturel non nul.

On appellep-liste sans répétition d’éléments deE toutep-liste d’éléments deux à deux distincts deE.

Proposition. Nombre de p-listes sans répétition

Soit E un ensemble fini non vide de cardinal n. Soit pun entier naturel inférieur ou égal àn. Alors l’ensemble desp-listes sans répétition d’éléments de E est fini et son cardinal est

n×(n−1)× · · · ×(n−p+ 1).

Remarque.

Intuitivement, il y an choix possibles pour le premier élément puis n−1 choix possibles pour le second (n moins celui choisi en premier) puisn−2 choix possibles pour le troisième (n moins les deux choisis en

premier et deuxième) et ainsi de suite jusqu’àn−p+ 1 choix pour le p^e élément.

Exemple.

Revenons à l’exemple de Benoît et des bâtons de glace. Imaginons maintenant que Benoit ne choisit pas deux fois la même boite. Du coup les choix possibles de goût sont des 2-liste sans répétition d’éléments de {vanille, chocolat, fraise, pistache}. Il a donc 4×3 = 12 choix possibles. Cela peut également se voir sur un arbre modélisant la situation.

1^erchoix 2^e choix Chocolat Pistache Fraise Vanille Pistache Fraise Vanille Chocolat Fraise Vanille Chocolat Pistache Vanille

Chocolat

Pistache

Fraise

Remarque.

Sip > card(E), alors il n’existe pas de p-liste sans répétition d’éléments deE.

Proposition. Nombre de n-listes sans répétitions

Unen-liste correspond à une façon d’ordonnernéléments distincts. Le nombre de n-listes est n! =

n

Y

k=1

k=n×(n−1)× · · · ×2×1. Ce nombre est appeléfactoriel n.

Remarque.

On pose par convention 0! = 1.

Le nombre dep-listes sans répétition peut se réécrire : n×(n−1)× · · · ×(n−p+ 1) = n!

(n−p)!. Exemples.

• Le nombre d’anagrammes du mot MODULE, sans se restreindre aux mots ayant du sens, est 6!.

En effet, les anagrammes de MODULE sont les permutations de l’ensemble{M, O, D, U, L, E}de cardinal 6.

• Le nombre de façons de classer (sans ex æquo)n personnes estn!.

• On considère 4 pions de couleurs, respectivement verte (V), rouge (R), bleue (B) et noire (N). On souhaite aligner les pions les uns derrière les autres.

De combien de manières différentes (par l’ordre des couleurs) peut-on le faire ?

– Pour la première position, il y a 4 couleurs possibles. Pour la seconde, il n’y en a plus que 3. Pour la troisième position, il ne reste plus que deux possibilités de couleurs, et pour la dernière position, il ne restera qu’une couleur, la dernière. Un arbre permet de décrire complètement ce schéma.

– Il y a donc au total 4! = 4×3×2×1 = 24 possibilités d’ordonner les 4 pions de couleurs différentes.

Utilisation de la calculatrice

On peut calculer la factorielle d’un nombre avec la calculatrice. Soit le symbole!apparaît directement sur votre calculatrice, soit il faut le chercher dans un menu.

Par exemple pour calculer 4! :

• avec la calculatrice Casio 35+, il faut taper sur la touche4, puis appuyer sur la touche OPTN, puis aller dans le menuPROB, et choisirx!;

• avec une calculatrice TI, il faut taper sur la touche4, puis appuyer sur la toucheMATH, puis aller dans le menuPRBet choisir !.

4.4. Combinaisons

Définition. Combinaisons

Soit E un ensemble fini de cardinaln. Soit pdans N.

On appellep-combinaison de E toute partie à p éléments deE.

On appelle donc combinaison de p éléments parmi n un choix de prélèvement de p éléments parmi n, c’est-à-dire un groupe dans lequel l’ordre n’a pas d’importance.

Définition. Coefficients binomiaux

Soit nun entier naturel. Soitk un entier dans J0, nK.

On note n k

!

et on appelle «k parmin» le nombre, dit coefficient binomial, défini par n

k

!

= n!

k!(n−k)! =

kfacteurs

z }| { n(n−1)· · ·(n−k+ 1)

k(k−1)· · ·1

| {z }

kfacteurs

.

Par convention, sik <0 ou si k > n, alors on pose n k

!

= 0.

Exemple.

Calcul des combinaisons 5 k

!

pour kvariant de 0 à 5 :

• 5

0

!

= 5!

0!(5−0)! = 5!

0!5! = 1 ;

• 5

1

!

= 5!

1!(5−1)! = 5!

1!4! = 5 ;

• 5

2

!

= 5!

2!(5−2)! = 5!

2!3! = 10 ;

• 5

3

!

= 5!

3!(5−3)! = 5!

3!2! = 10 ;

• 5

4

!

= 5!

4!(5−4)! = 5!

4!1! = 5 ;

• 5

5

!

= 5!

5!(5−5)! = 5!

5!0! = 1.

Proposition. Nombre de combinaisons

Soit E un ensemble fini de cardinaln. Soit pun entier naturel inférieur ou égal à n. L’ensemble des p-combinaisons deE est fini de cardinal n

p

! .

Exemple.

Une urne contientnboules distinctes numérotées de 1 à n.

On effectue ptirages simultanés (l’ordre ne compte pas et il n’y apas de répétition).

Le nombre de résultats possibles est n p

! . n

p

!

est nombre de façons de choisirpobjets parmi n.

Exemple.

On tire 5 cartes au hasard dans un jeu de 32, pour constituer une main (sans tenir compte de l’ordre d’arrivée des cartes).

• Il y a 32 5

!

= 201376 mains possibles.

• Il y a 4 3

!

× 28 2

!

= 4×378 = 1512 mains contenant 3 rois exactement.

Utilisation de la calculatrice

On peut calculer les combinaisons avec certaines calculatrices. Par exemple pour calculer 5 3

! :

• avec la calculatrice Casio 35+, il faut taper sur la touche5, puis appuyer sur la touche OPTN, puis aller dans le menuPROB, choisirnCret finalement taper sur la touche 3;

• avec une calculatrice TI, il faut taper sur la touche5, puis appuyer sur la toucheMATH, puis aller dans le menuPRB, choisirnCrou Combinaisons et finalement taper sur la touche3.

4.5. Propriétés des coefficients binomiaux Commençons par quelques valeurs particulières.

• n

0

!

= 1 car il existe un seul ensemble sans élément : l’ensemble vide.

• n

1

!

=ncar tout ensemble E de cardinal ncontient exactementnsingletons.

• n

n

!

= 1 car la seule partie de cardinalnd’un ensemble à néléments est E.

Proposition. Symétrie des coefficients binomiaux

∀n∈N, ∀p∈J0, nK, n p

!

= n

n−p

! .

Démonstration.

∀n∈N, ∀k∈J0, nK, n k

!

= n!

k!(n−k)! = n!

(n−k)!k! = n!

(n−k)!(n−(n−k))! = n n−k

!

Remarque.

Choisirk objets parmin (et les prendre) revient à en choisirn−kparmin (et prendre les autres).

Propriété. Formule du capitaine (*)

∀n∈N^?,∀k∈J1, nK, k n k

!

=n n−1 k−1

!

Démonstration.

Soitn un entier naturel non nul. Soitk un entier dans J1, nK. Alors on a k n

k

!

=k n!

k!(n−k)! = n(n−1)!

(k−1)! n−1−(k−1)!=n n−1 k−1

! .

Remarque.

Pour former, à partir den personnes, une équipe dekjoueurs dont un capitaine, on peut 1. (a) choisirkpersonnes parmi n: n

k

!

choix possibles ;

(b) choisir le capitaine parmi ces kjoueurs : k choix possibles ; 2. (a) choisir le capitaine parmi lesnpersonnes : nchoix possibles ;

(b) choisir les k−1 autres joueurs de l’équipe parmi les n−1 personnes restantes : n−1 k−1

! choix possibles.

Propriété. Formule de Pascal

∀n∈N^?,∀k∈J0, n−1K, n k

!

+ n

k+ 1

!

= n+ 1 k+ 1

! .

Remarque.

En termes de dénombrement, on peut chercher le nombre de façons de choisir k+ 1 personnes dans une classe formée den étudiants et un professeur.

On fait une disjonction des cas :

1. soit on choisit le professeur et il reste à choisirk étudiants parmi lesn;

2. soit on ne choisit pas le professeur et il reste à choisirk+ 1 étudiants parmi lesn.

Il est possible de représenter cette propriété à l’aide dutriangle dePascalreprésenté ci-dessous de deux manières.

Le coefficient binomial n k

!

est le k^e nombre de la n^eligne (si on compte à partir de 0).

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Ce triangle permet un calcul élémentaire des coefficients binomiaux.

La symétrie des coefficients binomiaux apparait très clairement dans la première représentation.

Formule du binôme de Newton

Proposition. Formule du binôme de Newton

∀(a, b)∈R²,∀n∈N, (a+b)ⁿ=

n

X

k=0

n k

!

a^kb^n−k=

n

X

k=0

n k

!

a^n−kb^k.

Démonstration.

En développant le produit desnfacteurs (a+b),

• les termes sont de la formea^kb^n−k (kdans J0, nK) car si on choisit kfois a, alors on choisitn−k foisb;

• il y a n k

!

façons de choisir lesk facteurs où l’on prenda(et donc les n−kfacteurs où l’on prend b).

C’est le nombre d’anagrammes dea^kb^n−k (mots denlettres formés de klettresaetn−k lettresb).

Remarque.

Les coefficients qui apparaissent pour la puissancen^e sont ceux de la (n+ 1)^e ligne du triangle de Pascal.

Exemple.

• Pour tous réelsaet b, on a (a+b)⁵ =a⁵+ 5a⁴b+ 10a³b²+ 10a²b³+ 5ab⁴+b⁵.

• Pour tous réelsaet b, on a (a−b)⁵ =a⁵−5a⁴b+ 10a³b²−10a²b³+ 5ab⁴−b⁵.

Proposition. Formule du binôme de Newton

∀(a, b)∈C²,∀n∈N, (a+b)ⁿ= ^Xn

k=0

n k

!

a^kb^n−k.

Nombres complexes

Objectifs

• Manipuler les notions de partie réelle, partie imaginaire, module et argument d’un nombre complexe.

• Exprimer les nombres complexes sous forme algébrique, trigonométrique et exponentielle.

• Calculer somme, produit, inverse, quotient et conjugué de nombres complexes.

• Résoudre les équations du second degré à coefficients réelles dansC.

1. Historique

L’introduction des nombres complexes découle de la résolution d’équations.

Le mathématicien, philosophe et médecin italien JérômeCardan (1501-1576),¹, dans son livreArs Magna publié en 1545, propose pour l’équation d’inconnuex et de paramètres réelspet q

x³ =px+q une solution sous la forme

x= ³ v u u tq

2 + s

q² 4 − p³

27+ ³ v u u tq

2 − s

q² 4 − p³

27,

appelée aujourd’hui laformule dite de Cardan. Cette formule était en fait connue d’un autre mathématicien italien, Tartaglia (1500-1557), qui la connaissait dès 1535 mais avait décidé de la garder secrète. La publication du livre a déclenché une violente querelle entre les deux mathématiciens qui se disputaient la paternité de cette formule.

Le problème que Cardanrencontre est que parfois le terme q² 4 − p³

27 est strictement négatif, ce qui pose problème pour considérer sa racine carrée.

Il a alors l’idée de travailler avec des nombres dont le carré est négatif (il utilisera la notation√

−1), qu’il appellera quantitas sophisticae, quantités sophistiques (du grec, puis du latin sophisticus : qui cherche à tromper). C’est le mathématicien italienBombelli (1526-1572)qui utilisera de manière systématique ces nombres et leur donna le nom denombres imaginaires.

Le terme réel est utilisé systématiquement par le mathématicien, physicien et philosophe français René Descartes(1596-1650) car il ne croyait pas à l’existence des nombres imaginaires. Il parle notamment de vraies solutions pour désigner les solutions réelles d’une équation et defausses solutions pour désigner les autres.

Le mathématicien, astronome et physicien allemand Carl FriedrichGauss(1777-1855) appellera ces nombres lesnombres complexes, nom que l’on utilise désormais. Le terme imaginaire reste tout de même présent dans la locutionpartie imaginaire ou nombre imaginaire pur.

C’est le mathématicien et physicien suisse LeonhardEuler (1707-1783) qui a introduit la notation ique nous utilisons aujourd’hui.

Il faut attendre 1806 pour que le mathématicien amateur suisseArgand(1768-1822) publie une interprétation géométrique des nombres complexes comme points du plan, parfois appeléplan d’Argand.

Ce n’est qu’à partir du milieu duxix^e siècle que l’utilisation des nombres complexes se fait sans réticence de la part des mathématiciens, sous l’influence du mathématicien allemand Bernhard Riemann (1826-1866).

1. Pour l’anecdote,Cardanétait également astrologue, et avait notamment prévu la date de sa mort. La prophétie se révélera exacte puisqueCardan, pour être certain d’avoir raison, se suicida le jour où il avait prédit sa mort.

2. Ensemble C des nombres complexes

2.1. Forme algébrique d’un nombre complexe

Définition. Forme algébrique d’un nombre complexe

• On considère un nombre imaginaire, notéi, tel quei² =−1.

• Un nombre complexe est un nombre de la formez=a+ib, où aetbsont deux réels.

• On dit quez=a+ibest la forme algébrique du nombre complexez.

• L’ensemble des nombres complexes est notéC.

Remarque.

• Le nombrein’est pas un nombre réel. Autrement diti /∈R.

• Tout nombre réelx s’identifie au nombre complexex+i0. Autrement dit, on considèreR⊂C.

2.2. Interprétation géométrique de la forme algébrique Dans toute la suite, on considère un repère orthonormal.

Définition. Interprétation géométrique de la forme algébrique On associe à tout nombre complexe z de forme algébriquez=a+ib

• sonimage (ponctuelle) : le pointM de coordonnées (a, b) ;

• sonimage vectorielle : le vecteur~v de coordonnées (a, b).

On dit que le nombre complexez est l’affixedu pointM. Exemple.

• Le pointM de coordonnées (4,2) a pour affixe 4 + 2i.

• L’image du complexe 4 + 2iest le point M.

• L’image vectorielle de 4 + 2iest le vecteur~v.

1 2 3 4

1 2

0

M(4,2) +

Remarque.

Réciproquement à tout pointM de coordonnées (x, y) d’un plan muni d’un repère orthonormal, on peut associer un nombre complexe (z=x+iy).

2.3. Parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe

Définition. Parties réelle et imaginaire Soit z un nombre complexe de forme algébriquea+ib.

• Le réel aest appelé lapartie réelle de zet est noté Re(z).

• Le réel best appelé la partie imaginairede z et est noté Im(z).

Ainsi,z= Re(z) +iIm(z).

Re(z) et Im(z) sont respectivement les coordonnées du point d’af- fixez dans le repère.

~ e₁

~ e2

O

M(z) + Re(z) Im(z)

Remarque.

• La partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe sont des nombresréels.

• Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

• Si Re(z) = 0, alors on dit quez estimaginaire pur. L’ensemble des imaginaires purs est noté iR.

Tout nombre complexe zs’écrit de manière unique sous forme algébrique, c’est-à-dire que l’on peut identifier les parties réelles et imaginaires dans une égalité entre deux nombres complexes :

∀(a, a⁰, b, b⁰)∈R⁴, a+ib=a⁰+ib⁰ ⇐⇒







a = a⁰ b = b⁰ Remarque.

• Attention, la proposition précédente n’est pas vraie sia,b,a⁰ etb⁰ sont des nombres complexes.

• Ainsi deux nombres complexesz₁ et z₂ sont égaux si et seulement si Re(z₁) = Re(z₂) et Im(z₁) = Im(z₂).

• Par conséquent, pour qu’un nombre complexe soit nul, il faut et il suffit que sa partie réelle et sa partie imaginaire soient nulles.

2.4. Opérations dans l’ensemble des nombres complexes

Les opérations algébriques sur les nombres complexes sont semblables à celles sur les nombres réels.

Méthode. Forme algébrique d’une somme ou d’un produit de formes algébriques Pour obtenir la forme algébrique d’une somme ou d’un produit de formes algébriques, il suffit de développer puis d’isoler la partie réelle et la partie imaginaire.

Exemples.

1. 4(−2 + 3i) + 3(−5−8i) =−8 + 12i−15−24i=−23−12i 2. (2−i)(3 + 8i) = 6 + 16i−3i−8i² = 6 + 13i+ 8 = 14 + 13i 3. 1

2−3i = 1×(2 + 3i)

(2−3i)(2 + 3i) = 2 + 3i

2²+ 3² = 2 + 3i 4 + 9 = 2

13 + 3 13i 4. −2 + 3i

i = (−2 + 3i)×i

i² = −2i+ 3i²

−1 =−(−2i−3) = 3 + 2i 5. −2−i

4 + 3i = (−2−i)(4−3i)

(4 + 3i)(4−3i) = −8 + 6i−4i+ 3i²

4²+ 3² = −11 + 2i

25 = −11 25 +i2

25 2.5. Conjugaison dans l’ensemble des nombres complexes

Définition. Conjugué d’un nombre complexe Soit z un nombre complexe de forme algébriquea+ib. On appelle conjuguédez, et on note z, le nombre complexe

z^def= a−ib= Re(z)−iIm(z).

Géométriquement, l’imageM⁰ du conjugué zdu complexe z d’image M est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses.

O

M(z) +

M⁰(z) + Re(z) Im(z)

−Im(z)

Remarque.

On peut caractériser les nombres réels et les imaginaires purs par le lien entre un nombre et son conjugué.

Soitz un nombre complexe. Alors on a :

• z∈R⇐⇒z=z;

• z∈iR⇐⇒z=−z.

La proposition suivante donne le comportement de la conjugaison vis-à-vis des opérations élémentaires sur les nombres complexes.

Proposition. Propriétés de la conjugaison

Soient zet z⁰ deux nombres complexes. Soitn dansZ. Alors les propriétés suivantes sont vérifiées :

1) Involution : z=z.

2) Compatibilité avec l’addition : z+z⁰=z+z⁰. 3) Compatibilité avec la multiplication : zz⁰=z z⁰. 4) Compatibilité avec la division : z

z⁰

= z

z⁰ si z⁰ 6= 0.

5) Compatibilité avec les puissances entières : (zⁿ) =zⁿsi n∈Nou sin∈Z^?− etz6= 0.

Exemples.

1. (2−i)(3 + 8i) = 14 + 13i= 14−13i

(2−i)(3 + 8i) = (2 +i)(3−8i) = 6−16i+ 3i−8i²= 6 + 8−13i= 14−13i 2. 1

2−3i = 2

13 + 3 13i= 2

13 − 3 13i 1

2−3i = 1

2 + 3i = 2−3i

2²+ 3² = 2−3i 13 = 2

13− 3 13i

Remarque.

On peut exprimer les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe à partir de lui même et de son conjugué. Soit zun nombre complexe. Alors les deux propriétés suivantes sont vérifiées.

Propriété Interprétation géométrique

Re(z) = z+z

2 O

+z

+z

z+z Re(z) +

z+z 2

+