Suites numériques
4. Suites usuelles
4.1. Suites arithmétiques
Définition. Suite arithmétique
On appellesuite arithmétique de raison r∈Rtoute suite (un)n∈Ntelle que
∀n∈N, un+1 =un+r.
Une telle suite est entièrement déterminée par sa raison et par son premier terme (ou n’importe quel terme).
Exemple.
La suite (un)n∈Ndéfinie par
u0 = 1 et ∀n∈N, un+1 =un+ 3 est l’unique suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3.
Remarque.
Sir= 0, alors la suite est constante égale à son premier terme.
Méthode. Montrer qu’une suite est arithmétique
Pour montrer qu’une suite (un)n∈N est arithmétique, on montre que pour tout entier naturel n, la différenceun+1−un est constante, c’est-à-dire ne dépend pas den.
Le réel ainsi trouvé est la raison de la suite arithmétique.
Proposition. Variations d’une suite arithmétique Soit (un)n∈Nune suite arithmétique de raisonr.
• Si la raison r est strictement positive, alors la suite (un)n∈N est strictement croissante.
• Si la raison r est strictement négative, alors la suite (un)n∈N est strictement décroissante.
• Si la raison est nulle, alors la suite est constante égale à son premier terme.
Démonstration.
∀n∈N, un+1−un=un+r−un=r.
r >0 r <0 r= 0
× × × × × × ×
×
×
×
×
×
× × × × × ×
u0 u1 u2 u3u4 u5 u5 u4 u3 u2 u1 u0
u0
u1
u2
Remarque.
Toute suite arithmétique de raison strictement positive est minorée et non majorée.
Toute suite arithmétique de raison strictement négative est majorée et non minorée.
Proposition. Terme général d’une suite arithmétique Le terme général d’une suite arithmétique (un)n∈N de raisonr est
un=u0+nr.
Démonstration.
C’est trivial par récurrence sur l’entiern.
1. Initialisation : u0 =u0+ 0×r.
2. Hérédité : soitn un entier naturel tel queun=u0+nr. Alors
un+1 =un+r par définition de la suite (un)n∈N
=u0+nr+r d’après l’hypothèse de récurrence
=u0+ (n+ 1)r.
Plus généralement, on obtient facilement que pour tous entiers naturelsp6n,un=up+ (n−p+ 1)r.
Proposition. Somme de termes en progression arithmétique
Soit (un)n∈Nune suite arithmétique de raisonr ∈R. Alors pour tout entier naturel n,
n
X
k=0
uk = (n+ 1)u0+un
2 et ∀p∈J0, nK,
n
X
k=p
uk= (n−p+ 1)
| {z }
nombre de termes
premier terme
z}|{up +
dernier terme
z}|{un
2 .
Démonstration.
Toute suite arithmétique (un)n∈N admet une limite, qui dépend du signe de sa raisonr.
• Sir est strictement positif, alors la limite de la suite (un)n∈N existe et vaut +∞.
• Sir est strictement négatif, alors la limite de la suite (un)n∈N existe et vaut −∞.
• Sir est nul, alors la suite est constante égale à son premier terme.
4.2. Suites géométriques
Définition. Suite géométrique
On appellesuite géométrique de raison q∈Rtoute suite (un)n∈Ntelle que
∀n∈N, un+1 =q un.
Une telle suite est entièrement déterminée par sa raison et par son premier terme (ou n’importe quel terme).
Exemple.
La suite (un)n∈Ndéfinie par
u0 = 1 et ∀n∈N, un+1 = 3un
est l’unique suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3.
Remarque.
• Siq= 1, alors la suite est constante.
• Siq= 0, alors la suite est stationnaire : elle est nulle à partir du rang 1 (ou 0 si u0 = 0).
Méthode. Montrer qu’une suite est géométrique
Pour montrer qu’une suite (un)n∈N (dont tous les termes sont non nuls) est géométrique, on montre que pour tout entier naturel n, le quotient un+1
un est constant, c’est-à-dire ne dépend pas de n. Le réel ainsi trouvé est la raison de la suite géométrique.
Proposition. Variations d’une suite géométrique Soit (un)n∈Nune suite géométrique de raison q.
1. Siq >1,
• siu0>0, alors la suite (un)n∈N est strictement croissante.
• siu0<0, alors la suite (un)n∈N est strictement décroissante.
2. Siq= 1, alors la suite (un)n∈N est constante égale à son premier terme.
3. Si 0< q <1,
• siu0>0, alors la suite (un)n∈N est strictement décroissante.
• siu0<0, alors la suite (un)n∈N est strictement croissante.
4. Siq= 0, alors la suite (un)n∈N nulle et donc constante à partir du rang 1 (ou 0 si u0 = 0).
5. Siq <0, alors la suite (un)n∈N n’est pas monotone.
q >1 etu0>0 q >1 et u0<0 q = 1
× × ×
×
×
×
× ×
×
×
×
×
× × × × × ×
u0
u1u2 u3 u4 u5
u0 u1 u2 u3 u4 u5
u0 u1 u2
0< q <1 et u0 >0 0< q <1 etu0<0 −1< q <0
×
×
×
× × × ×
×
× × × ×
×
×
×
×
× ×
u4
u0 u1
u2 u3
u4
u0 u1 u2u3 u1 u3u5 u4u2 u0
q =−1 q <−1
× × ×
× × ×
× ×
×
×
×
× u0
u1 u2 u1
u3
u5 u5 u3u1 u0u2 u4
Remarque.
Une suite géométrique non nulle de raisonq∈Rest bornée si et seulement si −16q61.
Proposition. Terme général d’une suite géométrique Le terme général d’une suite géométrique (un)n∈N de raisonq est
un=qnu0. Démonstration.
C’est trivial par récurrence sur l’entiern. 1. Initialisation : u0 =q0u0.
2. Hérédité : soitn un entier tel queun=qnu0. Alors
un+1 =qun par définition de la suite (un)n∈N
=q(qnu0) d’après l’hypothèse de récurrence
=qn+1u0.
Plus généralement, pour tous entiers naturelsp6n,un=qn−pup. Théorème.
Soit (un)n∈Nune suite géométrique non nulle de raison q ∈R.
• Si|q|<1, alors la suite (un)n∈N admet une limite, égale à 0.
• Siq= 1, alors la suite (un)n∈N est constante égale à son premier terme.
• Siq >1, alors la suite (un)n∈N admet une limite, égale à +∞ ou −∞, selon le signe deu0.
• Siq6−1, alors la suite (un)n∈N n’admet pas de limite.
Remarque.
Soit (un)n∈N une suite géométrique non nulle de raison q <−1.
Alors la suiteu0q2n
n∈N= u0q2n
n∈N est géométrique de raisonq2>1 de premier termeu0 donc tend vers
(+∞ siu0 >0
−∞ siu0 <0 La suiteu0q2n+1
n∈N=u0qq2n
n∈N est géométrique de raison q2 >1 de premier terme u0q de signe
opposé à u0 donc tend vers
(+∞ si u0 <0
−∞ si u0 >0
Comme les limites de deux suites extraites sont différentes, la suite diverge sans limite.
Rappelons la formule de la somme des puissances successives d’un réel.
Proposition. Somme des puissances entières successives d’un réel Soit x un nombre réel (ou complexe). Pour tout entier natureln, on a
1 +x+x2+· · ·+xn=
Le cas oùx= 1 est trivial. Six est différent de 1, il suffit de développer (1−x)(1 +x+· · ·+xn) = 1 +x+x2+· · ·+xn
−x−x2− · · · −xn−xn+1
= 1−xn+1.
Plus généralement, par la même démonstration, pour tous entiers naturels netp tels quep6n, on a
xp+· · ·+xn=
Cette proposition permet de calculer la somme de termes en progression géométrique.
Proposition. Somme de termes en progression géométrique
Soit (un)n∈Nune suite en progression géométrique de raisonq 6= 1. Pour tous entiers naturelsp6n,
4.3. Utilisation des résultats sur les suites arithmétiques et géométriques Exemple.
On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 4 et par la relation de récurrence
∀n∈N, un+1=− 1 un+ 2
1. Montrons que, pour tout entier naturelnnon nul,unest défini et vérifie l’encadrement −1< un<0.
On montre par récurrence surndansN? :Hn «un est bien défini et−1< un<0 ».
• Conclusion : la suite (un)n∈N est bien définie et tous ses termes sont compris strictement entre -1 et 0.
2. On introduit la suite (vn)n∈Ndéfinie par
∀n∈N, vn= 1 un+ 1.
Pour tout entier natureln,un+ 16= 0 donc la suite (vn)n∈N est bien définie.
3. Calculons les premiers termes de la suite (vn)n∈N. On au0= 4, u1 = 1
6,u2 =− 6
11,u3 =−11
16. Doncv0 = 1
5,v1 = 6
5,v2= 11
5 etv3 = 16 5 . 4. On peut conjecturer que la suite (vn)n∈Nest arithmétique de raison 1 et de premier terme 1
5. Montrons-le.
Pour tout entiernon a vn+1−vn= 1
un+1+ 1− 1
un+ 1 = 1
−u1
n+2 + 1− 1
un+ 1 = 1
un+2−1 un+2
− 1 un+ 1
= un+ 2 un+ 1− 1
un+ 1 = un+ 1 un+ 1 = 1,
ce qui prouve que la suite (vn)n∈N est arithmétique de raison 1 et de premier termev0 = 1 4 + 1 = 1
5. On en déduit
∀n∈N, vn= 1 5+n 5. On déduit de l’expression devn une expression de un.
Or pour tout entier natureln, vn= 1
un+ 1 ⇐⇒ un+ 1 = 1
vn ⇐⇒ un= 1 vn −1. Pa conséquent,
∀n∈N, un= 1
1
5 +n −1 6. Finalement on constate que la suite (un)n∈N converge vers −1.