Propriétés de limites

3.1. Opérations sur les limites

Proposition. Limite de la somme de deux suites

Soient (u_n)n∈N et (v_n)n∈Ndeux suites réelles. Soient `et`⁰ deux réels.

• Si (u_n)n∈N converge vers`et (v<sub>n</sub>)n∈N converge vers`⁰, alors (u_n+v_n)n∈N converge vers`+`⁰.

• Si (u_n)n∈N est minorée et (v_n)n∈N tend vers +∞, alors la suite (u_n+v_n)n∈N tend vers +∞.

• Si (u_n)n∈N est majorée et (v_n)n∈N tend vers−∞, alors la suite (u_n+v_n)n∈N tend vers−∞. En particulier, on a les résultats suivants.

• Si (u_n)n∈N tend vers un réel ou +∞ et (v_n)n∈N tend vers +∞, alors la suite (u_n+v_n)n∈N tend vers +∞.

• Si (u_n)n∈N tend vers un réel ou −∞et (v_n)n∈N tend vers −∞, alors la suite (u_n+v_n)n∈N tend vers−∞.

Remarque.

Si (un)n∈Ntend vers +∞ et (vn)n∈N tend vers−∞, alors on ne peut rien direa priori.

C’est une forme indéterminée: il n’existe pas de théorème général mais la limite peut exister.

Exemple.

• Si pour tout entier natureln,un=netvn=−n+`, où` désigne un réel, alorsun+vn−−−−−→

n→+∞ `.

• Si pour tout entier natureln,un=n² etvn=−n, alorsun+vn−−−−−→

n→+∞ +∞.

• Si pour tout entier natureln,u_n=netv_n=−n², alorsu_n+v_n−−−−−→

n→+∞ −∞.

• Si pour tout entier natureln,u_n=netv_n=−n+ (−1)ⁿ, alors la suite de terme généralu_n+v_n= (−1)ⁿ n’admet pas de limite.

Proposition. Limite du produit d’une suite par un scalaire Soit (un)n∈Nune suite réelle. Soitλun réel non nul.

• Si la suite (un)n∈N converge vers le réel `, alors la suite (λun)n∈N converge vers λ`.

• Si la suite (un)n∈N tend vers +∞, alors la suite (λun)n∈N tend vers

(+∞ si λ >0

−∞ si λ <0.

• Si la suite (u_n)n∈N tend vers−∞, alors la suite (λu_n)n∈N tend vers

(−∞ si λ >0 +∞ si λ <0.

• Si la suite (u_n)n∈N n’admet pas de limite, alors la suite (λu_n)n∈N n’admet pas de limite.

Remarque.

Pour toute suite (un)n∈N, siλ= 0, alors la suite (λun)n∈N est nulle donc admet pour limite 0.

Proposition. Somme d’une suite convergente et d’une suite divergente

Soient (u_n)n∈N une suite convergente et (v_n)n∈N une suite divergente. Alors la suite (u_n+v_n)n∈N est divergente.

Remarque.

On ne peut rien direa priori sur la somme de deux suites divergentes.

Proposition. Limite d’un produit de deux suites

Soient (un)n∈N et (vn)n∈Ndeux suites réelles. Soient `et`⁰ deux réels.

1. Si (un)n∈N converge vers 0 et (vn)n∈N est bornée, alors (unvn)n∈N converge vers 0.

2. Si (u_n)n∈N converge vers`et (v<sub>n</sub>)n∈N converge vers`⁰, alors (u_nv_n)n∈N converge vers``⁰. 3. Si (u_n)n∈N tend vers +∞ et si, à partir d’un certain rang,

• (v_n)n∈N est minorée par une constante strictement positive, alors (u_nv_n)n∈N tend vers +∞.

• (v_n)n∈N est majorée par une constante strictement négative, alors (u_nv_n)n∈N tend vers−∞. 4. Si (u_n)n∈N tend vers−∞et si, à partir d’un certain rang,

• (v_n)n∈N est minorée par une constante strictement positive, alors (u_nv_n)n∈N tend vers−∞.

• (v_n)n∈N est majorée par une constante strictement négative , alors (u_nv_n)n∈Ntend vers +∞.

Exemple.

Montrons que dans le cas de la forme indéterminée « 0×+∞», tous les cas peuvent se présenter.

• Si pour tout entier naturelnnon nul, u_n= `

n, où` désigne un réel, etv_n=n, alorsu_nv_n−−−−−→

n→+∞ `.

• Si pour tout entier naturelnnon nul, u_n= 1

n² etv_n=n, alorsu_nv_n−−−−−→

n→+∞ 0⁺.

• Si pour tout entier naturelnnon nul, un=− 1

n² etvn=n, alorsunvn−−−−−→

n→+∞ 0⁻.

• Si pour tout entier naturelnnon nul, u_n= 1

n etv_n=n², alorsu_nv_n−−−−−→

n→+∞ +∞.

• Si pour tout entier naturelnnon nul, u_n=−1

n etv_n=n², alorsu_nv_n−−−−−→

n→+∞ −∞.

• Si pour tout entier naturelnnon nul,un=(−1)ⁿ

n et vn=n, alors unvn= (−1)ⁿ n’admet pas de limite.

Proposition. Limite de l’inverse

Soit (u_n)n∈Nune suite réelle et soit ` un réelnon nul.

1. Si la suite (u_n)n∈N converge vers le réel non nul`, alors la suite 1 u_n

converge vers le réel 1

`. 2. Si la suite (u_n)n∈N tend vers +∞ ou−∞, alors la suite 1

u_n

converge vers 0.

3. Si la suite (u_n)n∈N converge vers 0 et si tous ses termes sont strictement positifs (respectivement négatifs) à partir d’un certain rang, alors la suite 1

u_n

tend vers +∞ (respectivement−∞).

Exemple.

Dans le cas de la forme indéterminée « 1

0 », les différentes possibilités sont +∞,−∞ou pas de limite.

• Si pour tout entier naturelnnon nul, un= 1

n, alors lim

n→+∞

1

un = lim

n→+∞n= +∞.

• Si pour tout entier naturelnnon nul, un=−1

n, alors lim_n→+∞ 1

u_n = lim_n→+∞−n=−∞.

• Si pour tout entier natureln non nul,u_n= (−1)ⁿ

n+ 1, alors la suite de terme général 1

un = n+ 1

(−1)ⁿ n’admet pas de limite.

Remarque.

On peut retenir

« 1

0⁺ = +∞», « 1

0⁻ =−∞» et « 1

∞ = 0 »,

mais ces abréviations ne doiventpas être utilisées dans la rédaction d’une solution.

Proposition. Limite du quotient de deux suites

positifs à partir d’un certain rang, alors la suiteu_n vn

négatifs à partir d’un certain rang, alors la suiteu_n v_n

(minorée par une constante strictement positive majorée par une constante strictement négative , alors la suiteu_n

Les formes indéterminées sont « ∞

∞ », « 0

0 » et « ∞

0 » (pour le dernier, si le quotient n’est pas de signe constant à partir d’un certain rang, alors il n’y a pas de limite).

En revanche, « ∞

0⁺ » et « ∞

0⁻ » ne sont pas des formes indéterminées.

Exemple.

Dans le cas de la forme indéterminée « +∞

+∞ », tous les cas non négatifs peuvent se présenter.

• Si pour tout entier natureln,un=`n, où `est dans R^?+, etvn=n, alors un

3.2. Limites de suites et fonctions

Proposition. Limite d’une fonction d’une suite Soit (un)n∈Nune suite qui tend vers `(un réel ou +∞ ou−∞).

Exemple.

Ainsi, d’après le théorème de convergence par encadrement, la suite(−1)ⁿ n

n∈N^?

converge, et sa limite est 0.Pour tout entier natureln,n−16n+ (−1)ⁿ.

Or la suite (n−1)n∈Ntend vers +∞.

D’après le théorème de divergence par minoration, on en déduit que la suite (n+ (−1)ⁿ)_n∈N tend vers +∞.

3.4. Théorème de la limite monotone

Théorème. Théorème de la limite monotone Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie).

1. Soit (u_n)n∈N une suite croissante.

• Si la suite (u_n)n∈N est majorée par un réelM, alors elle converge vers un réel`6M.

• Si la suite (u_n)n∈N n’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞. 2. Soit (u_n)n∈N une suite décroissante.

• Si la suite (u_n)n∈N est minorée par un réelm, alors elle converge vers un réel `>m.

• Si la suite (u_n)n∈N n’est pas minorée, alors elle diverge vers−∞.

Remarque.

Ce théorème ne donne pas la limite de la suite mais est utilisé pour prouver l’existence de la limite.

3.5. Suites extraites des termes d’indices pairs et impairs

Définition. Suites extraites des termes d’indices pairs et impairs Soit (u_n)n∈Nune suite.

• On appellesuite extraite des termes d’indices pairsla suite (u_2n)n∈N.

• On appellesuite extraite des termes d’indices impairs la suite (u_2n+1)n∈N.

Théorème. Théorème des suites extraites Soit (u_n)n∈Nune suite. Soit `un réel ou +∞ ou−∞.

La suite (un)n∈N admet pour limite`si et seulement si les suites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N admettent pour limite`.

Remarque.

Pour montrer qu’une suite est divergente, il suffit de déterminer une sous-suite divergente ou deux sous-suites qui convergent vers des limites différentes.

Théorème. Théorème des suites extraites d’indices pairs et impairs Soit (un)n∈Nune suite. Soit `un réel ou +∞ ou−∞.

Alors (un)n∈N admet pour limite`si et seulement si (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N admettent pour limite`.

Remarque.

Pour tout entier natureln, le terme qui suit u2n dans la suite (u2n)n∈N estu_2(n+1)=u2n+2. Pour tout entier natureln, le terme qui suit u_2n+1 dans la suite (u_2n+1)n∈N est u_2(n+1)+1 =u_2n+3. Exemple.

• La suite ((−1)ⁿ)_n∈N, qui est bornée par −1 et 1, n’admet pas de limite.

En effet, la suite des termes d’indices pairs est constante et prend la valeur 1 donc converge vers 1.

La suite des termes d’indices impairs est constante et prend la valeur−1 donc converge vers −1.

Comme les limites de deux suites extraites sont différentes, la suite diverge sans limite.

• La suite (n(−1)ⁿ)n∈N, qui n’est pas bornée, n’admet pas de limite.

En effet, la suite (2n)n∈N des termes d’indices pairs tend vers +∞. La suite (−(2n+ 1))n∈N des termes d’indices impairs tend vers −∞.

Comme les limites de deux suites extraites sont différentes, la suite diverge sans limite.

3.6. Croissances comparées

Théorème. Croissances comparées

Soient aetbdeux réels tel quea >0 et b >1. Alors

• lim_n→+∞n^a

n! = 0, • lim_n→+∞bⁿ

n! = 0, • lim_n→+∞n^a

bⁿ = 0, • lim_n→+∞ n! nⁿ = 0.

Remarque.

Par ordre de prépondérance croissante on a ainsi :

• les suites puissances strictement positives ;

• les suites exponentielles de basea >1 ;

• la suite factorielle ;

• la suite de terme général nⁿ.

Dans le document Polycopié (Page 39-45)