Influence de la densité

Estimation des ressources

Septembre 2008

2

Plan

Influence de la densité

Méthode polygonale

Méthode des triangles

Inverse de la distance

Méthode des sections

Manuelle

Logiciels de CAO

Critique des méthodes

Calcul de densité théorique

Influence de la densité

t1,v1,d1 t2,v2,d2

V=v1+v2

d, t ? v 1 v 2

2 d

* 2 v 1 d

* 1 d v

+

= +

2 d

* 2 v 1 d

* 1 v

2 d

* 2 v

* 2 t 1 d

* 1 v

* 1 t t

+

= +

La quantité de métal dans un bloc est t*v*d = t*masse du bloc

Pour une même teneur et un même volume, il y a plus de métal dans un bloc à forte densité

Souvent, les variations de densité peuvent être considérées comme

négligeables par rapport aux variations des teneurs ou des volumes

4

Quand épaisseur et/ou densité varient :

Généralement on estime la quantité de métal dans un volume donné et on divise par le tonnage estimé pour ce même volume

Soit

t

= teneur au point i

s

*= facteur de pondération dépendant de la méthode utilisée e

= épaisseur au point i

d

= densité au point i

À un point « 0 », on estime la teneur par où

∑

∑

=

j j i

i i

0

s

s t t

s i

= s

* quand « t » varie

= s

*

e

quand « t » et « e » varient

= s

* x e

x d

quand « t », « e » et « d » varient

Méthode polygonale (plus proche voisin)

Principe : la teneur estimée en un point est égale à la teneur du point connu le plus proche

=> définit des polygones (polygones de Voronoï) à teneur constante

Même principe est appliqué pour l’épaisseur

6

Exemple

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

Méthode des polygones

x

y

Exemple

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

Méthode des polygones

x

y Le seul paramètre à

spécifier est la règle de fermeture pour les

polygones externes

Souvent: distance max

8 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x

y

Méthode des polygones Teneur

Design de la mine, la teneur moyenne est

la moyenne pondérée par les

« surfaces »

Pour une zone donnée

s i

- surface x épaisseur

- surface x épaisseur x densité

∑

∑

=

j j i

i i

moy

s

s

t

t

10

Comment obtenir les polygones?

Triangulation de Delaunay

Triangles les + équilatéraux possibles

Perpendiculaires au milieu des côtés des triangles

Les points d’intersection des perpendiculaires définissent les

polygones

0 20 40 60 80 100 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

Méthode des polygones

x

y

Note : pour points d’un même triangle => polygones de Voronoi se touchent

Polygones de Voronoi et

triangulation de Delaunay sont deux

opérations duales

Dans une triangulation de Delaunay

Cercle défini par 3 points d’un triangle de Delaunay n’inclut aucun autre point Plusieurs algorithmes très efficaces pour le programmer

A B

C

D

D est dans le cercle ABC. Le triangle ABC n’est pas Delaunay

A B

C

D

D n’est pas dans le cercle ABC. Le triangle ABC est Delaunay

Méthode des polygones : estimation ponctuelle et blocs

Tous les points dans un polygone reçoivent la teneur de la donnée associée au polygone

Ex. grille régulière =>

polygones sont des carrés

Estimés des blocs => même distribution statistique que les

données

20 40 60 80

100Méthode des polygones

x

y

1 1.5 2 2.5 3

0 5 10

15histogramme des données

1 1.5 2 2.5 3

0 5 10

histogramme des blocs (estimés)15

Est-ce réaliste d’un point de vue statistique ?

14

Méthode des triangles

(Σ Σ Σ Σ t _i + Σ Σ Σ Σ t _i S _i / Σ Σ Σ Σ S _i ) /4

(méthode des %)

- Teneur - Épaisseur

Σ Σ Σ

Σ t _i S _i / Σ Σ Σ Σ S _i

(moyenne pondérée) - Accumulation = Teneur x épaisseur

- Épaisseur (S

)

Teneur (triangle) Hypothèse: ce qui varie linéairement

Triangulation de Delaunay

Note, si la densité varie aussi, on l’inclut dans le facteur de pondération S

Méthode des triangles : estimation ponctuelle et de blocs Points : interpolation linéaire

+

t1 t2

t3

a

b

t13* c

d

t0*

t13*= t1+a/(a+b)*(t3-t1) t0*=t13*+c/(c+d)*(t2-t13*)

Blocs : moyenne des teneurs ponctuelles estimées dans le bloc

16

Comparaison

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Réalité

Polygones Triangles

Inverse de la distance

L’estimateur est de la forme :

∑ ∑

∑

∑

=

=

=

= =

=

1 j

b j b i i

i

i n i

1 i

b i n

1 i

b i i

d 1 d / s 1

avec s

t d

1 d

t t

où d

est la distance entre le point à estimer et le i ème point observé

18

Exemple

# distanc e

teneur

1 40 % 1

2 40 1

3 30 1.5

4 35 1.5

5 20 3

Estimation au point A avec b=2

% 05 . 2 )

1/20 1/35

1/30 1/40

(1/40

) 3/20 1.5/35

1.5/30 1/40

(1/40

t

2 2

2 2

2

+ = +

+ +

+ +

+

= +

Note:

- Défini pour une estimation ponctuelle

- bloc: moyenne des estimations ponctuelles dans le bloc - Si épaisseur ( et/ou densité) varie, habituellement estimer

accumulation (a*) et épaisseur (e*) séparément et calculer

t*=a*/e*.

20

Influence de « b »

b=0 b=0.25 b=0.5 b=1 b=1.5 b=2b=2.5 b=3

Forme des interpolations en fonction de l'exposant b

Coordonnée

Estimation

Le coefficient « b » contrôle la forme de l’interpolation

Plus « b » est élevé, plus l’influence du point le plus près est grande; plus

l’estimation apparaît

comme une série de

plateaux coupés par

de forts gradients.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Coord. x

Cooerd. y

Interpolation en 2D, b=1

0.1 0.2

0.30.2 0.4

0.4 0.5

0.5 0.6

0.6 0.7

0.7 0.8

0.8

0.8 0.9

0.9

0.9

0.9

1 1

1

1 1.21.1 1.21.1 1.11.2

1.3 1.3 1.3

1.4 1.4 1.4

1.4 1.5

1.5 1.5

1.6 1.6

1.6 1.7

1.7

1.8 1.9 1.8

0 1

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Coord. x

Cooerd. y

Interpolation en 2D, b=3

0.1

0.1 0.2

0.2 0.3

0.3 0.4

0.4 0.5

0.5

0.5

0.6

0.6

0.6 0.7

0.7

0.7 0.8

0.8

0.8 0.9

0.9

0.9

0.9

1 1

1 1

1.1 1.1

1.1 1.2 1.2

1.2 1.3 1.3

1.3 1.4 1.4

1.4 1.5 1.5

1.51.6 1.6 1.61.7

1.7 1.7 1.8

1.8 1.8

1.9 1.9 1.9

1.9

0 1

2

t=0 t=1

t=2

Note: l’inverse de la distance ne permet pas une interpolation linéaire

b = 1 b = 3

En 2D

22

La distance peut être anisotrope

d = x ² + ay ²

« a » >1 indique qu’un écart donné sur le terrain correspond à une distance + grande en « y » qu’en « x »

A est plus près de B que de C, pourtant il est logique de considérer C plus

semblable à A (que B)

A B

C

strates

Paramètres de contrôle avec l’inverse de la distance

- Exposant « b »

- Importance et orientation d’une éventuelle anisotropie

- Distance maximale utilisée pour sélectionner les données lors de l’estimation et/ou nombre de données

Outil pour déterminer ces paramètres ?

Validation croisée

Principe : réestimer les points connus en se servant des

voisins

- Enlever une observation Z

et effectuer l’estimation avec les autres => Z

*

-Calculer l’erreur d’estimation e

= Z

– Z

*

-Répéter le processus pour les autres observations et calculer une statistique globale sur l’erreur

e.g. ou ∑ | e

| n

1 ∑ e

n

1

24

Exemple

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59

0.6 Validation croisée

Exposant b

Moyenne |e|

Sol contaminé à l’arsenic (données de l’EPA)

b=2.5 procure en moyenne l’erreur absolue minimale

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Comparaison

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Réalité

« b » = 2

« b » = 1

26

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 20 40 60 80 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

16 22

13 17

Inv dist b=2 Inv dist, b=1

Triangles Polygone

Validation croisée

Méthode des sections (« manuelle »)

1. Obtenir une série de sections parallèles avec les forages projetés sur les sections

2. Identifier à partir des forages les intersections de minerai et dessiner la forme présumée du gisement sur chaque section

3. Estimer la teneur sur la section (e.g. polygonale, i.e. étendre la teneur de chaque forage à mi-distance du forage voisin)

4. Se donner une règle pour combiner 2 sections consécutives et ainsi définir un volume minéralisé

e.g. Changement brusque, linéaire, cône tronqué ou obélisque

5. Calculer la teneur moyenne du volume selon la règle choisie et

selon les teneurs sur chaque section

28

D

C

B

A

b 2 a 2

b 1 a 1

Hypothèses pour le calcul des volumes

A:

S₁

S₂ L

B:

S₁

S₂

C:

S₁ S₂

( )

3

2 1 2

1 S S S L

V S + +

=

( )

2

2

1 S L

V S +

=

( )

2

2

1 S L

V S +

=

D:

S

S₂

( )

6 2

2

V + + +

=

-400 -300 -200 -100 0 100 -400

-300 -200 -100 0 100

95069505

9746 97419744 9739 9738

9752

Section perp a x=160, epaisseur=15

Coordonnée y (m)

9735 9722 9718

Coordonnée z (m)

Nb<=0.4 0.4<Nb<=0.5 0.5<Nb<=0.7 0.7<Nb<=0.9 0.9<Nb

Surface=47800 m2 Teneur=0.70%

-400 -300 -200 -100 0 100 -400

-300 -200 -100 0 100

9507 9508

9741 9745 9744

Section perp a x=145, epaisseur=15

Coordonnée y (m)

9718

9725 9721

9724

Coordonnée z (m)

Nb<=0.4 0.4<Nb<=0.5 0.5<Nb<=0.7 0.7<Nb<=0.9 0.9<Nb

Surface=57900 m2 Teneur=0.575%

32

Ayant la teneur et la surface de chaque section, on peut calculer le volume compris entre les 2 sections et la teneur de ce volume

s1=47800 s2=57900 t1=0.70% t2=0.575% L=15m

0.6165%

791540 m3 Cône tronqué

t varie lin.

0.6024%

792750 m3 Surface lin.

t varie lin.

0.6345%

792750 m3 Surface brusque

t varie brusque.

Teneur Volume

Méthode

Méthode des sections (moderne)

Conserver l’approche géométrique pour définir l’enveloppe du gisement en 2D

Passage section => 3D par « modélisation solide »

Estimer les teneurs séparément dans un modèle de blocs (e.g. par krigeage)

Intersection modèle de blocs et géométrie du gisement =>

teneur du solide

Principe : séparer le problème de l’estimation des teneurs de celui de

la définition de la géométrie du gisement

0 0.5 1 0

0.5

1Section S1 a y=0 apres interpolation

Coord x

Coord z

0 0.5 1

0 0.5

1Section S2 a y=1 apres interpolation

Coord x

Coord z

0 0.5 1

0 0.5

1Section S3 a y=2 apres interpolation

Coord x

Coord z

0.2 0.4 0.6 0.8 0

1 2

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Points servant à définir le polygone Le tracé est interpolé en un grand

nombre de points

Les points d’interpolation de deux sections consécutives sont joints par des triangles Les points d’interpolation de

deux sections consécutives sont joints par des triangles

36

Il faut fermer le volume par des sections « de bout »

Logiciels de CAO minière

Grand nombre de logiciels permettant d’exécuter la

modélisation 3D des gisements; logiciels dispendieux (10 k$

et +)

- GDM

- Datamine - GOCAD

- Surpac (Surpac Vision) - Gemcom (Gems)

- Maptek (Vulcan)

- Mintec (MineSight)

- …

38

Critique des méthodes

Méthode des sections => enveloppe du gisement (aspect géométrique)

Inverse de la distance => plus de flexibilité

Triangles => bons résultats si données abondantes et de qualité (ex. représenter une topographie)

Polygonale => à éviter (imprécise et ne fournit pas de teneurs réalistes pour des blocs)

Localement, polygonale utilise 1 donnée, triangles 3 données et inverse de la distance : à déterminer, habituellement 5-50

Triangle, polygonale et inverse de la distance : interpolateur exact choix discutable lorsque les données sont entachées d’erreur

Triangle et polygonale : surtout problèmes 2D (ex. veine; niveau d’une mine)

Comparer les performances des méthodes par la technique de la

validation croisée

Calcul de densité théorique

Certaines mines calculent la densité du minerai à partir des analyses chimiques obtenues Deux approches :

- formule empirique obtenue par régression;

- calcul basé sur la minéralogie déduite de l’analyse chimique

Exemple : - gisement de Cu

- Cu dans la chalcopyrite (d=4.2, teneur en Cu dans chalco 35%) - chalco est le seul sulfure présent

- autres minéraux ont une densité voisine de 3 - densité d’un minerai ayant 1% Cu ? 5% Cu ? 1 % Cu => 1/0.35=2.86% chalco

100 g roche=>2.86 g chalco => volume de chalco = 2.86 g / 4.2 g/cm3 => 0.68 cm3

=> 97.14 g gangue => volume de gangue => 97.14 g / 3 g/cm3 => 32.38 cm3 Volume total = 33.06 cm3

Masse volumique théorique = 100g / 33.06 cm3 = 3.02 g/ cm3 =>

d=3.02

40

5 % Cu => 5/0.35=14.29% chalco

100 g roche=>14.29 g chalco => volume de chalco = 14.29 g / 4.2 g/cm3 => 3.40 cm3

=> 85.71 g gangue => volume de gangue => 85.71 g / 3 g/cm3 => 28.57 cm3 Volume total = 31.97 cm3

Masse volumique théorique = 100g / 31.97 cm3 = 3.13 g/ cm3 =>

d=3.13

Note: 3.13 ≠ 0.857*3+0.143*4.2=3.17

0 10 20 30 40

3 3.5 4

4.5 Densité vs teneur en Cu

Teneur en Cu, (%)

Densite

La variation de la densité n’est pas

linéaire en fonction de la teneur en Cu

Si chalco + pyrite ?

% Cu => % chalco

% S – (%S dans chalco) => % pyrite (suppose que S provient uniquement de pyrite et chalco)

Cas général => système d’équations linéaires Ax=b

A(i,j) = teneur élément « i » dans minéral « j » connu par la formule chimique du minéral b(i) = teneur élément « i » dans la roche connu par l’analyse chimique

x(j)= teneur du minéral « j » dans la roche; x(n) est la gangue à déterminer On a aussi la contrainte :

∑ ^{x ( j ) = 1}

Pour réduire le nombre d’inconnues, on n’isole que les minéraux ayant une densité nettement différente de la « gangue ».

42

Exemple : gisement de Cu, Zn,

Cu dans la chalcopyrite (CuFeS₂) et la chalcocite Cu₂S Zn dans la sphalérite (ZnS)

la roche contient aussi de la pyrite (FeS₂)

il y a en moyenne 2% de Fe dans la gangue mais pas de soufre

Analyse => 6% Cu, 9% Zn, 5% Fe, 10% S

Poids atomique et formule stoechiométrique => 35% Cu dans chalcopyrite 80% Cu dans chalcocite 67% Zn dans la sphalérite 35% S dans la chalcopyrite 20% S dans la chalcocite 33% S dans la sphalérite 53% S dans la pyrite

30% Fe dans la chalcopyrite 47% Fe dans la pyrite





















=









































>

>

>

>

1 0.05 0.10 0.09 0.06

Gangue Pyrite Sphalérite Chalcocite

te Chalcopyri

1 1

1 1

1

02 . 0 47 . 0 0 0

0.30

0 53 . 0 33 . 0 20 . 0 35 . 0

0 0

67 . 0 0 0

0 0

0 50 . 0 35 . 0

Fe-

S- Zn-

Cu- 0.80

Solution :

Densité chalcopyrite : 4.1 chalcocite : 5.6 sphalérite : 4.1 pyrite : 5.0 gangue : 2.9

%

71.4 7.9 13.43

7.7 0

Gangue Pyrite Sphalérite Chalcocite te Chalcopyri





















=





















Volume pour 100 g de roche

chalcopyrite : 0 g/ 4.1g/cm3= 0 cm3 chalcocite : 7.7/5.6 = 1.38 cm3 sphalérite : 13.43/4.1= 3.28 cm3 pyrite : 7.9/5.0= 1.58 cm3 gangue : 71.4/2.9= 24.62 cm3

Volume total: 30.86 cm3

Masse volumique : 100 g/30.86 cm3= 3.24 g/cm3 Densité théorique: 3.24

44

Effet de la porosité sur la densité

théorique vide

roche

théorique roche

vide roche

roche

réelle

(1 - n)

V V

V V

V

M = ρ

+

= ρ

= + ρ

vide roche

vide

V V

n V porosité

= +

≡