Courbes B-splines

STS2 Résumé

Courbes B-splines

1 Les modèles

Dénition 1 : Courbe de Bézier

La ourbe deBézier dénie par les

n + 1

^{pointsdeontrle}

P ₀

^{, ...,}

P n

^{est l'ensemble des points}

M(t)

^dénispour

t ∈ [0; 1]

^par

−−→ OM (t) =

n

X

i=0

B _i,n (t) −−→

OP i

ave

B _i,n (t) = n

i

t ⁱ (1 − t) ^{n − i}

^{appelés polynmes de Berstein.}

Polynmesde Bersteindedegré 2:

B _0,2 (t) = 1 − 2t + t ² B _1,2 (t) = 2t − 2t ² B _2,2 (t) = t ²

Polynmesde Bersteindedegré 3:

B _0,3 (t) = 1 − 3t + 3t ² + t ³ B _1,3 (t) = 3t − 6t ² + 3t ³ B _2,3 (t) = 3t ² − 3t ³ B _3,3 (t) = t ³

Propriétés :

•

La ourbe deBezier passe par les points

P ₀

^et

P _n

^.

•

^{La ourbe deBezier admet}

(P ₀ P ₁ )

^{pourtangente en}

P ₀

^et

(P _n − 1 P _n )

^{pourtangente en}

P _n

^.

•

^{La ourbe est de degré}

n − 1

^{s'il ya}

n

^{points deontrle.}

•

La ourbe est totalement modié sil'onhange un point deontrle.

•

^{La ourbe deBezier orrespond à une onstrution} baryentrique.

Dénition 2 : Courbe Spline dénie par les polynmes de Riesenfeld

Laourbe splinedéniepar les

n + 1

^{pointsdeontrle}

P ₀

^,...,

P _n

^{etlespolynmesdeRiesenfeld}

dedegré

n

^{est l'ensemble des points}

M (t)

^dénispour

t ∈ [0; 1]

^par

−−→ OM (t) =

n

X

i=0

R _i,n (t) −−→

OP _i

ave

R _i,n (t) = (n + 1)

n − i

X

j=0

( − 1) ^j (t + n − i − j) ⁿ

j!(n + 1 − j)!

^{appelés polynmes de}Riesenfeld.

Polynmesde Riesenfeldde degré2 :

R _0,2 (t) = t ²

2 − t + 1

2 ; R _1,2 (t) = − t ² + t + 1

2

^et

R _2,2 (t) = t ² 2 .

Polynmesde Riesenfeldde degré3 :

R _0,3 (t) = − ^{t 3}

6 + ^t ₂ ² − ^t

2 + ¹ ₆ R _1,3 (t) = ^t ₂ ³ − t ² + ² ₃ R _2,3 (t) = − ^{t 3}

2 + ^t ₂ ² + ^t ₂ + ¹ ₆ R _3,3 (t) = ^t ₆ ³

^.

La ourbe splinededegré

j

^{dénie parles}

n + 1

^{pointsdeontrle}

P ₀

^{, ...,}

P _n

^{et le}veteur-n÷ud

(t ₀ , t ₁ , . . . , t _k )

^{est l'ensemble des points}

M (t)

^dénispar

−−→

OM(t) =

n

X

i=0

N _i,j (t) −− → OP _i

ave

N _i,0 (t) = 1

^si

t _i 6 t < t _i+1

^et

N _i,0 (t) = 0

^{sinon et pour}

j > 1

^,

N _i,j (t) = _t ^{t − t i}

i+j − t i N _i,j − 1 (t) +

t i+j+1 − t t i+j+1 − t i+1

N _i+1,j − 1 (t)

Propriétés :

•

^{La ourbe deRiesenfeld est un assemblage de ourbe de degré}

2

^ou

3

^.

•

Les ourbes de Riesenfeld se raordent et ont même tangente aupoint deraordement.

•

^{Une ourbe de Riesenfeld de degré 3 orrespond à une ourbe de Bezier ave 4 points de}

ontrle.

•

Uneourbe de Riesenfeld n'est que loalement modiée sil'onhange un pointde ontrle.

Courbe de Bézier

LaourbedeBézierorrespondantauxpointsdeontroles

P ₀ (0; 0)

^,

P ₁ (1; 2)

^,

P ₂ (2; 0)

^et

P ₃ ( − 1; 0)

a pour équation :

(Il ya quatrepointsde ontrle don onutilise les polynmesde Bersteinde degré3.)

− − − − − →

OM (t) =

i=3

X

i=0

B _i,3 (t) ⁻ OP ^{− − − →} i

= B _0,3 (t) ⁻ OP ^{− − − − →} ₀ + B _1,3 (t) ⁻ OP ^{− − − − →} ₁ + B _2,3 (t) ⁻ OP ^{− − − − →} ₂ + B _3,3 (t) ⁻ OP ^{− − − − →} ₃

= (1 − 3t + 3t ² + t ³ ) 0

0

+ (3t − 6t ² + 3t ³ ) 1

2

+ (3t ² − 3t ³ ) 2

0

+ (t ³ ) − 1

0

=

− 4t ³ + 3t 6t ³ − 12t ² + 6t

Courbe B-spline (modèle de Riesenfeld)

La ourbe B-spline (modèle de Riesenfeld) de degré 3 orrespondant aux points de ontrole

P ₀ ( − 3; − 14)

^,

P ₁ (0; 4)

^,

P ₂ (3; − 2)

^et

P ₃ ( − 18; 4)

^{a pour équation}

− − − − − →

OM (t) = R _0,3 (t) ⁻ OP ^{− − − − →} ₀ + R _1,3 (t) ⁻ OP ^{− − − − →} ₁ + R _2,3 (t) ⁻ OP ^{− − − − →} ₂ + R _3,3 (t) ⁻ OP ^{− − − − →} ₃

= ( − t ³ 6 + t ²

2 − t 2 + 1

6 ) − 3

− 14

+ ( t ³

2 − t ² + 2 3 )

0 4

+ ( − t ³ 2 + t ²

2 + t 2 + 1

6 ) 3

− 2

+ ( t ³ 6 )

− 18 4

=

− 4t ³ + 3t 6t ³ − 12t ² + 6t

Courbe B-spline (modèle de Boor)

Onhoisitle veteur n÷ud

(0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3)

^.

Onprendles 5 pointsde ontrle

P ₀ (1; 0)

^,

P ₁ (4; 2)

^,

P ₂ (2; 4)

^,

P ₃ (0; 4)

^et

P ₄ ( − 4; 4)

^.

Les 5fontionsde B-Splinesde degré

2

^{sont :}

t

N _(0,2) (t) N _(1,2) (t) N _(2,2) (t) N _(3,2) (t) N _(4,2) (t)

−∞ 0 1 2 3 + ∞

0 (1 − t) 0 0 0

0 ¹ ₂ t(4 − 3t) ¹ ₂ (t − 2) ² 0 0

0 ^t ₂ ² − t ² + 3t − ³

2 (t − 3) ²

2 0

0 0 ¹ ₂ (t − 1) ^{2 1} ₂ (3 − t)(3t − 5) 0

0 0 0 (t − 2) 0

La ourbe B-Spline assoiéesà e veteur-n÷ud etespointsde ontrle est:

− − − − − →

OM =

i=4

X

i=0

N _(i,2) ⁻ OP ^{− − − →} _i .

•

^sur

] − ∞ ; 0]

^etsur

[3 ; + ∞ [

^{,laourbe B-Splineest nulle.}

•

sur

[0; 1]

^:

− − − − − →

OM(t) = N _(0,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₀ + N _(1,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₁ + N _(2,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₂ + N _(3,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₃ + + N _(4,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₄

= (t ² − 2t + 1) × 1

0

+ ( − 3t ²

2 + 2t) × 4

2

+ t ² 2 ×

2 4

+ 0 × 0

4

+ 0 × − 4

4

=

− 4t ² + 6t + 1

− t ² + 4t

•

sur

[1; 2]

^:

− − − − − →

OM (t) = N _(0,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₀ + N _(1,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₁ + N _(2,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₂ + N _(3,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₃ + + N _(4,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₄

= 0 × 1

0

+ ( t ²

2 − 2t + 2) × 4

2

+ ( − t ² + 3t − 3 2 ) ×

2 4

+ · · ·

· · · ( t ²

2 − t + 1 2 ) ×

0 4

+ 0 × − 4

4

=

− 2t + 5

− t ² + 4t

•

sur

[2; 3]

^:

− − − − − →

OM (t) = N _(0,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₀ + N _(1,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₁ + N _(2,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₂ + N _(3,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₃ + + N _(4,2) ⁻ OP ^{− − − − →} ₄

= 0 × 1

0

+ 0 × 4

2

+ ( t ²

2 − 3t + 9 2 ) ×

2 4

+ · · ·

· · · ( − 3t ²

2 + 7t − 15 2 ) ×

0 4

+ (t ² − 4t + 4) × − 4

4

=

− 3t ² + 10t − 7 4