Exercice 1 : D’apr` es le concours d’inspecteur des impˆ ots, 2000.

Fr´ ed´ eric Bertrand & Myriam Maumy-Bertrand IPAG - 2009/2010

T. D. n ^o 4

S´ eries num´ eriques et s´ eries enti` eres.

Exercice 1 : D’apr` es le concours d’inspecteur des impˆ ots, 2000.

ln d´ esigne le logarithme n´ ep´ erien.

Pour tout n ∈ N ^∗ , on note u _n =

n

X

k=1

1 k

!

− ln n.

A. Pour tout n ∈ N ^∗ , on note v _n = u _n+1 − u _n .

1. Montrer que v _n est ´ equivalent, quand n tend vers +∞, ` a − 1 2n ² . 2. Quelle est la nature de la s´ erie X

n>1

v _n ? 3. En d´ eduire que la suite (u _n ) _n>1 converge.

On note γ la limite de la suite (u _n ) _n>1 .

Exercice 2 : D’apr` es le concours d’inspecteur des impˆ ots, ´ epreuve num´ ero 3, 2004.

Calculer la somme de la s´ erie :

+∞

X

n=1

1

n(n + 1)(n + 2) ·

Exercice 3 :

Calculer la somme de la s´ erie :

+∞

X

n=0

1

(8n + 1)(8n + 5) ·

Exercice 4 :

Calculer la somme de la s´ erie :

+∞

X

n=0

1

(4n + 1)(4n + 3) ·

1

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Exercice 5 : D’apr` es le concours d’inspecteur des impˆ ots, ´ epreuve num´ ero 2, 2004.

A partir de l’expression de la fonction arctan ` <sup>(1)</sup> , d´ eriv´ ee premi` ere de la fonction arctan, trouver le d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de la fonction arctan et en d´ eduire la somme de la s´ erie :

+∞

X

n=0

(−1) ⁿ 2n + 1 ·

Exercice 6 :

Calculer la somme de la s´ erie :

+∞

X

n=0

(−1) ⁿ 3n + 1 ·

Exercice 7 :

Nature des s´ eries de termes g´ en´ eraux :

a) 1

n ln (n) ln (ln (n)) ^a ;

b) 1

ln (n) ^{ln (n)} ·

Exercice 8 :

Nature de la s´ erie de terme g´ en´ eral : v _n = √

n + 1 − √

n.

Exercice 9 :

Nature de la s´ erie de terme g´ en´ eral : v _n = cos (πn ² (ln (n − 1) − ln (n))).

Exercice 10 :

Soit α > 0. Nature de la s´ erie de terme g´ en´ eral : u _n =

cos 1 n ^α

n

·

Exercice 11 : Nature de la s´ erie

+∞

X

n=0

sin (n ² ).

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Exercice 12 :

Etudier la s´ ´ erie dont le terme g´ en´ eral u _n est d´ efini par u ₀ = 1 et la relation : u _n+1 = u _n exp (−u _n ).

Exercice 13 :

Etudier la s´ ´ erie dont le terme g´ en´ eral u _n est d´ efini par u ₁ > 0 et la relation : u n+1 = 1

n exp (−u n ).

Exercice 14 :

Nature et somme de la s´ erie de terme g´ en´ eral : arctan

1 1 + n + n ²

·

Exercice 15 :

Nature et somme de la s´ erie de terme g´ en´ eral :

+∞

X

n=0

2 ⁿ tan x 2 ⁿ

tan x 2 ⁿ⁺¹

2

·

Exercice 16 : Soit p ∈ N ^∗ , calculer

p−1

X

n=0

1 n ² − p ² +

+∞

X

n=p+1

1 n ² − p ² ·

Exercice 17 :

Soit q ∈ N ^∗ , convergence et somme de

+∞

X

k=1

u k , avec u k =

k − qE

k q

k(k + 1) , o` u E(x) d´ esigne la partie enti` ere de x.

Exercice 18 :

Montrer que cos 1 est irrationnel.

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Exercice 19 : D’apr` es le concours d’inspecteur des impˆ ots, ´ epreuve num´ ero 2, 2001.

Deuxi` eme partie

1 ° ) On donne la s´ erie enti` ere de terme g´ en´ eral : w _m (x) = (−1) ^m x ^m m!( √

2) ^m

, m ∈ N . On d´ esigne par F (x) la somme, quand elle existe de cette s´ erie.

a) Montrer que cette s´ erie enti` ere a un rayon de convergence infini.

b) Montrer que F (x) > 0 pour tout x ∈ [0, √ 2].

c) Montrer que F (2 √

2) < 0.

d) Montrer que la fonction F est d´ erivable et que l’on a : F ⁰ (x) = − 1

√ 2 F x

2

, pour tout x r´ eel.

e) En d´ eduire l’existence et l’unicit´ e du r´ eel α v´ erifiant α ∈

0, 2 √ 2 F (α) = 0.

2 ° ) a) Montrer que ln

1 − 1 2 ^m

> − 1

2 ^m−1 pour tout entier strictement positif m

(ln d´ esigne la fonction logarithme n´ ep´ erien)

b) En d´ eduire que la suite (u m ) d´ efinie par u 0 = 1 et u m = 1

m

Y

i=1

1 − 1

2 ⁱ

, m ∈

N ^∗ , converge.

(Rappel :

m

Y

i=1

1 − 1

2 ⁱ

=

1 − 1

2 ¹ 1 − 1 2 ²

. . .

1 − 1

2 ^m

)

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