– Chargement axial

RESISTANCE DES MATERIAUX (1b)

Référence:

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Notes de cours:

J. Walt Oler

Texas Tech University

Contrainte et déformation

– Chargement axial

Contrainte & déformation: Chargement Axial

• Le bon fonctionnement d’une structure peut autant dépendre des déformations dans la structure que des contraintes induites par les chargements. L’analyse statique seule n’est pas suffisante.

• Considérer que les structures sont déformables permet de déterminer les forces dans les éléments ainsi que les réactions qui sont statiquement indéterminées

.

• La détermination de la distribution des contraintes dans un élément demande aussi de considérer les déformations dans l’élément.

• Ce chapitre est consacré à la déformation d’un élément de structure soumis à un chargement axial.

Principe de Saint-Venant

• Les chargements transmis à travers les plaques rigides induisent une distribution uniforme de la

contrainte et de la déformation.

• Le principe de Saint-Venant : La distribution des contraintes peut être considérée indépendante du mode de chargement sauf au voisinage

immédiat des points de chargement.

• Les distributions de contraintes et de déformations deviennent uniformes à une distance relativement petite des points d’application du chargement.

• Les chargements concentrés induisent des fortes contraintes proche du point d’application du chargement.

Note : σ_ave = σ_moy

Contrainte normale

L

A P A

P

ε δ

σ

=

=

= 2 2

L L

A P

δ ε δ

σ

=

=

= 2 strain 2

normal stress

=

=

=

= L

A P

ε δ

σ

déformation normale

Déformations sous chargement axial

AE P

E = E =

=

ε ε σ

σ

• D’après la loi de Hooke :

• D’après la définition de la déformation :

L

ε

δ

• Ainsi, pour la déformation, AE

= PL

δ

• Pour des variations de chargement, de section ou de propriétés du matériau,

= ∑

i i i i i

E A

L

δ

Problème 2.1

Une barre rigide BDE est suspendue à deux tiges AB et CD.

La tige AB est faite d’aluminium (E = 70 GPa) et a une section de 500 mm². La tige CD est faite d’acier (E = 200 GPa) et a une section de (600 mm²).

Pour une force de 30-kN, déterminer le déplacement a) de B, b) de D, et c) de E.

SOLUTION:

• Appliquer une analyse de corps libres à la barre BDE pour trouver les forces exercés par les tiges AB et DC.

• Évaluer la déformation des tiges AB et DC ou les déplacements de B et D.

• Reprendre la géométrie pour trouver le déplacement en E connaissant le déplacement en B et D.

Déplacement de B:

( ) ^{( )}

( )( )

m 10 514

Pa 10 70 m 10 500

m 3 . 0 N 10 60

6

9 2

6 -

3

× −

−

=

×

×

×

= −

= AE PL δB

↑

= 0.514mm δB

Déplacement de D:

( ) ^{( )}

( )( )

m 10 300

Pa 10 200 m

10 600

m 4 . 0 N 10 90

6

9 2

6 -

3

× −

=

×

×

= ×

= AE PL δD

↓

= 0.300mm δD

Corps libre : Barre BDE

( )

( )

n compressio F

F tension F

F M

AB

AB CD

CD B

kN 60

m 2 . 0 m

4 . 0 kN 30 0

0 M

kN 90

m 2 . 0 m

6 . 0 kN 30 0

0

D

−

=

×

−

×

−

=

= +

=

× +

×

−

=

=

∑

∑

SOLUTION:

Problème 2.1

Déplacement de E:

( )

mm 7 . 73

mm 200 mm

0.300 mm 514 . 0

=

= −

′ =

′

x

x

x HD

BH D

D B B

↓

=1.928mm δE

( )

mm 928 . 1

mm 7 . 73

mm 7 . 73 400 mm

300 . 0

=

= +

′ =

′

E E

HD HE D

D E E

δ δ

Problème 2.1

Coefficient de Poisson

• Pour une barre mince soumise à un chargement axial :

= 0

=

=

x

σ E σ σ

ε

• L’allongement dans la direction x est

accompagnée par une contraction dans les autres directions. En supposant que le

matériau est isotrope (pas de dépendance directionnelle),

≠ 0

= _z

y

ε

ε

• Le coefficient de Poisson est défini par

x z x

y

ε ε ε ε

ν

axiale n

déformation latérale déformatio

Loi de Hooke généralisée

• Pour un élément soumis à un chargement multi- axial, les composantes de la déformation axiale résultante, peuvent être déterminées par le principe de superposition. Ce qui implique :

1) La déformation est linéairement dépendante de la contrainte

2) les déformations sont et restent petites

E E

E

E E

E

E E

E

y z z x

y z y x

y z x x

νσ σ ε νσ

σ νσ ε νσ

νσ νσ ε σ

+

−

−

=

− +

−

=

−

− +

=

• Avec ces restrictions:

Déformation en cisaillement

• Un élément cubique soumis à une contrainte cisaillante va se déformer en rhomboèdre. La déformation en cisaillement correspondante est

quantifiée en termes de changement d’angle entre ses faces,

( )

xy f

γ τ

• Une courbe représentant la contrainte de

cisaillement / déformation en cisaillement est similaire à la courbe de la contrainte normale / déformation normale, sauf que les valeurs de résistance sont approximativement divisées par deux. Pour de petites déformations,

zx zx

yz yz

xy

xy G

γ τ

γ τ

γ

τ

où G est le module de rigidité ou module de cisaillement.