Exercices sur les déterminants

(1)

Déterminants

Groupe symétrique

Exercice 1 [ 02231 ][correction]

Soitn>2 etcla permutation circulairec= ( 1 2 . . . n−1 n ).

Déterminer toutes les permutationsσdeS_n qui commutent avecc.

DansS_n avecn>2, on considère une permutationσet unp-cycle : c= a1 a2 . . . ap

Observer que la permutationσ◦c◦σ⁻¹ est unp-cycle qu’on précisera.

Soientnun entier supérieur à 2, (i, j)∈ {1,2, . . . , n}²tel que i6=j etσ∈ Sn. Montrer queσet τ= i j

commutent si, et seulement si, {i, j}est stable par σ.

SoitH l’ensemble desσ∈ S_n vérifiantσ(k) +σ(n+ 1−k) =n+ 1 pour tout k∈ {1, . . . , n}.

Montrer queH est un sous-groupe de (Sn,◦)

Déterminer la signature de : a)σ=

1 2 3 4 5 6 7 8

3 5 4 8 7 6 2 1

b)σ=

1 2 3 4 5 6 7 8

1 3 2 7 4 8 5 6

Soitn∈N^?. Déterminer la signature de la permutation suivante : a)σ=

1 2 · · · n−1 n n n−1 · · · 2 1

. b)σ=

1 2 3 . . . n n+ 1 n+ 2 . . . 2n−1 2n 1 3 5 . . . 2n−1 2 4 . . . 2n−2 2n

.

Soitn>2 etτ une transposition deSn.

a) Montrer que l’applicationσ7→τ◦σest une bijection deSn versSn.

b) En déduire le cardinal de l’ensembleAn formé des permutations de signature 1 élément deSn.

Soitn>5.

Montrer que si a b c

et a⁰ b⁰ c⁰

sont deux cycles d’ordre 3 deSn, alors il existe une permutationσ, paire, telle que

σ◦ a b c

◦σ⁻¹= a⁰ b⁰ c⁰

Formes multilinéaires alternées

SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’unK-espace vectorielE.

Soientf une forme linéaire surE,pla projection vectorielle surF parallèlement à Getq= Id−psa projection complémentaire.

Montrer que l’applicationϕ:E×E→Kdéfinie par

ϕ(x, y) =f(p(x))f(q(y))−f(p(y))f(q(x)) est une forme bilinéaire alternée surE.

Soientn∈N^?,E unK-espace vectoriel de dimensionn,f ∈ L(E) et B= (e1, ..., en) une base de E. Montrer que pour tout (x1, ..., xn)∈Eⁿ :

n

X

j=1

detB (x₁, ..., f(xj), ..., xn) = tr(f) det

B (x₁, ..., xn)

Déterminant d’un endomorphisme

SoientE unR-espace vectoriel de dimension finie etf un endomorphisme deE vérifiantf²=−Id. Montrer que l’espaceE est de dimension paire.

(2)

SoitV ={x7→e^xP(x)|P ∈Rn[X]}.

a) Montrer queV est un sous-espace vectoriel deF(R,R) dont on déterminera la dimension.

b) Montrer que l’applicationD:f 7→f⁰ est un endomorphisme deV dont on calculera le déterminant.

Soitf un endomorphisme duR-espace vectorielC. a) Montrer qu’il existe d’uniques complexesa, btels que

∀z∈C,f(z) =az+b¯z b) Exprimer en fonction deaetb le déterminant def.

SoientA∈ Mn(C) et ϕA∈ L(Mn(C)) déterminé par ϕA(M) =AM Calculer la trace et le déterminant deϕA

SoitA= (a_i,j)∈ M_n(R) vérifiant

∀i∈ {1, . . . , n},|a_i,i|>X

j6=i

|a_i,j|

a) Montrer queAest inversible.

b) On suppose en outre

∀i∈ {1, . . . , n}, ai,i>0 Montrer que detA >0.

Déterminant d’une matrice carrée

SoitA= (ai,j)∈ Mn(C). On note ¯A= (¯ai,j)∈ Mn(C).

Former une relation liant det(A) et detA.

SoitA∈ Mn(C) telle que^tA= ¯A. Montrer que detA∈R.

SoitAune matrice antisymétrique réelle d’ordre 2n+ 1. Montrer que detA= 0

Ce résultat est-il encore vrai lorsqueAest d’ordre pair ?

Comparer det(a_i,j) et det((−1)^i+ja_i,j) où (a_i,j)₁₆_i,j₆_n∈ M_n(K).

SoitA∈ M_n(R) vérifiant

∀i, j∈ {1, . . . , n}, a_i,j∈ {1,−1}

Montrer

2ⁿ⁻¹|detA

SoitA∈ Mn(K) de colonnesC1, . . . , Cn.

Calculer le déterminant de la matriceB de colonnes C1−C2, . . . , C_n−1−Cn, Cn−C1

SoientA, B∈ Mn(R) telles queAB=BA.

Montrer que det(A²+B²)>0.

On dit qu’une matriceA∈ Mn(R) est élément de GLn(Z) si la matriceA est à coefficients entiers, qu’elle est inversible et que son inverse est à coefficients entiers.

a) Montrer que siA∈GLn(Z) alors|detA|= 1.

b) SoientA, B∈ Mn(R) vérifiant :

∀k∈ {0,1, . . . ,2n}, A+kB∈GLn(Z) Calculer detAet detB.

(3)

SoientA∈ Mn(R) (n>2) de colonnesA1, . . . , An et B∈ Mn(R) de colonnes B1, . . . , Bn déterminées par

Bj =X

i6=j

Ai

Exprimer detB en fonction de detA.

SoitA∈ M_n(C) vérifiant pour toutX ∈ M_n(C), det(A+X) = detA+ detX Montrer que detA= 0 puisA= 0.

SoientAet H dansM_n(R) avec rgH = 1. Montrer : det(A+H) det(A−H)6detA²

SoientA∈ M_2n(R) antisymétrique etJ ∈ M_2n(R) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Etablir

∀x∈R,det(A+xJ) = detA

SoitA= (ai,j)∈ Mn(R) vérifiant

∀(i, j)∈ {1, . . . , n}², a_i,j>0 et∀i∈ {1, . . . , n},

n

X

j=1

a_i,j61

Montrer

|detA|61

Calculs de déterminants élémentaires

Calculer sous forme factorisée les déterminants suivants :

a)

0 a b a 0 c b c 0

b)

a b c c a b b c a

c)

a+b b+c c+a a²+b² b²+c² c²+a² a³+b³ b³+c³ c³+a³

d)

a a a a a b b b a b c c a b c d

e)

a c c b c a b c c b a c b c c a

f)

1 1 1

cosa cosb cosc sina sinb sinc

.

Soienta₁, . . . , a_n∈C. Calculer det(a_max(i,j)).

En déduire en particulier det(max(i, j)) et det(min(i, j)).

Soienta₁, a₂, . . . , a_n∈K. Calculer

a1 a2 · · · an

. .. . .. ... . .. a₂

(a₁) a₁

Soitn∈N^?. Calculer

S₁ S₁ S₁ · · · S₁ S₁ S₂ S₂ · · · S₂ S₁ S₂ S₃ · · · S₃ ... ... ... . .. ... S₁ S₂ S₃ · · · Sn

(4)

où pour tout 16k6non a

Sk =

k

X

i=1

i

Soit

A=







a b c d

−b a −d c

−c d a −b

−d −c b a







aveca, b, c, d∈R.

a) Calculer^tA.A. En déduire detA.

b) Soienta, b, c, d, a⁰, b⁰, c⁰, d⁰∈Z. Montrer qu’il existea⁰⁰, b⁰⁰, c⁰⁰, d⁰⁰∈Ztels que : (a²+b²+c²+d²)(a⁰²+b⁰²+c⁰²+d⁰²) =a⁰⁰²+b⁰⁰²+c⁰⁰²+d⁰⁰²

a) Calculer

a b c

a² b² c² a³ b³ c³

b) En déduire

Montrer

Dn =

1 n n−1 . . . 2

2 1 . .. 3

... . .. . .. . .. ...

n−1 . .. 1 n

n n−1 . . . 2 1

= (−1)ⁿ⁺¹(n+ 1)nⁿ⁻¹ 2

Calculs de déterminants avancés

Soienta6=bet λ1, λ2, ..., λn. On pose

∆n(x) =

λ₁+x a+x · · · a+x b+x λ₂+x . .. ...

... . .. . .. a+x b+x · · · b+x λ_n+x

[n]

a) Montrer que ∆n(x) est une fonction affine dex.

b) Calculer ∆_n(x) et en déduire ∆_n(0).

Calculer le déterminant

a1+x (x) . ..

(x) an+x

oùx, a1, . . . , an réels.

Pour (i, j)∈[[1, n]]², on considèreai∈Retbj∈Rtels queai+bj6= 0.

Calculer

det 1

a_i+b_j

16i,j6n

[déterminant de Cauchy]

Traiter en particulier le cas où

∀i∈[[1, n]], ai=bi=i [déterminant de Hilbert]

On pose

P_n(X) =Xⁿ−X+ 1 (avecn>2) a) Montrer quePn admetnracines distinctesz1, . . . , zn dansC.

(5)

b) Calculer le déterminant de







1 +z₁ 1 · · · 1 1 1 +z2 . .. ... ... . .. . .. 1 1 · · · 1 1 +zn







[Déterminant de Hurwitz]

Soienta, λ1, . . . , λn∈C. Calculer le déterminant de la matrice suivante

H=







a+λ1 (a) . ..

(a) a+λn







Soienta1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈C. Calculer le déterminant de la matrice de coefficient

ai,j=

ai+bi sii=j bj sinon

Soient un natureln>2 et (x₁, . . . , x_n) une famille denréels distincts de [0, π].

On pose

P_n = Y

16i<j6n

(cosx_j−cosx_i) et on considère la matriceMn∈ Mn(R) de coefficient général

m_i,j= cos ((j−1)x_i)

a) Montrer quemi,j est un polynôme en cosxi et donner son coefficient dominant.

b) Calculer detMn en fonction dePn.

Pour une famille denréels distincts (xk) de [0, π], on pose Pn = Y

16i<j6n

(cosxi−cosxj)

a) Combien le produit définissantPn comporte-t-il de facteurs ?

b) Pour (i, j)∈[[1,4]]² écrire la matriceM ∈ M₄(R) de coefficient général mi,j = cos ((j−1)xi)

c) Montrer quemi,j est un polynôme en cosxi.

d) Calculer detM en fonction deP4 et montrer |detM|<24

Calculs de déterminants par une relation de récur- rence

Calculer en établissant une relation de récurrence

Dn =

0 1 · · · 1

−1 . .. . .. ... ... . .. . .. 1

−1 · · · −1 0 [n]

Dn =

0 1 · · · 1 1 . .. . .. ... ... . .. . .. 1 1 · · · 1 0

[n]

Dn=

1 · · · 1 ... . .. (0) 1 (0) 1

[n]

(6)

Dn=

2 1 · · · 1 1 3 . .. ... ... . .. . .. 1 1 · · · 1 n+ 1

[n]

On exprimera le résultat à l’aide des termes de la suite (Hn) avec Hn=

n

X

k=1

1 k

Dn =

a+b b · · · b a . .. . .. ... ... . .. . .. b a · · · a a+b

[n]

Calculer

Dn=

C₁⁰ C₁¹ 0 · · · 0 C₂⁰ C₂¹ C₂² 0 ... C₃⁰ C₃¹ C₃² C₃³ . .. ... C₄⁰ C₄¹ C₄² C₄³ . .. 0

... . .. C_n−1ⁿ⁻¹ C_n⁰ C_n¹ C_n² C_n³ · · · C_nⁿ⁻¹

[n]

en notant

C_n^k = n k

!

= n!

k!(n−k)!

Calculer

Dn+1=

C₀⁰ C₁¹ · · · C_nⁿ C₁⁰ C₂¹ · · · C_n+1ⁿ

... ... ... C_n⁰ C_n+1¹ · · · C_2nⁿ

[n+1]

en notant par

C_n^k= n k

!

= n!

k!(n−k)!

Calculer le déterminant de

An=







a (b)

. ..

(c) a





∈ Mn(C)

Calculs de déterminants tridiagonaux

Soit (a, b)∈R²; calculer

D_n=

a+b b (0)

a . .. . .. . .. . .. b

(0) a a+b

[n]

Soienta, b∈C^? distincts. Calculer

D_n=

a+b ab (0) 1 . .. . ..

. .. . .. ab

(0) 1 a+b

(7)

Soientx∈Cetn∈N^?. Calculer

D_n =

1 +x² x (0)

x . .. . .. . .. . .. x

(0) x 1 +x²

[n]

Soientθ∈Retn∈N^?. Calculer

Dn=

2 cosθ 1 (0)

1 . .. . .. . .. . .. 1

(0) 1 2 cosθ

[n]

Calculer

D_n=

0 1 (0)

n 0 2

n−1 . .. . .. . .. . .. n

(0) 1 0

[n+1]

Poura∈K^?, calculer

Dn=

2a a (0)

a . .. . .. . .. . .. a

(0) a 2a

Applications des déterminants

[Identité de Lagrange]

Calculer de deux façons :

a −b b a

c −d d c

SoientE unK-espace vectoriel de dimension 3 etB= (e1, e2, e3) une base de E.

Soitf l’endomorphisme de E dont la matrice dansBest

A=





3 −2 −3

−2 6 6

2 −2 −2





a) Pour quelles valeurs deλ, a-t-on det (A−λI₃) = 0 ? b) Déterminer une baseC= (ε₁, ε₂, ε₃) deE telle que

Mat_Cf =





1 0 0 0 2 0 0 0 4





Soientn∈N^?,A∈GL_n(R) et B∈ M_n(R).

Montrer qu’il existeε >0 tel que :

∀x∈[−ε, ε], A+xB∈GLn(R)

Soientα∈Cet

M =







1 α 0

. .. . ..

0 . .. α

α 0 1







∈ Mn(C)

a) Calculer detM.

b) Déterminer, en fonction deαle rang deM.

Soienta, b∈C.

(8)

a) Calculer le déterminant de

M(a, b) =







a (b)

. ..

(b) a





∈ Mn(C)

b) En déduire le rang deM(a, b) selon les valeurs des paramètres aetb.

On note GLn(Z) l’ensemble formé des matrices inversibles d’ordrenà coefficients entiers dont l’inverse est encore à coefficients entiers.

Soienta1, . . . , an des entiers (n>2). Montrer qu’il existe une matrice de GLn(Z) dont la première ligne est formée des entiersa1, a2, . . . , an si, et seulement si, ces entiers sont premiers dans leur ensemble.

Etablir que l’inverse de la matriceH =

1 i+j−1

16i,j6n est à coefficients entiers.

Systèmes de Cramer

Soienta, b, cet ddes éléments deKdeux à deux distincts.

Résoudre surKles systèmes suivants :

a)







x+y+z= 1 ax+by+cz=d a²x+b²y+c²z=d²

b)







x+y+z= 1 ax+by+cz=d a³x+b³y+c³z=d³

Résoudre







x+y+z=a x+jy+j²z=b x+j²y+jz=c en fonction dea, b, c∈C.

Résoudre en fonction dea∈Cle système







x+ay+a²z= 0

¯ax+y+az= 0

¯

a²x+ ¯ay+z= 0 Exercice 68 [ 01440 ][correction]

Soienta, b, c∈Cdistincts.

a) Résoudre







x+ay+a²z=a³ x+by+b²z=b³ x+cy+c²z=c³ en introduisant :P =X³−(x+yX+zX²) b) Même question pour







x+ay+a²z=a⁴ x+by+b²z=b⁴ x+cy+c²z=c⁴

Comatrice

SoitA= (ai,j) une matrice carrée d’ordrenà coefficients dansZ. a) Justifier que detA∈Z.

b) Montrer que l’inverse deAexiste et est à coefficients entiers si, et seulement si, detA=±1.

Soientnun entier supérieur à 2 etA∈ M_n(K).

a) Etablir







rg(A) =n ⇒rg (com(A)) =n rg(A) =n−1 ⇒rg (com(A)) = 1 rg(A)6n−2 ⇒rg (com(A)) = 0 b) Montrer

det (com(A)) = (detA)ⁿ⁻¹ c) En déduire

com (com(A))

(9)

SoientA, B∈ Mn(C).

On suppose que les matricesA etB commutent. Montrer que les comatrices deA etB commutent.

Résoudre l’équation

comM =M d’inconnueM ∈ Mn(R)

a) Donner le rang deB=^t(comA) en fonction de celui deA∈ Mn(K) b) On se place dans le cas où rgA=n−1.

SoitC∈ Mn(K) telle que

AC=CA=On

Montrer qu’il existeλ∈Ktel que

C=λB Exercice 74 [ 02659 ][correction]

Soient des matricesA, B∈ M_n(Z) telles que detAet detB sont premiers entre eux.

Montrer l’existence deU, V ∈ M_n(Z) telles que U A+V B =I_n

SoitS∈ Sn(R). Montrer que la comatrice deS est symétrique.

Déterminants de Vandermonde et apparentés

Soientx₁, . . . , x_n ∈C. Calculer

V_n(x₁, . . . , x_n) =

1 x₁ x²₁ · · · xⁿ⁻¹₁ 1 x2 x²₂ · · · xⁿ⁻¹₂ ... ... ... ... 1 xn x²_n · · · xⁿ⁻¹_n

Calculer poura1, . . . , an∈Kle déterminant suivant

Dn=

1 a1 a²₁ · · · aⁿ⁻²₁ aⁿ₁ 1 a₂ a²₂ · · · aⁿ⁻²₂ aⁿ₂ ... ... ... ... ... 1 an a²_n · · · aⁿ⁻²_n aⁿ_n

Calculer

D_k=

1 a₁ · · · a^k−1₁ a^k+1₁ · · · aⁿ₁ 1 a₂ · · · a^k−1₂ a^k+1₂ · · · aⁿ₂ ... ... ... ... ... 1 a_n · · · a^k−1_n a^k+1_n · · · aⁿ_n

Soitλ₁, . . . , λ_n∈Cdistincts etP(X) =

n

Q

i=1

(X−λ_i). Calculer :

∆(X) =

P(X) X−λ₁

P(X)

X−λ₂ · · · _X−λ^P(X)

n

1 1 · · · 1

... ... ... λⁿ⁻²₁ λⁿ⁻²₂ · · · λⁿ⁻²_n

Calculs de déterminants par blocs

SoientA, B, C, D∈ Mn(K). On suppose queDest inversible et queC etD commutent. Etablir

det

A B

C D

= det(AD−BC)

SoientA, B, C, D∈ Mn(K) avecD inversible. Etablir det

A B

C D

= det(AD−BD⁻¹CD)

(10)

SoientA, B, C, D∈ Mn(K) avecAC=CA. Montrer que det

A C

B D

= det(DA−BC)

a) SoientA, B∈ M_n(R). Montrer que det

A B

−B A

>0

b) SoientA, B∈ Mn(R) telles queAB=BA. Montrer que det(A²+B²)>0.

c) Trouver un contre-exemple à b) siAetB ne commutent pas.

d) SoientA, B, C, D∈ Mn(R) telles queAC=CA. Montrer que det

A B

C D

= det(AD−CB)

SoientA, B∈ Mn(R).

a) Montrer

A B

B A

= det(A+B) det(A−B) b) Justifier

A −B

B A

>0

SoientB∈ Mn(R) et

A=

I_n B B I_n

∈ M2n(R) a) A quelle condition la matriceA est-elle inversible ? b) Donner son inverse quand cela est possible.

On considère une matriceM ∈ Mn(K) inversible écrite sous la forme M =

A B

C D

avecA∈ Mp(K) et D∈ Mn−p(K).

On écrit la comatrice deM sous une forme analogue comM =

A⁰ B⁰ C⁰ D⁰

avecA⁰∈ M_p(K) etD⁰∈ M_n−p(K).

Vérifier

detA⁰ = det(M)^p−1detD

SoientA, B, C, D∈ Mn(R).

a) On supposeC^tD symétrique etD inversible. Montrer que det

A B

C D

= det A^tD−B^tC

b) On suppose toujoursC^tD symétrique mais on ne suppose plusD inversible.

Montrer que l’égalité précédente reste vraie.

SoientA, B, C, Ddes matrices carrées d’ordren, réelles et commutant deux à deux. Montrer que la matrice

M =

A B

C D

est inversible si, et seulement si,AD−BC l’est.

(11)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

Pour commencer, notons que, pour toutk∈ {1, . . . , n} c^k−1(1) =ket par conséquentc^−(k−1)(k) = 1.

Soitσune permutation commutant avecc_n.

Posonsk=σ(1)∈ {1,2, ..., n} ets=c^−(k−1)◦σde sorte ques(1) = 1.

Commeσetc commutent,setc commutent aussi et on a pour tout 26i6n, s=c⁽ⁱ⁻¹⁾◦s◦c⁻⁽ⁱ⁻¹⁾ d’où

s(i) =c⁽ⁱ⁻¹⁾◦s◦c⁻⁽ⁱ⁻¹⁾(i) =σ⁽ⁱ⁻¹⁾◦s(1) =σ⁽ⁱ⁻¹⁾(1) =icarc⁻⁽ⁱ⁻¹⁾(i) = 1.

Par conséquents= Id puisσ=c^k.

Inversement les permutations de la formec^k avec 16k6ncommutent avecc.

Pourx=σ(ai), on a

(σ◦c◦σ⁻¹)(x) =σ(a_i+1) (en posantap+1=a1).

Pourx /∈ {σ(a1), . . . , σ(ap)}, on a

(σ◦c◦σ⁻¹)(x) =σ◦σ⁻¹(x) =x carc(σ⁻¹(x)) =σ⁻¹(x) puisqueσ⁻¹(x)∈ {a/ 1, . . . , ap}.

Ainsi

σ◦c◦σ⁻¹= σ(a1) σ(a2) . . . σ(ap)

Si{i, j}est stable parσalors{σ(i), σ(j)}={i, j}.

On a alors

∀x /∈ {i, j}, (σ◦τ)(x) =σ(x) = (τ◦σ)(x) Pourx=ialors (σ◦τ)(i) =σ(j) = (τ◦σ)(i) et pourx=j, (σ◦τ)(j) =σ(i) = (τ◦σ)(j).

Par suite

σ◦τ=τ◦σ

Inversement, siσ◦τ=τ◦σalorsσ(i) = (σ◦τ)(j) = (τ◦σ)(j) =τ(σ(j)).

Puisqueτ(σ(j))6=σ(j) on aσ(j)∈ {i, j}.

De mêmeσ(i)∈ {i, j}et donc{i, j} stable parσ.

H ⊂ Sn, Id∈H. Remarquons,∀k∈ {1, . . . , n},σ(k) =n+ 1−σ(n+ 1−k).

Soientσ, σ⁰∈H,

(σ⁰◦σ)(k) =σ⁰(σ(k)) =n+ 1−σ⁰(n+ 1−σ(k)) =n+ 1−σ⁰◦σ(n+ 1−k) doncσ⁰◦σ∈H.

Soitσ∈H. Posons`=σ⁻¹(k). On a

σ(n+ 1−`) =n+ 1−σ(`) =n+ 1−k doncσ⁻¹(n+ 1−k) =n+ 1−` puis

σ⁻¹(k) +σ⁻¹(n+ 1−k) =`+ (n+ 1−`) =n+ 1

On noteI(σ) le nombre d’inversions de la permutationσ: I(σ) = Card({16i < j6n/σ(i)> σ(j)}

On aε(σ) = (−1)^I(σ)etI(σ) se calcule en dénombrant, pour chaque de terme de la seconde ligne, le nombre de termes inférieurs qui le suit.

a)I(σ) = 2 + 3 + 2 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 17 doncε(σ) =−1.

b)I(σ) = 0 + 1 + 0 + 3 + 0 + 2 + 0 + 0 = 6 doncε(σ) = 1.

On noteI(σ) le nombre d’inversions de la permutationσ: I(σ) = Card({16i < j6n/σ(i)> σ(j)}

On aε(σ) = (−1)^I(σ)etI(σ) se calcule en dénombrant, pour chaque de terme de la seconde ligne, le nombre de termes inférieurs qui le suit.

a)I(σ) = (n−1) + (n−2) +· · ·+ 1 + 0 = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ donc ε(σ) = (−1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾²

b)I(σ) = 0 + 1 + 2 +· · ·+ (n−1) + 0 +· · ·+ 0 = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ donc ε(σ) = (−1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾²

(12)

a) L’applicationσ7→τ◦σest involutive, donc bijective.

b) L’applicationσ7→τ◦σ transformeAn enSn\An donc CardAn= CardSn\An. OrSn est la réunion disjointe deAn et de Sn\An donc

CardAn =1

2CardSn= n!

2 Exercice 8 :[énoncé]

Notons que

σ◦ a b c

◦σ⁻¹= σ(a) σ(b) σ(c) Soitσ:Nn→Nn une permutation définie par :

σ(a) =a⁰, σ(b) =b⁰ et σ(c) =c⁰ Siσest paire alors le problème est résolu.

Siσest impaire alors soit c6=d∈Nn\ {a, b, c}et τ= c d . σ◦τ est une permutation paire satisfaisante.

ϕ:E×E→K.

ϕ(y, x) =f(p(y))f(q(x))−f(p(x))f(q(x)) =−ϕ(x, y). Il suffit d’étudier la linéarité en la 1ère variable.

ϕ(λx+µx⁰, y) =f(p(λx+µx⁰))f(q(y))−f(p(y))f(q(λx+µx⁰)) orf,petqsont linéaires donc

ϕ(λx+µx⁰, y) = (λf(p(x)) +µf(p(x⁰)))f(q(y))−f(p(y)) (λf(q(x)) +µf(q(x⁰))) puis en développant et en réorganisant :ϕ(λx+µx⁰, y) =λϕ(x, y) +µϕ(x⁰, y).

ϕest donc une forme bilinéaire antisymétrique donc alternée.

L’applicationϕ:Eⁿ→Kdéfinie par ϕ(x1, . . . , xn) =

n

X

j=1

detB (x1, . . . , f(xj), . . . , xn)

est une formen-linéaire alternée, donc il existeλ∈Ktel queϕ=λ.det_B. On aϕ(e1, . . . , en) =λet par suite

λ=

n

X

j=1

detB (e1, . . . , f(ej), . . . , en) =

n

X

j=1

aj,j = trf avecA= (ai,j) = Mat_Bf.

Posonsn= dimE. Comme det(f²) = det(−In) on a det(f)²= (−1)ⁿ >0, donc n est pair.

a) Il est clair queV est un sous-espace vectoriel deF(R,R).

On posefk:R→Rdéfinie parfk(x) =x^ke^x.

B= (f0, . . . , fn) forme une base deV, donc dimV =n+ 1.

b) Pourf(x) =P(x)e^xon a D(f)(x) =f⁰(x) = (P(x) +P⁰(x))e^x. D est bien une application deV dansV.

De plus la linéarité deD découle de la linéarité de la dérivation et on peut donc conclureD∈ L(V).

Puisque (x^ke^x)⁰= (x^k+kx^k−1)e^xon a D(fk) =fk+kfk−1 donc a

Mat_B(D) =







1 1 0

. .. . .. . .. n

0 1





 .

Par suite detD= 1×1× · · · ×1 = 1.

a) La famille (1, i) est une base duR-espace vectorielC.

Poura, b∈C, l’applicationϕa,b:z7→az+b¯z estR-linéaire et sa matrice dans la base (1, i) est

Rea+ Reb Imb−Ima Ima+ Imb Rea−Reb

Pourf endomorphisme duR-espace vectorielCde matrice α γ

β δ

dans la base (1, i), on af =ϕa,b si, et seulement si,











Rea+ Reb=α Ima+ Imb=β Imb−Ima=γ Rea−Reb=δ Ce système possède une unique solution qui est

a=α+δ

2 +iβ−γ

2 et b= α−δ

2 +iβ+γ 2

(13)

b) Le déterminant def vaut

detf =αδ−βγ=|a|²− |b|²

NotonsEi,j les matrices élémentaires deMn(C).

On observe

ϕA(Ei,j) =

n

X

k=1

ak,iEk,j

Par suite dans la base (E1,1, . . . , En,1, E1,2, . . . , En,2, . . . , E1,n, . . . , En,n), la matrice de l’endomorphismeϕA est diagonale par blocs avecnblocs diagonaux tous égaux àA. On en déduit

trϕA=ntrA et detϕA= (detA)ⁿ

a) NotonsC1, . . . , Cn les colonnes deAet supposons λ1C1+· · ·+λnCn = 0

Sim= max(|λ1|, . . . ,|λn|)6= 0 alors, puisque pour tout 16i6n,

n

X

j=1

λjai,j= 0 on obtient

|λi|6 P

j6=i

|λj| |ai,j|

|ai,i| 6m P

j6=i

|ai,j|

|ai,i| < m ce qui est absurde compte tenu de la définition dem.

Par suite, la famille (C1, . . . , Cn) est libre et donc Ainversible.

b) Considérons l’applicationf :x∈R7→det(A+xI_n).

La fonctionf est clairement polynomiale de monôme dominant xⁿ, elle est donc continue et de limite +∞quandx→+∞.

De plus, le résultat précédent s’applique à la matriceA+xI_n pour toutx>0 et doncf(x)6= 0 sur [0,+∞[.

Par continuité, la fonctionf ne peut prendre de valeurs60 et donc

∀x>0, f(x)>0 En particulier detA=f(0)>0.

Par conjugaison d’une somme et de produits det ¯A= X

σ∈Sn

ε(σ)

n

Y

i=1

a_σ(i),i= X

σ∈Sn

ε(σ)

n

Y

i=1

a_σ(i),i= detA

Ici^tA= ¯A, donc det(A) = det(^tA) = det ¯A.

Comme

det ¯A= X

σ∈Sn

ε(σ)

n

Y

i=1

a_σ(i),i= X

σ∈Sn

ε(σ)

n

Y

i=1

a_σ(i),i= detA on peut conclure detA∈R.

Comme^tA=−Aon a

detA= det^tA= det(−A) = (−1)²ⁿ⁺¹detA=−detA donc detA= 0.

La matrice

A=

0 1

−1 0

fournit un contre-exemple au second problème posé.

NotonsA= (a_i,j) etB= ((−1)^i+ja_i,j). On a detB= X

σ∈Sn

ε(σ)

n

Y

i=1

(−1)^σ(i)+ia_σ(i),i en regroupant les puissance de (−1)

detB = X

σ∈Sn

ε(σ)(−1)

n

P

i=1

σ(i)+i n

Y

i=1

aσ(i),i

puis

detB= X

σ∈Sn

ε(σ)(−1)ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾

n

Y

i=1

aσ(i),i

(14)

Ainsi

detB= (−1)ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾detA= detA carn(n+ 1) est pair.

En ajoutant la première colonne deAà chacune des suivantes, on obtient une matrice dont les colonnes d’indices 2 jusqu’ànont pour coefficients 0,2 ou−2.

On peut donc factoriser 2 sur chacune de ces colonnes et l’on obtient detA= 2ⁿ⁻¹detB

avecB une matrice dont les coefficients sont 0,1 ou−1 de sorte que detB∈Z

La somme des colonnes deB est nulle donc detB= 0.

On a

det(A+iB) det(A−iB) = det(A²+B²) carAet B commutent.

Or det(A−iB) = det(A+iB) donc det(A²+B²) =z¯z>0.

a)AA⁻¹=I_n donne (detA)(detA⁻¹) = 1 or detA,detA⁻¹∈Zdonc detA=±1.

b) PosonsP(x) = det(A+xB).P est une fonction polynomiale de degré inférieur àn.

Pour toutx∈ {0,1, . . . ,2n}, on aP(x) =±1 donc P(x)²−1 = 0.

Le polynômeP²−1 possède au moins 2n+ 1 racines et est de degré inférieur àn, c’est donc le polynôme nul.

On en déduit que pour toutx∈R, P(x) =±1.

Pourx= 0, on obtient detA=±1.

Pourx→+∞,

det 1

xA+B

=P(x) xⁿ →0 donne detB= 0.

On noteBla base canonique de l’espace des colonnes, detA= det

B (A1, . . . , An) et

detB= det

B (B₁, . . . , B_n) = det

B n

X

i=1

B_i, B₂, . . . , B_n

!

avec n

X

i=1

B_i= (n−1)

n

X

i=1

A_i

Par suite

detB = (n−1) det

B n

X

i=1

Ai, B2−

n

X

i=1

Ai, . . . , Bn−

n

X

i=1

Ai

!

Ce qui donne detB = (n−1) det

B n

X

i=1

Ai,−A2, . . . ,−An

!

= (−1)ⁿ⁻¹(n−1) det(A1, . . . , An) Finalement

detB= (−1)ⁿ⁻¹(n−1) detA Exercice 25 :[énoncé]

Notons que pourn= 1 : la relation det(A+X) = detA+ detX est vraie pour toutAet toutX.

On suppose dans la suiten>2.

PourX =A, la relation det(A+X) = detA+ detX donne 2ⁿdetA= 2 detAet donc detA= 0.

La matriceAn’est donc par inversible et en posantr < négal à son rang, on peut écrireA=QJrP avecP, Qinversibles et

Jr=

Ir (0) (0) O_n−r

Posons alorsX =QJ_r⁰P avec J_r⁰ =

O_r (0) (0) I_n−r

PuisqueA+X=QI_nP=QP, la matriceA+X est inversible et donc detX = det(A+X)6= 0.

On en déduit que la matriceJ_r⁰ est l’identité et doncr= 0 puisA=On.

(15)

La matriceH est équivalente à la matriceJ1dont tous les coefficients sont nuls sauf celui en position (1,1). NotonsP, Q∈GLn(R) telles que

H =QJ₁P et introduisonsB ∈ Mn(R) déterminée par

A=QBP La relation

det(A+H) det(A−H)6detA² équivaut alors à la relation

det(B+J1) det(B−J1)6detB²

NotonsC1, . . . , Cn les colonnes deB etB= (E1, . . . , En) la base canonique de l’espaceMn,1(K). On a

det(B+J₁) = det

B (C₁+E₁, C₂, . . . , C_n) et det(B−J₁) = det

B (C₁−E₁, C₂, . . . , C_n) Par multilinéarité du déterminant

det(B+J1) = detB+det

B (E1, C2, . . . , Cn) et det(B−J1) = detB−det

B (E1, C2, . . . , Cn) d’où l’on tire

det(B+J1) det(B−J1) = detB²−det

B (E1, C2, . . . , Cn)²6detB² Exercice 27 :[énoncé]

En retranchant la première ligne aux autres lignes, le déterminant de la matrice A+xJ apparaît comme le déterminant d’une matrice où figure desxseulement sur la première ligne. En développant selon cette ligne, on obtient que

det(A+xJ) est une fonction affine de la variablex.

De plus

det(A−xJ) = det(−^tA−xJ) = (−1)²ⁿdet(^tA+xJ) et puisque la matriceJ est symétrique

det(A−xJ) = det(^tA+x^tJ) = det(A+xJ)

La fonction affinex7→det(A−xJ) est donc une fonction paire et par conséquent c’est une fonction constante. On a alors

∀x∈R,det(A+xJ) = det(A+ 0.J) = detA

Raisonnons par récurrence surn∈N^?. La propriété est immédiate pourn= 1.

Supposons la propriété vérifiée pourn>1.

SoitA= (ai,j)∈ Mn+1(R) vérifiant les propriétés énoncées. En développant le déterminant deAselon la première ligne, on obtient

detA=

n+1

X

j=1

(−1)^1+ja1,j∆1,j

avec ∆_1,j mineur d’indice (1, j) de la matriceA.

Puisque la matrice définissant le mineur ∆_1,j est à coefficients positifs et que la somme des coefficients de chaque ligne est inférieure à 1, on peut lui appliquer l’hypothèse de récurrence et affirmer|∆_1,j|61.

On en déduit

|detA|6

n+1

X

j=1

a_1,j 61 Récurrence établie.

a) En développant selon la première ligne,

0 a b a 0 c b c 0

=−a

a c b 0

+b

a 0 b c

=abc+abc= 2abc b) En sommant les colonnes sur la première et en factorisant

a b c c a b b c a

= (a+b+c)

1 b c 1 a b 1 c a

En retirant la première ligne aux suivante et en développant sur la première colonne

a b c c a b b c a

= (a+b+c)

a−b b−c c−a a−b

= (a+b+c)(a²+b²+c²−(ab+bc+ca)) c) En retranchant la première colonne aux suivantes puis en sommant les colonnes sur la première

D=

=

a+b c−a c−b a²+b² c²−a² c²−b² a³+b³ c³−a³ c³−b³

=

2c c−a c−b 2c² c²−a² c²−b² 2c³ c³−a³ c³−b³