td5etCorrige

Centre Universitaire d´Ain Temouchent Domaine: ST/SM

Physique 3 Semestre 3 - 2012/2013

Fiche TD 5: Ondes

Chargés du module: Demmouche &Bensaid 13.01.2013

Exercice 5.1:

Une corde de longueur Lest de masse linéiqueµ, sous une tensionT, est parcourue par deux ondes:

Y1(x, t) =Acos (ωt−kx+φ1) etY2(x, t) =Acos (ωt+kx+φ2)

où Y est le déplacement transversal, ω la pulsation et k le module du vecteur d´onde (à 1D souvent appelé nombre d´onde).

On donne les transformations trigonométriques suivantes:

cosa+ cosb = 2 cos b+a

2

cos b−a

2

cos (a+b) = cosacosb−sinasinb.

1. Montrer que la corde est le siège d´ondes stationnaires.

2. Montrer qu´il existe des points sur la corde qui restent toujours immobiles (nœuds).

3. Exprimer la distance∆xentre deux nœuds successifs en fonction de lalongueur d´onde.

4. La corde étant fixée aux extrémités, montrer que le module du vecteur d´ondekne peut prendre que certaines valeurs particulièreskn. En déduire les valeurs permisesfn de la fréquence.

5. Sur le violon, la notemide fréquence fondamentalef = 660Hz est obtenue en faisant vibrer une corde de longueurL= 33cmet de masse linéiqueµ= 5.46×10⁻⁴kg/m. Dans ce cas calculerla tensionde la corde.

Exercice 5.2:

Une source de vibration à une extremité d´une corde sous tension a un déplacement donné par l´équation:

η(t) = 0.05 sin 5t

, oùηest en mètre etten secondes. La tension de la corde est4N et sa masse par unité de longueur est 0.01kg/m.

1. Quelle la vitesse de propagation de l´onde dans la corde?

2. Quelle est la fréquence de l´onde?

3. Quelle est l´équation de déplacement d´un point situé à 1m de la source ? 4. Quelle est la vitesse de particule d´un point situé à 3m de la source ?

5. Représenter graphiquement la forme de la corde après une période de vibration.

Corrigé Exercice 5.1:

1.

Y(x, t) =Y1+Y2= 2Acos

kx+φ2−φ1

2

| {z }

amplitude

cos

ωt+φ2+φ1

2

| {z }

phase

(1)

c´est la forme des ondes stationnaires.

2. La position des noeuds:

cos

kx+φ2−φ1

2

= 0 (2)

on obtient:

xn = 1 k

(2n+ 1)π

2 −φ2−φ1

2

; n∈N (3)

3.

∆x=xn+1−xn =π k = λ

2 (4)

4.

Y(0, t) = 0 (5)

Y(L, t) = 0. (6)

on obtient:

φ2−φ1

2 ) = π

2 (7)

cos

kL+φ2−φ1

2

= 0 (8)

ce qui donne

kL=nπ⇐⇒kn=nπ

L ; n∈N (9)

ainsi la fréquence est

fn =vkn

2π = nv 2L = n

2L s

T

µ (10)

5.

f1= 1 2L

s T

µ (11)

donc

T = (2πf1)²µ∼103N (12)

Corrigé Exercice 5.2:

1. La vitesse de propagation

v= s

T

µ = 20m/s (13)

2. La fréquence

f = ω

2π = 0.8Hz (14)

2

3. on a

k=ω

v = 0.25m⁻¹ (15)

donc

η(x= 1m, t) = 0.05 sin(5t−k) = 0.05 sin(5t−0.25) (16) 4. on a

˙

η(x, t) = 0.05×5 cos(5t−0.25x) (17) donc la vitesse à la position x=3m est:

˙

η(x, t) = 0.25 cos(5t−0.75)m/s (18) 5. aprés une période T l´onde parcours la distance λ < L, la forme de la corde est une sinusoïde à

partir de l´origine.

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