• Ft G se - i evident

Den

-

i

• Ft G _se - i evident

• Ft G cant ⁱ - t ^{F et G :}

rant Element de F ^{s ' e-} wit

U t ^{o avec u} E F et ^o C- G

( ^{car G est un seo de E} ) ^due

u E FTG

De undue

pain taut

e- einer ^{de G}

si It ^{est um seer} centreman t

Fer G in - trans

que ^{Ft G EH}

Cl _est

assey ^{Evident : si u E F}

alas u C- It ( ^{car HOF} ) _, ^{de niece}

so OEG alas GE _{It .} C- It

est um Seo utero It

Enemple ^:

F = I ^{In , y , z ) C- IRS I 9=3--0} }

G ⁼ I ^, _{fu 3)} ^{g , GIRL I a}

^3--0 }

^ of

F

Ft ^G

G

>

y

✓ n

Def ^{4 : Somme directer}

F , be dense _seer de _E

, F et G sont

em ^Somme climate ^{si :}

• F n f ⁼ to }

• Ft G ⁼ E

Gm note alers ^F _to G = E

Si ^{F et} G ^{sont in somme} director ^dans

E , F ^et G sont des ^sew supplement ^wires

de ^E

Prop ^{4 : ri F to G = E alas taut Element}

de _E s

' e- wit de _mani eine

unique

comme be _sanne ^{ol '} un Element ^{de F}

et d ^' _un e- Cement ^{de be}

Rennae ques ^:

• il n

'

g ^a pas ^{uni cite du} supplement ^{are ol ' an}

Seo dome

• l ^' existence ^{d ' an} supplement ^{aired ' un}

se ^v donne see ^a promise ^{dans ee cadre}

des ^{e er de} dimension Since

Examples ^:

• F ⁼ I ^{@ , o ) E} tr ^{I see ING}

G ⁼ f ^{( o , g) E IRL I g E IR }}

F- ⑤ ^{G =} IN

• F ₌

4 ( ^a _, ^o ) ^{E IRZ I NG IR} }

G ⁼ f ^{@ , a) GIRL I see IR }}

F _to G ⁼ I R2

6

Saws ^es pace ^he gentle

Th 3 ^:

Sait 4 ^on _, ^- _, ^on } ^{an ensemble Seni}

de weathers d ^{' um} IK

^{eco E}

, alas ^:

• l ^' ensemble ^{des continue sons}

lineatus des ^oeeteeus for ^,

^{, on} }

est um Dev de E

• d est le plus petit ^{seo de E}

centreman t les creatures for ^,

^{, on} }

ee secr est appelt ^sons espace ^{ingen die} par ^, for

^{, rn} } ^{et se note Vector , - , on )}

u E Vert ( _{4 ,} ^- _, on ) ^{⇒ It , , - , Xu Elk}

tg ^{u = te on t - t Tn rn}

Eun pls

• E IK ^{- er} _, ^{ee EE} Veatch ₎ ⁼ { ^{Xu I XEIK }}

est le _se r engender ^{par a}

^{Si ufo}

c' est _we chante ^ueetaielle

. u

, ^o E E

, Veetlu ^{, v} ₎ ⁼ flat ^{gurl ↳ go Elk }}

So u et v me a - t pas ^eolineaius

V _eat ( ^u , ^o ) ^{est un} plan ^oectouee

HI Applications ^{line aires}

A

Definition

Def ^{5 i E} , F dense ^IK

^{lo .} f ^{i E → F}

est une application ^{linear 're si}

t

Hu _, v EE flu ^{to ) =} few ^{) t flu )}

2

fu E E

, I ^E Ik face ^{) =} If ^Lee )

L ^' ensemble des applications ^limeades

de _E → f est note LCE _, ^F ₎

Enemples

• f ^{: Iris → I R2}

( _{his ,} 37 ^{→ 2n ,} f- ^{gt3 y} ) ^{est une}

application ^liniaiu

• f ^{: IR → IN}

u → m2 n' _est

pas ^une application

line aire

• A ^E Mm

, p( ^IR ) _, f ^{: lRP→1R^ try} fcxt ^{Ax est we} application

linear _'re Notations

• application ^nelle _OLLE

, f ) ⁱ

f ^{: Esf} flu ^{) -}

^of

• ident ite _ide ⁱ

S ^{: E -3 E} flu ^{) = u}

2

Proprietors

keep ^{Prop E E so • • , , S F F ft ( OE G Schut 5}

^{tu : u dean : denn ) ) , = = ✓}

^{IK Of E few IK} to

^{E )} ) ^{er er , , , f Flt FuG f stfu : E ELLE , → E µ ) f ) , est tyvflo F) Elk aloes lineeeeu} ) ⁱ

the application ^{livewire conserve les}

combinations lineatus ^:

ht Xi _,

, Xu ^Elk _, Foi , ^- , on EE

f ^{nor t}

^{tenon ) = te Sloe ) t}

^{t Inform )}

Vocals ^ulcer re

E , F dense ^1K

^er

• we application ^{linear re de E}

deems ^{F est um} morphisms ^are

homomorphisms ^{d ' er} paces ^rectories

• we application ^{linearis de E}

dans E est un endomorphism

L ^' ensemble des endomorphisms ^de

E se note To _LE )

3

^Euan poles geht ^tri _ques

E clinique ^{un IF}

^er

• Synthase ^centriole

f ^{: E → E}

u →

^u

est linemen ^et shepp ^elle signature

Centrale

par rapport ^{a- l '} origine ^de

^

U 7

O

>

flu ^{) =}

^a

L

• It another Lie

t ^C- Ik f _y ^{: E → E}

a → Xu

est lineate ^{et s '} appelle ^{homo there}

de rapport ^I

fr ^{= id E}

So ^{= O} _{if CE} )

of ^{- a est la} Syme ^{trie centrale}

a 7

flu ^{) = Xu}

:

>

• Projection

Saint ^{Fet G} hq ^{Fto G = E}

tf ^{u GE}

, let Ttu ^{✓ E} F et w GG

p ^{: E → E} try pla ^{) = o est lee}

projection ^{sue F para ele ' cement a- G}

G

a 7

w ^u

or play

>

F

p ^{est une} application ^{lindane et}

veiuifie p2 =p ( p2= ^pop )

4

Image ^et nogaret ^{" une} application ^linear

E et ^F designer ^{des IK er et} f

une application ^{linear re de E → F}

Def ⁶ f ^LE ) slap pelle _image ^{de E}

et est notte Imf

Prop ⁷

• So ^{E '} est um sev de E f ^{CE '} ) ^est

un seo de F

• En particulier Imf ^{est we}

se ^- de F

f ^est surjective ^{ssi Imf = E}

Def ^{7 : le} reagan ^de I ^{, vote} Keef ^,

est e ^' ensemble ^des Elements ^de E

dart e' image ^{est OF}

kerf ⁼ f ^{WE E I flee ) = of} }

Th _hi

f injective ^⇒ Keef =L ^OEF

Dem _i

• Supposed J injective

n C- Kerf ^{alans find = of}

⇒ few ^{) = floe ) ⇒ k = OE l can}

I injective ) ^{. Dian Keef =} @ Ef

• Supposes Keef -40 Ef

Saint ^u _{, y} ^{E E} tg ^{fcn ) = fees} )

⇒ Lca

y ) ⁼

of ^{( pair lineage )}

→ ^a

y ^{= OE} ( ^ear Keef ⁼ foe } )

⇒ ^{a --} y

5

L'

espace uectcuiel fo ^LE _, ^F )

E , F denn _Ik

^er

To ( ^E _, ^F ) peut

Ihre muni d ^' we bei ^de

e- position ^{interne t et dime}

bei de composition ^{esteem defences}

peer ^: Ff ^, _g ^{G I LE} , F) ^{, the EE} , F1 ^Elk

( ft g) ^{6) = Sue ) tglu )}

¢

g) ^{he ) = I guy}

Prop ^{9 i}

To _{LE ,} F) ^{mum i des deux lois}

defines piece ^{decurrent est we}

IK ^{- eo}

Prop ^{to :}

E , ^F et G mais IK ^{e -}

f ^{C- To LE , F} ) _g ^{G To ( F ,} G) ^alas

go f ^{E BLE ,} G)

Vocab ^alain

• the application ^{linear 're} bijective ^{de E → F est ein}

isomorphism ^{d ' is} paces nectaries

E et F sant aloes dit _isomer plies

• the endomorphism bijectcf

est un automorphisms ^{de E}

L ^' ensemble ^des automorphisms

de _{E err} note ^GL C ^E )