PRENUM - AC
Ressource :
ETUDE GEOMETRIQUE DES CONIQUES
Production :
Yanick ETOU : Etudiant à l'ENS ; Université Marien NGOUABI- Brazzaville
Sous la direction de :
Cyr-S. NGAMOUYIH M. Professeur au Lycée de la Réconciliation. Brazzaville
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PARTIE I : PRESENTATION : Historique :
En faisant l'intersection d'un cone de revolution dont l'angle au sommet est droit avec un plan per- pendiculaire à une génératrice de ce plan,MENECHME a obtenu une courbe que ARCHIMEDE a appelée parabole dans la suite. En faisant varier l'angle au sommet et en coupant toujours par un plan perpendi- culaire, Il a obtenu tantôt une courbe tantôt une autre selon que l'angle au sommet était aigu ou obtus.
APPOLONUS de Perge, a systématisé l'étude des coniques en coupant un cone de revolution quelconque avec un plan quelconque ; et a ainsi dégagé les notions d'excentricité et de directrice. C'est ce dernier qui semble-t-il, leur a donné les noms paraboles, ellipses et hyperboles.
Importance et applications :
Les coniques ont de nombreuses propriétés mathématiques et sont très fréquemment rencontrées en physique. Par exemple, en astronomie, d'après les lois de Kepler, la trajectoire d'un satellite naturel, tel qu'une planète ou une comète, est toujours une conique (voir orbite). En astronautique, il en va de même pour les satellites articiels ou les sondes spatiales. En optique, on utilise les propriétés des coniques ou des surfaces qu'elles engendrent (notamment les paraboloïdes de révolution) pour construire des miroirs ou des antennes qui, par réexion, concentrent la lumière ou des ondes électromagnétiques ou émettent celles-ci en un faisceau rigoureusement parallèle.
Enseignement des coniques :
Dans l'enseignement des coniques, il y a deux approches : l'approche analytique, où l'on considère les coniques comme courbe du second degré, et l'approche purement géométrique, où les coniques sont des lieux géométriques des points vériant une certaine relation. C'est ce dernier aspect qui fait l'objet de cette ressource.
Objectifs pédagogiques :
Objectif général :
Connaître les éléments de base de la Géométrie Objectif spéciques :
Objectifs opérationnels :
OO1 : OO2 : OO :
Place dans le programme :
Ce cours intervient après celui sur les courbes paramétrées et celui sur les similitudes.
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Prérequis
: L'élève de la classe de Terminale C, avant d'aborder ce cours, devra être capable de : - Etudier les lignes de niveau de la forme :
M 7−→ M A
M B =k;k ∈R
- construire l'image d'un point et d'une courbe par une application ane du plan.
PARTIE II : LE COURS : 0.1 Activité préparatoire :
0.1.1 Enoncé de l'activité préparatoire :
Soit e un nombre réel strictement positif,(D) une droite du plan et F un point xe du plan non situé sur la droite (D). A tout point M du plan, on associe son projeté orthogonal H sur (D). On se propose d'étudier l'ensemble(Γe)des points M du plan tels que :
M F M H =e 1. Un point de(Γe) peut-il être sur (D)?
2. soit(∆) la perpendiculaire à (D) passant par F; et soit K le point d'intersection de(∆) avec (D). On suppose que(Γe)n'est pas vide.
a) Montrer que siM appartient à(Γe), alors son symétriqueM0 par rapport à (δ)appartient aussi à (Γe). b) Existent-ils des points communs à(Γe) et(∆)?
Discuter suivant les valeurs dee.
0.1.2 Solution de l'activité préparatoire
0.2 Généralités :
0.2.1 Dénition :
Soit e un nombre réel strictement positif,(D) une droite du plan et F un point non situé sur (D). On appelle conique d'excentricitée, de directrice (D) et de foyerF, l'ensemble des points M du plan tels
que M F
M H =e oùH est le projeté orthogonal de M sur (D).
- Si e= 1, la conique est appelée parabole ; - Si e <1, la conique est appelée ellipse ; -sie >1, la conique est appelée hyperbole.
0.2.2 Elément de Symétrie :
la droite (∆) est un axe de symétrie de la conique ; on l'appelle axe focal de la conique (puisqu'il contient le foyerF.)
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0.2.3 Etude des coniques : 1. La Parabole :
1.1. Dénition :
Une parabole est une conique d'excentricité e= 1.
La parabole (P)rencontre l'axe focal en un point S appelé sommet de la parabole.
S est le milieu du segment [KF] oùK est le point d'intersection de (∆) et (D).
Remarque :
La parabole de foyer F et de directrice (D) est l'ensemble des points M du plan équidistants de F et (D).
1.2. Equation réduite de la parabole :
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