UNSA –Mesure et Topologie– L3 2015-2016 Contrˆole du 1 d´ecembre 2015
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1. Alg`ebres et mesures. SoitAunealg`ebre sur un ensembleX, i.e. une collectionAde parties (dites mesurables) deX telle que
1. ∅ ∈ A;
2. SiA, B ∈ AalorsA∪B∈ A;
3. SiA∈ AalorsX\A∈ A.
Soitµune mesure sur (X,A), i.e. une application µ:A →R+ telle que 1. µ(∅) = 0;
2. µ(A∪B) =µ(A) +µ(B) siA∩B=∅;
3. SiAn↑A, An∈ A, A∈ Aalorsµ(S
n≥0An) = supnµ(An).
1.a. Montrer que pourA, B∈ Aon aA∩B∈ A etA/B∈ A.
1.b. Montrer que pourA, B∈ Aon a µ(A∪B) =µ(A) +µ(B)−µ(A∩B).
1.c. Montrer que pour A, B ∈ A on a µ(A∪B)−µ(A∩B) = µ(A∆B) o`u A∆B =A\B∪B\A.
2. Soit Ala collection des parties A⊂N ayant la propri´et´e que soitA est fini soit son compl´ementaireN\Aest fini.
2.a. Montrer queAest une alg`ebre sur N.
2.b. Montrer que µ : A → {0,1} d´efinie par (µ(A) = 0 ⇐⇒ Afini) v´erifie bien les deux premi`eres propri´et´es d’une mesure, mais pas la troisi`eme.
3. Mesures `a support ponctuel sur R. Soit l’espace mesurable (R,BR) o`uBR d´esigne la tribu des parties bor´eliennes surR.
Pourx∈R, on noteδx:BR→R+ la fonction d´efinie par
δx(A) =
(1 six∈A 0 six6∈A
3.a. Montrer queδx est une mesure sur (R,BR) (lamesure de Diracenx).
3.b. Soit µ une mesure finie sur (R,BR) telle que µ(R\{x}) = 0. Montrer que µ= λδx pour un r´eel λ ≥ 0. (On pourra montrer que pour toute partie bor´elienneA∈ BRcontenantxon aµ(A) =µ({x}) en calculantµ(A\{x}).) 3.c. Soitµune mesure finie sur (R,BR) telle queµ(R\{x1, . . . , xN}) = 0. Ecrire µcomme une combinaison lin´eaire de mesures de Dirac. Quand est-ce queµest une mesure de probabilit´e ?
Barˆeme indicatif: (1+1,5+1)+(1+2)+(1+1+1,5)
