Modélisation de l'asservissement des transferts thermiques dans un four industriel

Banque commune École Polytechnique – ENS de Cachan PSI

Session 2009 __________

Épreuve de Modélisation

__________

Durée : 5 heures __________

Aucun document n’est autorisé

L’usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé selon la circulaire n°99018 du 1^er février 1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

__________

Modélisation de l'asservissement des transferts thermiques dans un four industriel

Figure 1 : exemple de four industriel (à gauche), qui intervient dans la fabrication de tubes (à droite), en nickel, pour un générateur de vapeur d'une centrale nucléaire.

%

# !

&

' '

( ( (

# !

)

! ) *

+

! ( *

! ) ,

!

) - .

!

- !

/ ,

!

#"#$

0

! (

* 1

!

( 2

2 !

)

$!

!

"

!

#$

0

+

$ 3 4 !

( + +

5 + * 6

5 + *

+ !!! + * ! )

+ +

* *

! )

! )

! )

!

) 7 * *

! 8 * *

! 8

* *

! 8 *

* ! 9,

7 2

!

" "

% & "

) 7

! &

+ $

: !

!

: + !

$

* ;

<

! ( + * 2

* 7

+ *

!

<

!

' / . !

) ! 4

*

= !

*

= !

) * ! 3

> > ! ?

! 4

* ! ?

@ @ @ @

/ / A

! ? !

( 9

@ ! 9 $

3 @

!

) / $

@ @ !

0 > ! 8

+ !

* 9

@ ! 8

/

! /

! 9 !

) * *

@ ! @ ! A

+ 9

* +

A , !

B @ @

+

@ ) )_# @ )_# )_-

, /

) )_# )_-

3 A @ > !

)

B C

0 0#! )

9 D!

) 0

0#

# ! )

! ) 9

D , !

4 3

/₃ A 9 A D 2

#!

D 9

0 θ (

B

( C (

B 0_#θ₂

E !

- 3 9 D /₃

/₃ ^# _{B C}

5 B C 3

B C!

) 3

&+ ? 3

> FA!G⁶ A!G⁶

. ( 3

. !

%

H (

!

! " %

)

>

< ! )

I!

> # $ < E > # $ < E #> ## #$ #< #E ->

6:

>

:

>

:

#>

#:

->

-:

$>

$:

θ3

I 3 *

< > ! )

3 >

! E"#$

/ 8 * I!

)

<>

! )

I! )

!

'

$

) 7 *

! &

$

> !

"

!

> !

)

<

! ) I J

!

> # - $ : < = E I

6#

>

#

$

<

E

>

#

$

<

E

#>

θ3

J *

< > ! )

3 >

!

"

) + * / /

K > / $>H ( < !

$ %

0 $

8 * * C L 3 7

*

!

$ 1 2 $

3 $

) * + *

! 3 )

K_C G_C ^C

&_C

' / + * C &_C!

) * C L + *

!

( B I 7

* !

3 < ! )

+ 3 > > !

) M *

3

/ * K_C ! /

G_C!

* 8 + ₃ G_{C C} &_C! %

) 7 !

? #EN $> N #EN $>N

!

+ 8 &_C : : _{$> N #E N C} # E _{#E N} E _{$> N}!

, B #EN $> N

C &_C!

$ 1 2 $

3 % $

) * + * 7

K_C G_C ^C

&_C

* !

? * K_C

(_C 2 2

# !

K_C (_C

O 6

>

# 2 KC !

? *

P

(_C + *

! ) + * P

(_C 7 L

! ? (_C! G_C

C !

- /

#!

. / C &_C (_C! G_{C C}!

'/ / (_C! G_C - :

C > : ! ! / C &_C!

&$ $ 3 $

) * + *

6

K₃ G₃ ³

&₃

( C L * 3 7 + *

6 ! ? 3

3 &₃!

) * *

J + J ! ) + *

* !

' A

Q Q Q

'' 8

) + *

) ! /

+ *

3 /!G₃ ³

&₃ R

3

&₃ ³

'( / * 3 3

3 !

') / &_{3 3}! 8

!

'* 8 3 /!G_{3 3}

/! G₃ &₃ !

) - + *

!

> # $ < E > # $ < E #> ## #$ #< #E ->

6:

>

:

>

:

#>

#:

->

-:

$>

$:

θ3

- + * !

) + >

% % B!

'+ M

&₃

B R

% 3

B R R

', 8 # - ^{% 3}

B

&₃

B

!

) * 3 7

% B! ?

% 3

B

% B

! )

&₃

B

!

'- / % - $ _B > E

- ! 8 1 &_{3 3}

!

4 $

)

! )

$!

> # $ < E > # $ < E #> ## #$ #< #E ->

6:

>

:

>

:

#>

#:

->

-:

$>

$:

> # - $ : < = E

6:

>

:

>

:

#>

θ3θ3

C L C L 3 7

C L C L 3 7

$ !

'. ( !

(

$ $

) 7 *

! &

$

: !

"

!

: !

? * < ! (

! ?

! )

> > ! ?

!

> )

< !

"

) > ! ? )

) !

$ (/ S

! 8 + !

( 0

!

!

!^#

! ^#

5 "

!

) *

*

> !

! ) >

5

? ) !

? )

/ 3 #

) ! ?

) !^#

! ^#

!^##

! ^#

) !

(' ' #

) !

(( A #

)

$

)

$

) !

() B 3

/ !

(

! % ,

+

%$ & > %^#

'

# '

#

(* 8 #

+ * !

4 $

) *

! )

=!

> # $ < E > # $ < E #> ## #$ #< #E ->

6:

>

:

>

:

#>

#:

->

-:

$>

$:

θ3

*

= !

)

* *

!

)

) *

! ) 7

! ( *

! )

6

0 /

3 9 $:H

? *

! ?

E ! ? /

3 !

O 6

( T K

"T

% Θ Θ

/

E + * !

! ( ! T

! K

! 3

*

K & &_#

& &_# +

* C L 3 7

! 0 * +

!

(+ 8 T ! 9

T !

) C &C?

( E I!

> > > >

6<:

6<>

6::

6:>

6$:

6$>

6-:

6->

6#:

6#>

6 : 6 >

6:

>

:

> > > >

6 E>

6 =>

6 <>

6 :>

6 $>

6 ->

6 #>

6 >

6 >>

6I>

6E>

6=>

6<>

6:>

6$>

6->

6#>

6 >

>

#>>U&C?7ωU&C?7ω

ω

ω

I C &C? E!

0 *

( !

$

? ( (_>!

(, B C I (_>

* !

(- 8 (_> *

! (

$

? (

&₄ !

(. 8 *

!

)/ B C I &₄

* !

) 0 ,

V W

! / * 2

6 !

$

? ( G₀

&₄ !

)' & C 04! 4

+ * !

? 6-

C - C K !

)( B + K

& &_# ^{- C}!

0 + *

&₄

- C

> !

)) 8 G_{0 - C}!

) C &C? #>!

6#>> 6 E> 6 <> 6 $> 6 #> 6 >> 6E> 6<> 6$> 6#>

6 :>

6 $>

6 ->

6 #>

6 >

6 >>

6I>

6E>

6=>

6<>

6:>

6$>

6->

6#>

6 >

>

>

#>

->

#>>U&C?7ωU

&C? 7ω

#> C &C? !

)* (

$

( G₀

&₄ &₈ !

)+ 8 !

), 8 V W

+ * !

)- / V W &8

7 &₈

&₈ ! 4

, !

M G_C X $ % B X#E Y

048! % Y Z 6D

+ * ! (

Y G₀ - E &₄ < E &₈ = ! )

! ) B? B?$ !

S_$ S_-

(_-

6 O

B?-

S_: S_#

(_#

6 O

B?#

S_: S

S

6 O

B?

S_: A

A_#

A_- A

S_<

6 O

B?$ A

# 048!

). B

! (

!

*/ 8 G₀ &₄ &₈ S S_# S_-

S_$ S_: S_< ( (_#!

7 0 $

8 9 :8 9

8

' K

# #

# #

R