TD n o 5 : Formule de Feynman-Kac 1 La loi de l’arcsinus

(1)

Master CFP – Parcours de Physique Quantique : de l’atome au solide 7 mai 2013 Int´ egrales de chemin

TD n ^o 5 : Formule de Feynman-Kac 1 La loi de l’arcsinus

Formule de Feynman-Kac.– La formule de Feynman-Kac

¹

permet d’´ etudier la distribution de fonctionnelle du mouvement brownien du type : T [x(τ )] = R

t

0

dτ U(x(τ )). Nous notons P

_t

(T ) la distribution de la fonctionnelle sur les processus de Wiener (x(τ ) , 0 6 τ 6 t| x(0) = x

₀

). La double transform´ ee de Laplace :

Z

dx Q(x, α; p) = Z

∞

0

dt e

^−αt

Z

∞

0

dT e

^−pT

P

t

(T ) (1)

ob´ eit ` a l’´ equation

− 1 2

d

²

dx

²

+ pU (x) + α

Q(x, α; p) = δ(x − x

₀

) (2) Comme application de la formule de Feynman-Kac nous allons retrouver la c´ el` ebre loi de l’arcsinus (Paul L´ evy, 1939) qui exprime la distribution du temps pass´ e sur R

⁺

par un processus de Wiener issu de x(0) = 0.

1/ Quelle est la fonction U (x) appropri´ ee ? 2/ R´ esoudre l’´ equation (2) puis montrer que

Z

∞

0

dt e

^−αt

Z

∞

0

dT e

^−pT

P

_t

(T ) = 1

p α(p + α) (3) 3/ Une premi` ere transformation de Laplace inverse sur la variable α conduit ` a :

Z

∞

0

dT e

^−pT

P

t

(T ) = Z

p

0

dx π

e

^−xt

p x(p − x) (4) D´ eduire P

_t

(T )

Rappel : Transformation de Laplace inverse.– Soit F (p) = R

∞

0

dx f (x) e

^−px

. La trans- formation de Laplace inverse est donn´ ee par f(t) = R

p0+i∞

p0−i∞

dp

2iπ

F (p) e

^px

o` u l’int´ egrale est prise dans le plan complexe sur le contour de Bromwich (la droite verticale, o` u x

₀

est choisi pour que l’int´ egrand soit holomorphe ∀p t.q. Re[p] > p

0

).

1

M. Kac, On the distribution of certain Wiener functionals, Trans. Am. Math. Soc.

65, 1 (1949).

1

(2)

2 Aire alg´ ebrique du mouvement brownien planaire

Nous donnons dans cet exercice une autre illustration de la formule de Feynman-Kac : nous allons ´ etudier la distribution de l’aire alg´ ebrique enclose par une courbe brownienne planaire ferm´ ee

²

(~ r(τ ), 0 6 τ 6 t| ~ r(0) = ~ r(t)). L’aire alg´ ebrique est donn´ ee par la fonctionnelle :

A[~ r(τ )] = 1 2

Z

t 0

dτ

x dy

dτ − y dx dτ

(5) On note P

_t

(A) sa distribution.

1/ A l’aide d’une int´ ` egrale de chemin, montrer que la transform´ ee de Fourier de la distribution h e

^iBA[~^r(τ)]

i = R

dA e

^iBA

P

_t

(A) est reli´ ee ` a la fonction de partition d’un probl` eme de m´ ecanique quantique bien connu.

2/ A l’aide des formules donn´ ` ees en annexe, d´ eduire la distribution P

t

(A). On pr´ ecisera ´ egale- ment hA

²

i.

Indications :

• Spectre de Landau bidimensionnel : E

n

= ~ ω

c

n + 1

2 n ∈ N et ω

c

= eB/m (6) d´ eg´ en´ erescence = eBSurf

2π ~ (7)

• Une int´ egrale

Z

+∞

−∞

dx 2π

x

sh x e

^ixξ

= π

4 ch

²

(πξ/2) (8)

Annexe :

Ce TD illustre bien l’int´ erˆ et de l’int´ egrale de chemin :

1. Elle permet d’´ ecrire naturellement des moyennes sur des courbes browniennes dis- tribu´ ees selon la mesure de Wiener Dx(τ ) exp − R

dτ

¹₂ ^dx_dτ

2

.

2. L’int´ egrale de chemin est calcul´ ee en utilisant la repr´ esentation op´ eratorielle : Z

x(t)=x

x(0)=x0

Dx(τ ) e

⁻^R⁰^t^dτ

₁

2 dx(τ)

dτ

2

+V(x(τ))

= h x | e

^−tH

| x

₀

i (9) avec H = − 1

2 d

²

dx

²

+ V (x) (10)

3. En pratique on utilise que G

_t

(x|x

₀

) = h x | e

^−tH

| x

₀

i ob´ eit ` a l’´ equation

∂

t

− 1

2 ∂

_x²

+ V (x)

G

t

(x|x

₀

) = 0 pour la condition initiale G

0

(x|x

₀

) = δ(x − x

0

)

2

Ce probl` eme a ´ et´ e ´ etudi´ e par Paul L´ evy (1950). On en trouvera une ´ etude dans : B. Duplantier, Areas of planar Brownian curves, J. Phys. A. : Math. Gen.

22, 3033 (1989).

M. Yor, On stochastic areas and averages of planar Brownian motion, J. Phys. A. : Math. Gen.

22, 3049 (1989).

A. Comtet, J. Desbois & S. Ouvry, Winding of planar Brownian curves, J. Phys. A. : Math. Gen.

23, 3563 (1990).