COMPLEXES
Parte oane
RésuméLesnombresomplexesportentbienleurnom!Ilsinter viennentpartout:
enalgèbre,enanalyse,engéométrie,enéletronique,entraitementdusignal,enmu-
sique,et.Etenplus,ilsn'ontjamaislamêmeapparene:tanttsousformealgé-
brique,tanttsousformetrigonométrique,tanttsousformeexponentielle,...Leur
suèsvientenfaitdedeuxpropriétés:entravaillantsurlesnombresomplexes,tout
polynmeadmetunnombrederaineségalàsondegréetsurtoutilspermettentde
alulerfailementendimension2.Cen'estpaslair?Alorsdétaillons!
I Approhe historique
a. Combien l'équation x 3
ÅpxÅqÆ0 a-t-elle de solutions dans R?
Histor iquement,'estenessayantderésoudreetteéquationquelesmathématiiensitaliensduXVI ème
sièleeurentpourla
premièrefoisl'idéed'utiliserdesnombresdontlearréestnégatif.NousquivivonsauXXI ème
,nousavonsdesoutilspour
dénombrerlessolutions.
Considéronsdonlafontionf :x7!x 3
ÅpxÅqavepetqdesentiers.Enétudiantettefontion,nousallonsvér ierqu'elle
admettoujoursaumoinsunesolutionréelleetmêmedéter minerlenombredesolutionsselonlesvaleursdepetq.
Comme lim
x!¡1
f(x)Æ¡1¡1, lim
x!Å1
f(x)ÆÅ1Å1etquef estontinuesurR,leThéorèmedesValeursInter médiairesassure
l'existened'unevaleurd'annulationdef arellehangedesigne a
Maintenant,alulonsladér ivéedef :f 0
(x)Æ...3x 2
Åp3x 2
Åp.Quelestsonsigne?Distinguonsdeuxas:
p>0:alorsladér ivéeeststr itementpositivesurR
¤
,donf nes'annulequ'unefois.
pÇ0:alorsladér ivées'annuleendeuxvaleursopposées .§ r
¡ p
3
§ r
¡ p
3
quenousappelleronsaet¡a.Onobtientdonle
tableaudevar iationssuivant:
x ¡1 ¡a a Å1
Signef 0
(x) Å 0 ¡ 0 Å
f(¡a) Å1
f(x)
R
¡1 f(a)
Maintenant,ilfaudraitonnaîtrelessignesrespetifsdef(¡a)etf(a)poursavoirsif s'annulesurlesinter valles℄¡1,a℄,
[¡a,a℄et[a,Å1[.
Onmontrequef(a)Æq¡2a 3
etf(¡a)ÆqÅ2a 3
enutilisantlefaitquef(a)Æ0.(Faites-le!)
a.ommenousleverronsdansunprohainhapitre...
Alorsf(a)¢f(¡a)Æ
Onpeutennremarquerquef(a)Çf(¡a)ar
Entamonsdonladisussion
. Sif(a)etf(¡a)sonttousdeuxdemêmesigne,'estàdiresif(a)¢f(¡a)È0soitenoresi4p 3
Å27q 2
È0alors f ne
s'annulequ'uneseulefois.
. Si
. Si
b. Résolvons es équations
Plaçons-nousmaintenantdansleas4p 3
Å27q 2
È0.Noussavonsqu'alorsl'équationadmetuneuniquesolutionréelle.
GiralomoCardanoaétabli b
en1547queettesolutionest
3 v
u
u
t¡q
2 Å
s
q 2
4 Å
p 3
27 Å
3 v
u
u
t¡q
2
¡ s
q 2
4 Å
p 3
27
Utilisezettefor mulepourtrouverunesolutionde(E
1 ) :x
3
¡36x¡91Æ0
Onvoudraitfairedemêmeave(E
2 ) :x
3
¡15x¡4Æ0.Unproblèmeapparaît...
Admettonsqu'onpuisseprolongerlesalulsusuelsauxrainesarréesdenombresnégatifsenutilisantle«symbole» p
¡1et
utilisonsquandmêmelafor muledenotreamiitalien.
b.VouspouvezessayerdeleprouverenposantxÆuÅvetenrésolvantunsystèmed'équationsd'inonnuesuetv
Bon,onnesemblepastrèsavané.Alorsunpetitoupdepoue:alulez
¡
2Å p
¡1
¢
3
et
¡
2¡ p
¡1
¢
3
Ontrouvealorsunesolutionréelle®de(E
2 ).Or4p
3
Å27q 2
estnégatif,donondevraittrouverdeuxautresrainesréelles.
Commeonenaune,elaveutdirequ'onpeutfator iserx 3
¡15x¡4parx¡®:faites-le!
Déduisez-enlesdeuxautressolutionsréelles.
Ainsi,àpar tirdeestravaux,lesmathématiiensonteul'idéedeprolongerlesalulsalgébr iquesauxexpressionsompor tant
desrainesarréesnégatives.IlfaudraattendreleXIX ème
sièlepourqueesnombres«quinefaisaientquepasser»aient
droitdeitéetsoientétudiésr igoureusement.IlfaudraattendrelamêmeépoquepourquelehérosromantiqueEvar isteGalois
proposeuneétudethéor iquedeséquationsdedegrésupér ieurà2,maiseiestuneautrehistoire...
II Approhe moderne
Mathémator:Voussavez«ompterendimension1»,'est àdireadditionneretmultiplierdesnombresréelsqu'onpeut
représentersurladroitedesréels:
3
¡ p
2 0
2
3
¼
R
Fauted'outilsplusr igoureux
,onvousaprésentéenlassedeseondel'ensembledesnombresréelsommeétantl'ensemble
desabsissesdespointsdeladroiteor ientéei-dessus.
Vousutilisezdepuisl'éolepr imaireesnombresetlesopérationsusuellesquileursontassoiées,additionetmultipliation,
sanstropvousposerdequestions.Rappelonsquelquespropr iétés d
:
. L'additionpossèdeunélémentneutrenoté0:xÅ0Æ0ÅxÆx.
. Lasommede2réelsestenoreunréel.
. Chaqueréelxadmetunopposé¡xvér iantxÅ(¡x)Æ(¡x)ÅxÆ0.
. Lamultipliationpossèdeunélémentneutrenoté1:x£1Æ1£xÆx
. Leproduitdedeuxréelsestenoreunréel.
. Chaqueréeldifférentde0admetuninversex
¡1
vér iantx£x
¡1
Æx
¡1
£xÆ1
. Lamultipliationestdistr ibutivesurl'addition:x£(yÅz)Æx£yÅx£z.
.Vouslesverrezpeut-êtreunjour...Ilyaplusieursmanièresdeonstruirel'ensembleR.Presquetoutesdénissentunnombreréelommeétantlalimite
d'unesuited'approximationspardesrationnels.
d.CespropriétésdonnentàRunestruturedeorps:autempspréhistoriquedesmesannéesdeollège,ettenotionalgébriquedeorpsétaitvueen4 ème
etmaintenantenmathsup.Onomprendpourquoitantdevosparentsontétéeffrayésparlesmathématiques...
Touteiestbiennaturel.Maintenant,onvoudraitdéolerdel'axedesréelsetfai relemêm etravailendimens ion2,'est-à-dire
pouvoiraluleravedesouplesdenombresdustyle(x,y).
Téhessin:Çaveutdirequ'ontravaillemaintenantsurleplantoutentier?
Mathémator:C'estça.OnnoteR 2
etensemble:l'ensembledesoordonnéesdespointsduplan!Est-equ'onpeutdénir
uneadditionetunemultipliationquiengloberaientetgénéraliseraientellesvuesdansR?
Téhessin:Benpourl'addition,onfait(x,y)Å(x 0
,y 0
)Æ(xÅx 0
,yÅy 0
).
Mathémator:Pourquoipas!Vér ionsquelespropr iétésdel'additionsontvér iées.
Téhessin:Onaunélémentneutre:(0,0)ar(x,y)Å(0,0)Æ...(xÅ0,yÅ0)Æ(x,y)(xÅ0,yÅ0)Æ(x,y).
Mathémator:Etsur toutl'élémentneutredeR 2
sesitue«aumêmeendroit»queeluideR:onl'ajuste«goné»d'undeuxième
zéropourêtrereonnudansR 2
.
Téhessin:Etpourlesymétr ique,onprend...(¡x,¡y)(¡x,¡y)ar(x,y)Å...(¡x,¡y)(¡x,¡y)Æ...(0,0) (0,0)l'élémentneutre.
Mathémator:Eneffet.Etpourlamultipliation?
Téhessin:Çadoitêtrepareil:(x,y)£(x 0
,y 0
)Æ(xx 0
,yy 0
)ave(1,1)ommeélémentneutre.
Mathémator:Pourquoipas,maisdanseas,l'élémentneutredelamultipliationdansR 2
neseraitpas«aumêmeendroit»
queeluideR
(1 ,1 )
1 1
0
R (1 ,0 )
Onvoudraitpluttunélémentneutre(1,0)etdonque(x,y)£(1,0)Æ(x,y).Jevousproposelamultipliationsuivante
(x,y)£(x 0
,y 0
)Æ(xx 0
¡yy 0
,xy 0
Åx 0
y)
Téhessin:Fihtre!Essayons:(x,y)£(1,0)Æ.. (x£1¡y£0,x£0Åy£1)Æ(x,y)(x£1¡y£0,x£0Åy£1)Æ(x,y).Çamarhe.
Mathémator:Jevouslaissevér ierqueettemultipliation estdistr ibutivesurl'additionetquetoutélément(x,y)deR 2
différentde(0,0)admetuninverse µ
x
x 2
Åy 2
,¡
y
x 2
Åy 2
¶
.
Téhessin:Jesuisimpressionnéparepetitexposé,maisjenevoispastroplelienavele p
¡1duparagraphepréédent.
Mathémator:Etbienobser vez(0,1)etélevez-leauarré.
Téhessin:Allons-y:(0,1)£(0,1)Æ... (0¡1,0Å0)Æ(¡1,0) (0¡1,0Å0)Æ(¡1,0),bonetalors?
Mathémator:Alors(¡1,0),'estleréel¡1«goné».Don p
¡1aun«représentant»dansR 2
.Dansleplan,ilorrespondau
pointdeoordonnées(0,1).Etdonnousallonspouvoiraluleraveefameuxnombre p
¡1asseznaturellemntenutilisant
lesopérationsdér itespréédemment.
Téhessin:Naturellement,'estbeauoupdire!C'estunpeuompliquéommemultipliation.
Mathémator:Jevousl'aorde.C'estpourquoinousallonsadopteruneautretatique.Àhaqueélément(x,y)deR 2
nous
allonsfaireorrespondreunnombrequ'onqualieradeomplexe.
L'idéevientdel'obser vationintuitive e
:«(x,y)yx¢(1,0)Åy¢(0,1)yx£1Åy£ p
¡1yxÅy p
¡1»
Nousallonsmêmedonnerunnomàe p
¡1:appelons-leipourqu'ilfassemoinspeur.Ainsinousavonslesorrespondanes
LepointM ! Leouple(x,y) ! LenombreomplexexÅiy
l l l
LeplanP ! R
2
! L'ensembledesnombresomplexes
e.Lesyrenvoientàunenotionextrêmementimportanteetrigoureuse:lanotiond'isomorphisme.Deuxensemblessontisomorpheslorsqu'ilexisteune
bijetionentrelesdeuxetqueettebijetion«onser ve»lesopérations.Celapermetdetravailleràisomorphismeprèssurunensembleompliquéenle
remplaçantparunensembleisomorpheplusappropriéàlasituation.C'estequisepasseentreR 2
etC
Poursesimplierlavie,nousallonsdonnerunnomàetensembledesnombresomplexes:C..Etmaintenantobser vez
ommelesalulsdeviennentfailesenprologeantlesrèglesvalablessurR!
Téhessin:Sivousledites:(xÅiy)Å(x 0
Åiy 0
)ÆxÅiyÅx 0
Åiy 0
Æ(xÅx 0
)Åi(yÅy 0
)
Mathémator:Commenousavions(x,y)Å(x 0
,y 0
)Æ(xÅx 0
,yÅy 0
),maisenplussimple.
Téhessin:Et(xÅiy)¢(x 0
Åiy 0
)Æxx 0
Åixy 0
Åiyx 0
Åi 2
yy 0
Mathémator:N'oubliezpasquei 2
Æ¡1
Téhessin:Alors(xÅiy)¢(x 0
Åiy 0
)Æ(xx 0
¡yy 0
)Åi(xy 0
Åyx 0
)
Mathémator:Commenousavions(x,y)£(x 0
,y 0
)Æ(xx 0
¡yy 0
,xy 0
Åyx 0
).
Donnousallonspouvoiralulerendim ens ion2engén éralis antlesrèglesdedime nsi on1 .Nousavonsju steajou téenom bre
idearré¡1.Enpar tiulier,touslesnombresréelssontdesnombresomplexes:R½C.
Nousallonspouvoirassoieràhaundeesnombresréelsunpointduplanetdonassoierdestransfor mationsduplanà
desalulsdansC:onvarésoudredesproblèmesdegéométr ieparlealul.
Sivousavezompr isesrelations,toutequivasuivrevavousparaître«trop»simple....
III Voabulaire et premières propriétés
Théorème1:EnsembleC
OndénitunensembleC
. munid'uneadditionetd'unemultipliationquiprolongentellesdeR
. ontenantunnombreivér ianti 2
Æ¡1
. telquehaqueélémentzdeCpeuts'ér iredemanièreuniquesouslafor me
zÆaÅib aveaetbdesnombresréels
a. Forme algébrique
Cetteér itureuniqueestappeléefor mealgébr iqueduréelz.
Lenombreaestappellépar tieréelledezetnotéeRe(z)
Lenombrebestappellépar tieimaginairedezetnotéeIm(z)
Attention!
Im(z)est...
Àquoiser tl'uniitédelafor mealgébr ique?
Parexemple,aprèsmaintsalulssavants,vousarr ivezaurésultat2xÅ3y¡5Åi(7x¡32yÅ1)Æ0avexetydesréels.
Etbienlemembredegauheestunefor mealgébr iquepuisquedelafor meréel+i¢réel.Orlafor mealgébr iquede0est
0Åi¢0.
Ainsi,uneéquationomplexerevientàdeuxéquationsréelles(bienvenuedansladeuxièmedimension...)etdon
...2xÅ3y¡5Åi(7x¡32yÅ1)Æ0() 8
>
<
>
:
2xÅ3y¡5Æ0
7x¡32yÅ1Æ0
2xÅ3y¡5Åi(7x¡32yÅ1)Æ0() 8
>
<
>
:
2xÅ3y¡5Æ0
7x¡32yÅ1Æ0
b. Le plan omplexe
Nousavonsvuquehaquenombreomplexepeutêtreassoiéàunpointduplanqu'onmunitd'unrepère
¡
O,
¡!
e
1 ,
¡!
e
2
¢
(
¡
!
e
1
¡
!
e
2
a b
0
axeréel axei m agi nai re
(
ÀtoutnombreomplexezÆaÅibonassoielepointMdeoordonnées(a,b)qu'onappelleimagedeomplexezÆaÅib.
OnlenotesouventM(z).
Inversement,àtoutpointMduplandeoordonnées(a,b),onassoiesonafxezÆaÅibqu'onnotesouventz
M .
Enn,àtoutveteur
¡
!
u Æa
¡!
e
1 Åb
¡!
e
2
deoordonnées(a,b)danslabase
¡
¡!
e
1 ,
¡!
e
2
¢
estassoiéuneafxe z¡!
u
ÆaÅib
. Premiers aluls géométriques
. Soient
¡
!
u et
¡
!
v deuxveteursdeoordonnéesrespetives(a,b)et(a 0
,b 0
),alors
¡
!
u Å
¡
!
v Æ(aÅa 0
)
¡!
e
1 Å(bÅb
0
)
¡!
e
2 ,don
Propr iété1:afxed'unesomme
z¡!
uÅ
¡
!
v Æz¡!
u Åz¡!
v z¡!
u Åz¡!
v
. Demême,si¸estunnombreréel
Propr iété2:afxeduproduitparunréel
z
¸
¡
!
u Æ
¸z¡!
u
¸z¡!
u
. Alors,siIestlemilieudusegment[A,B℄,ona
Propr iété3:afxedumilieu
z
I Æ
1
2 (z
A Åz
B )
1
2 (z
A Åz
B )
. PourtouspointsAetB
Propr iété4:afxed'unveteur
z¡¡!
AB Æz
B
¡z
A z
B
¡z
A
d. Conjugué d'un omplexe
Dénition1:Conjugué
OnappelleonjuguédunombreomplexezÆaÅiblenombre
zÆa¡ibzÆa¡ib
Géométr iquementeladonne
(
(
¡
!
e
1
¡
!
e
2
0
axeréel
Jevouslaisseprouverlespropr iétésimmédiatessuivantes:
Propr iété5:
. M(z)etM 0
(z)sontsymétr iquesparrappor tàl'axe(O,
¡!
e
1 )
. z
1 Åz
2
Æ...z
1 Åz
2 z
1 Åz
2
. z
1 z
2
Æ... z
1 z
2 z
1 z
2
. zÆ...zz
. z2R()zÆ...zz
. z2iR()zÆ...¡z¡z
. Re(z)Æ... 1
2 (zÅz)
1
2 (zÅz)
. Im(z)Æ... 1
2 (z¡z)
1
2 (z¡z)
. SizÆaÅib,alorszzÆ...a 2
Åb 2
a 2
Åb 2
e. À quoi servent les onjugués?
À montrer qu'un omplexe est un réel
Eneffet,sionarr iveàmontrerquezÆz,alorsonenonlutquezestréel.Pourquoi?
À rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques
Eneffet,
z¢zÆ(aÅib)(a¡ib)Æa 2
¡(ib) 2
Æa 2
Åb 2
a 2
¡(ib) 2
Æa 2
Åb 2
Exemple1:
Ainsi,pourobtenirlafor mealgébr iquedel'inversede2Åi:
1
2Åi
Æ... 1
2Åi
£ 2¡i
2¡i Æ
2Åi
4Å1 Æ
2
5 Å
1
5 i
1
2Åi
£ 2¡i
2¡i Æ
2Åi
4Å1 Æ
2
5 Å
1
5 i
f. Conjugué de l'inverse
Sahantqu'unomplexenonnulzadmetunefor mealgébr iqueaÅib,onsaitmaintenanttrouverlafor mealgébr iquedeson
inverse:
etdon µ
1
z
¶
Æ
g. Module d'un nombre omplexe
Dénition2:Module
Lemoduleduomplexezestleréelpositifnotéjzjtelque
jzjÆ p
z z
Remarque1:
. Cettedénitionenestbienunearz zÆa 2
Åb 2
d'aprèsnotreétudesurlesonjugués.
. Siaestunréel,jajÆ p
a aÆ p
aaÆ p
a 2
p
aaÆ p
a 2
araÆa.Donlemoduledeaestbienlavaleurabsoluedea
etnotrenotationestohérente.
LanotiondemoduledansCgénéralisedonelledevaleurabsoluedansR.
Interprétation géométrique
(
¡
!
e
1
¡
!
e
2
a b
0
axeréel axei m agi nai re
(
Nousvenonsdevoirque,sizÆaÅib,alors
Propr iété6:
jzjÆ p
a 2
Åb 2
Or,qu'est-eque p
a 2
Åb 2
sien'estlanor meduveteur
¡¡!
OM ouenorelalongueurOM.
Propr iété7:
jz
M jÆ
°
°
¡¡!
OM
°
°
ÆOM
¯
¯
¯z¡!
u
¯
¯
¯Æ
°
°¡!
u
°
°
Propriétés des modules
Jevouslaisseprouverlespropr iétéssuivantes
Propr iété8:
.
¯
¯
z
¯
¯
Æ...jzjjzj
. jzj
Æ0()... zÆ0zÆ0
. jz
1
¢z
2
jÆ...jz
1 j¢jz
2 j jz
1 j¢jz
2 j
.
¯
¯
¯ z
1
z
2
¯
¯
¯Æ
. Re(z)6...jzjjzj
. Im(z)6...jzjjzj
Lapropr iétésuivantemér iteunepetiteaideàladémonstration
Propr iété9:Inégalitétr iangulaire
jz
1 Åz
2 j6jz
1 jÅjz
2 j
C'estàdire,pourallerdeNantesàMontaigu,ilestpluslongdepasserparBratislavaquedesuivrelaRN137.
Pourlesur ieux,voiiommentelasedémontre.
Commelesdeuxmembresdel'inégalitésontpositifs,ilsuftdondeomparerlesarrésdehaquemembre.
Orjz
1 Åz
2 j
2
Æ(z
1 Åz
2 )
¡
z
1 Åz
2
¢
Æ(z
1 Åz
2 )
¡
z
1 Åz
2
¢
Æjz
1 j
2
Å
¡
z
1 z
2 Åz
1 z
2
¢
Åjz
2 j
2
D'autrepar t(jz
1 jÅjz
2 j)
2
Æjz
1 j
2
Å2jz
1 z
2 jÅjz
2 j
2
Ils'agitdondeomparerles«doublesproduits».
Orz
1 z
2 Åz
1 z
2 Æz
1 z
2 Åz
1 z
2
Æ2Re(z
1 z
2 )62
jz
1 z
2 j
d'aprèsunepropr iétéi-dessus.Don
jz
1 Åz
2 j
2
Æjz
1 j
2
Å
¡
z
1 z
2 Åz
1 z
2
¢
Åjz
2 j
2
6jz
1 j
2
Å2jz
1 z
2 jÅjz
2 j
2
Æ(jz
1 jÅjz
2 j)
2
IV Résolution d'équations du seond degré
a. Raine arrée d'un nombre omplexe
L'objetdeettesetionestderésoudredansCl'équationz 2
Æ®
Raine arrée d'un nombre réel
Onsupposeiique®estunréel.
. ®>0:alorsz 2
Æ®()z 2
¡®Æ...Lessolutions f
sontdon...
f.L Asolutionsi®Æ0
Exemple2:
Ononnaît:z 2
Æ4()...zÆ¡2zÆ¡2ou ...zÆ2zÆ2
. ®Ç0:alorsz 2
Æ®()(z¡i p
¡®)(zÅi p
¡®)Æ0.Lessolutionssontdon§i p
¡®
Exemple3:
C'estlanouveauté:z 2
Æ¡4()...zÆ¡2izÆ¡2iou...zÆ2izÆ2i
Raine arrée d'un omplexe non réel
Leshosesseompliquent!Nousallonstraiterunexemplepournepasvousfaire(trop)peur.
Exemple4:
Cherhonslesrainesarréesde4Å3i,àsavoirlesnombresaÅibtelsque(aÅib) 2
Æa 2
¡b 2
Å2iabÆ4Å3i.
Paruniitédelafor mealgébr iqueonobtient
8
>
>
<
>
>
: a
2
¡b 2
Æ 4
a 2
Åb 2
Æ 5
2ab Æ 3
Ainsia 2
Æ...etb 2
Æ...,donaÆ...etbÆ...,or2abÆ3,donaetbsont...
...
Lessolutionssontdon...et...
b. Résolution de ax 2
ÅbxÅ Æ0 ave a, b et des réels
C'estommeen1 ère
:ax 2
ÅbxÅÆ0()a h
¡
xÅ b
2a
¢
2
¡ b
2
¡4a
4a 2
i
Æ0()
¡
xÅ b
2a
¢
2
Æ b
2
¡4a
(2a) 2
Toutdépenddondusignedeb 2
¡4a,puisonutiliselesrésultatsdelasetionpréédente.
Théorème2:Résolutiondeax 2
ÅbxÅÆ0 avea,b et desréels
L'équationax 2
ÅbxÅÆ0admettoujoursdessolutionssurC.Notons¢Æb 2
¡4aledisr iminantdel'équationet±
leomplexevér iant± 2
Æ¢.
. Si¢Æ0,ilexisteuneuniquesolution ...xÆ¡ b
2a xơ
b
2a
. Si¢È0,ilexistedeuxsolutionsréelles...xÆ
¡b§ p
¢
2a xÆ
¡b§ p
¢
2a
. Si¢Ç0,ilexistedeuxsolutionsomplexesonjuguées...xÆ
¡b§i p
¡¢
2a xÆ
¡b§i p
¡¢
2a
V FORME TRIGONOMÉTRIQUE
a. Argument d'un omplexe non nul
Forme trigonométrique
VousvoussouvenezdelaorrespondaneentreCetlePlan.Nousavionspr ivilégiélesoordonnéesar tésiennesd'unpoint.
Onauraitpuutilisertoutaussibiensesoordonnéespolaires.LePlanaettefoisbesoind'êtreor ienté(illeseraimpliitement
àpar tirdemaintenant).
(
¡
!
e
1
¡
!
e
2
rosµ rs i nµ
0
(
µ
Ainsi,(r,µ)étantleoupledeoordonnéespolairesdel'imageMdez,onazÆrosµÅirsinµdéter minédemanièreunique,
ar'estenfaitunefor mealgébr iquedéguisée:onl'appellefor metr igonométr iqueduomplexez.
Dénition3:for metr igonométr ique
zÆr(osµÅisinµ)
Remarque2:notationenéletronique
Leséletroniiensnotentsouventerésultatsouslafor me:zÆ[r,µ℄
Congruene modulo 2¼
Vousrenontrerezsouventlanotationx´y[2¼℄quiselit«xestongr uàymodulo2¼».Elleveutsimplementdirequex¡y
estunmultiplede2¼,'est-à-direqu'ilexisteunentierrelatifktelquex¡yÆk£2¼.
Àretenir(1):ongr uenemodulo2¼
x´y[2¼℄() ilexistek2ZtelquexÆyÅ2k¼
Parexemple,voussavezque
¼
3
´ 4¼
3
[2¼℄:dessinezunerletr igonométr iquepourvousenonvainre.
Mesure d'un angle de veteurs
Nousn'avonspaslesmoyensdedénir«proprement»lesanglesdeveteurs.Nousn'enavonsqu'unedénitionintuitive.Ce
quinousintéresse,'estqueµestUNEmesureenradiansdel'angledeveteurs
³
¡!
e
1 ,
¡¡!
OM
´
.UNEmesure,arelleestdénie
modulo2¼.EtbienettemesureseraUNargumentduomplexez,qu'onnoteraargz.Onretiendra:
Parexemple,arg32´0[2¼℄,arg32i´
¼
[2¼℄.
Propr iété10:argument
argz´µ[2¼℄
Des formes trigonométriques de référene
. 1Æos0Åisin0don...
. iÆos
³
¼
2
´
Åisin
³
¼
2
´
don...
. j1ÅijÆ p
2et1ÅiÆ p
2
p
2
2 Åi
p
2
2
!
Æ...don...
...
. j
p
3ÅijÆ2et p
3ÅiÆ2
p
3
2 Å
1
2 i
!
Æ...don...
...
b. Correspondane forme algébrique / forme trigonométrique
Soitzleomplexedefor mealgébr iqueaÅibetdefor metr igonométr iquer(osµÅisinµ)alorsonad'unepar t:
Propr iété11:for mealgébr iqueonnaissantlafor metr igonométr ique
aÆ...rosµrosµ bÆ...rsinµrsinµ
etd'autrepar trÆjzjÆ p
a 2
Åb 2
.
Sizestnonnul,sonmodulerÆ p
a 2
Åb 2
seranonnulégalement.Ainsi,nouspouvonsér irezsouslafor me
zÆ p
a 2
Åb 2
µ
a
p
a 2
Åb 2
Åi b
p
a 2
Åb 2
¶
Ær µ
a
p
a 2
Åb 2
Åi b
p
a 2
Åb 2
¶
Ær(os(µ)Åisin (µ))
Nousendéduisonsque:
Propr iété12:for metr igonométr iqueenfontiondelafor mealgébr ique
os (µ)Æ... a
p
a 2
Åb 2
a
p
a 2
Åb 2
sin (µ)Æ... b
p
a 2
Åb 2
b
p
a 2
Åb 2
Ainsi,onnaissantaetb,onpeutobtenirlemoduleetunargumentdeaÅib.Onobtiendraunemesureexatedeµsios (µ)et
sin(µ)sontdesvaleursonnuesomme1/
2 ,
p
3/
2 ,1,et.
Sinon,onobtiendraunevaleurapprohéeàl'aidedestouhes COS -1
et SIN -1
,ouenoreave TAN -1
.Eneffet,os (µ)
étantnonnul g
,
equidéter mineraunevaleurdel'argumentmodulo¼.
g.Sinon,onsaitquiestµ...
Propr iété13:argumentenfontiondelafor mealgébr ique
tan(µ)Æ sin (µ)
os(µ) Æ
b
p
a 2
Åb 2
a
p
a 2
Åb 2
Æ...
b
a b
a
0
I J
s i n (µ)
¡s i n (µ) os (µ)
¡os (µ)
t an (µ)
µ
¼Åµ
Ilsufraensuitedeonsidérerlesignedeos (µ)oudesin(µ)poursavoiràquionaaffaire.
. Opérations sur les formes trigonométriques
SoitzÆr(osµÅisinµ)etz 0
Ær 0
¡
osµ 0
Åisinµ 0
¢
,alors
zz 0
Ærr 0
£¡
osµosµ 0
¡sinµsinµ 0
¢
Åi
¡
sinµosµ 0
Åosµsinµ 0
¢¤
Vousquionnaissezpar faitementvosfor mulesd'addition(b.page19),vousendéduisezque
zz 0
ÆzÆrr 0
¡
os
¡
µÅµ 0
¢
Åisin(µÅµ) 0
¢
Ainsi,nousarr ivonsaurésultatapital
Propr iété14:argumentd'unproduit
arg(zz 0
)Æ...arg(z)Åarg(z 0
)[2¼℄arg(z)Åarg(z 0
)[2¼℄
CelavaVOUSper mettrededémontrerlespropr iétéssuivantesaveunpeud'astueetdepatiene
Propr iété15:Propr iétésalgébr iquesdesarguments
. arg(zz 0
)Æ...arg(z)Åarg(z 0
)[2¼℄arg(z)Åarg(z 0
)[2¼℄
. arg(z n
)Æ...narg(z)[2¼℄narg(z)[2¼℄
. arg
µ
1
z
¶
Æ...¡arg(z)[2¼℄¡arg(z)[2¼℄
. arg
³
z
z 0
´
Æ...arg(z)¡arg(z 0
)[2¼℄arg(z)¡arg(z 0
)[2¼℄
. arg(z)Æ...¡arg(z)[2¼℄¡arg(z)[2¼℄
. arg(¡z)Æ...¼Åarg(z)[2¼℄¼Åarg(z)[2¼℄
Enpar tiulier,lafor muleoner nantz n
nousper metd'ér ire
Théorème3:For muledeMoivre
¡
osµÅjsinµ
¢
n
Æ...os(nµ)Åjsin (nµ)os(nµ)Åjsin (nµ)
Nousnousrendonsainsiompteque:
Àretenir(2):
. Lesfor mestr igonométr iquessontadaptésauxproduitsdeomplexes;
. Lesfor mesalgébr iquessontadaptéesauxsommesdeomplexes.
Vousserezamenésauhasardd'exeriesàrésoudredeséquationsàoefientsomplexes,maisonn'attenddevousauun
savoir-fairepar tiulier:vousserezguidéspasàpas.
VI Les objets géométriques et les omplexes
a. De l'objet au omplexe
Comment aratériser un erle?
LeerledeentreAetderayonRestl'ensembledespointssituésàladistaneRdeA.Ilestfailedetraduiresimplementela
enlangageomplexe...
Àretenir(3):aratér isationd'unerle
M(z)2C(A,R)()jz¡z
A jÆR
Comment aratériser un triangle isoèle?
C'estenoreunehistoirededistane,dondemodule:ABCestisoèledesommetpr inipalAsietseulementsiABÆACdon
Àretenir(4):tr iangleisoèle
ABCisoèledesommetpr inipalA()jz
B
¡z
A jÆjz
C
¡z
A j()
¯
¯
¯
¯ z
B
¡z
A
z
C
¡z
A
¯
¯
¯
¯ Æ1
Comment aratériser un triangle retangle?
OnpeutenoreparlerdistanegrâeauthéorèmedePythagore
jz
C
¡z
B j
2
Æjz
B
¡z
A j
2
Åjz
C
¡z
A j
2
ouangledroit:mais'estl'anglegéométr iquequinousintéresse,donnoustravailleronsmodulo¼
³
¡!
AB,
¡!
AC
´
Æ
³
¡!
AB,
¡!
e
1
´
Å
³
¡!
e
1 ,
¡!
AC
´
Æ¡
³
¡!
e
1 ,
¡!
AB
´
Å
³
¡!
e
1 ,
¡!
AC
´
Æ¡arg
³
z¡¡!
AB
´
Åarg
³
z¡¡!
AC
´
Æarg
z¡¡!
AC
z¡¡!
AB
!
Æarg µ
z
C
¡z
A
z
B
¡z
A
¶
Àretenir(5):tr iangleretangle
³
¡!
AB,
¡!
AC
´
´
¼
2
[¼℄()arg µ
z
C
¡z
A
z
B
¡z
A
¶
´
¼
2 [2¼℄
Comment aratériser les diérents quadrilatères?
Petiterévisiondeollège...
quiasesdiagonalesqui
seoupentenleurmilieu
quiatoussesotes´opposes´
parallele s
quiatoussesotes´opposes´
dem
emelongueur
quiadeuxotes´paralleles
etdememelongueur
quiatoussesangles
oppose´sdemememesure
quiasesangles
onseuti´ fssupplementaires´
quia3anglesdroits
quiaunangle
droit
quiasesdiagonales
dememe longueur
quia4otes´dememelongueur
quiadeuxotes´onseuti´ fs
dememe longueur
quiasesdiagonales
perpendiulaires
quiadeuxot´esons´eutifs
dememelongueur
quiasesdiagonales
perpendiulaires
quiaunangle
droit quiasesdiagonales
dememelongueur Q uadrilatere Parallelogramme´
Retangle
L osange
Carr
´
e
qu'ilvoussufrad'adapteronnaissantequipréède.
b. Du omplexe à l'objet
Que représente z¡32Å5i?
SoitAlepointd'afxe32¡5ietMlepointd'afxez,alorsz¡32Å5iÆz
M
¡z
A Æ
z¡¡!
AM
Comment interpréter jz¡32Å5ijÆ3?
D'aprèsequipréède,onaboutitàAMÆ3:ils'agitdonduerledeentreAetderayon3.
Comment interpréter j32ÅizjÆ5?
j32ÅizjÆji(¡32iÅz)jÆjij£jz¡32ijÆjz¡32ijÆBMaveMlepointd'afxezetBlepointd'afxe32i.Onretombedonsur
unerle.
Comment interpréter jz¡ajÆjz¡bj?
SoitMd'afxez,Ad'afxeaetBd'afxeb.Alorsl'égalitésetraduitparAMÆBM,donMestéquidistantdeAetB,donMest
surlamédiatr iede[AB℄.
Que se ahe-t-il derrière le quotient z
C
¡z
A
z
B
¡z
A
?
Ilsuftderemarquerque z
C
¡z
A
z
B
¡z
A Æ
z¡¡!
AC
z¡¡!
.Donvousutiliserezlefaitque
. arg(
z
C
¡z
A
z
B
¡z
A )Æ(
¡!
e
1 ,
¡!
AC)¡(
¡!
e
1 ,
¡!
AB)Æ(
¡!
AB,
¡!
AC)
.
¯
¯
¯
¯ z
C
¡z
A
z
B
¡z
A
¯
¯
¯
¯ Æ
AC
AB
Dansd'autresas,vousserezonfrontésàl'interprétationd'uneégalitédustyle z
C
¡z
A
z
B
¡z
A
Ƹquisetraduitpar z¡¡!
AC Æ
¸z¡¡!
AB ,
don
. si¸2R,alors
¡!
ACƸ
¡!
ABetdonA,BetCsontalignés.
. si¸2iR, z¡¡!
AC Ƨj¸ji
z¡¡!
AB
etdonarg
³
z¡¡!
AC
´
´§
¼
2 Åarg
³
z¡¡!
AC
´
[2¼℄'estàdire(AC)?(AB)
. si¸Æ§i,alorsletr iangleABCestisoèleetretangleenA
Comment interpréter
¡
¡¡!
MA,
¡¡!
MB
¢
´
¼
2 [¼℄?
Ondéduitdeetterelationqueletr iangleAMBestretangleenM,donqueMdér itleerledediamètre[AB℄pr ivédes
pointsAetB.
. En attendant la deuxième partie du ours...
SoitzÆ3Å2i,alors¡1£zÆ¡3¡2ieti£zÆ3iÅ2i 2
Æ¡2Å3i.NotonsM,M 0
etM 00
lespointsd'afxesrespetivesz,¡zetiz
0
M(3,2 )
¡
!
e
1
¡
!
e
2
M 0
(¡3,¡2 ) M
00
(¡2,3 )
Ômondemer veilleux!Unemultipliationpari setraduitparunquar tdetour,unemultipliationpar¡1setraduitparun
demi-tour,deuxmultipliationssuessivespari,'estàdireunemultipliationpari 2
Æ¡1setraduitbienpardeuxquar tsde
tour,i.e.undemitour.Maiseiestuneautrehistoire...
VII Complexes et életronique
a. Somme de deux grandeurs sinusoïdales
Ononsidèrelasituationsuivante:
i
i
1
i
2
Leourantinitialietlestroisourantsrésultantsi
1 eti
2
ontlamêmepulsation!.
Sii
k Æ
b
I
k
sin(!tÅ'),alors,ennotantI
k
lavaleurefae h
dei
k ona
I
k ÆI
k
¡
os'Åjsin'
¢
ave b
I
k Æ
p
2 I
k
Enéletronique,onnote«j»lenombredearré¡1pournepasleonfondreavele«i»del'intensité...
Laloidesnudsnousditque,àhaqueinstantt,i(t)Æi
1 (t)Åi
2 (t).
Ilesttempsàprésentdesesouvenird'unepetitefor muledetr igo:
sin(aÅb)ÆsinaosbÅsinbosa
Vouspouvezalorsmontrerque,d'unepar t
i
1 (t)Åi
2 (t)Æ
³
p
2I
1 os'
1 Å
p
2I
2 os'
2
´
sin (!t)Å
³
p
2I
1 sin'
1 Å
p
2I
2 sin'
2
´
os(!t)
etd'autrepar t
i(t)Æ
³
p
2Ios'
´
sin (!t)Å
³
p
2Isin'
´
os(!t)
puisquelarelationi(t)Æi
1 (t)Åi
2
(t)estvraieàhaqueinstant,elleestdonvraieenpar tiulierautempstÆ0,d'où
p
2Isin'Æ p
2I
1 sin'
1 Å
p
2I
2 sin'
2
(pourquoi?)etentÆ
¼
2!
onobtient
p
2Ios'Æ p
2I
1 os'
1 Å
p
2I
2 os'
2
VouspouvezalorsexpliquerpourquoiI
0 ÆI
1 ÅI
2
dansleasdesignauxdemêmepulsation.Celavanousrendredegrandsser vies,arilvaêtrebeauoupplussimpled'addi-
tionnerdesomplexespluttquedesgrandeurssinusoïdales.
Exemple
Considéronsi
1 Æ2
p
2sin
¡
!tÅ
¼
4
¢
eti
1 Æ3
p
2sin
¡
!t¡
¼
6
¢
Alorsvousobtenezd'unepar t
I
1 Æ2
³
os
³
¼
4
´
Åjsin
³
¼
4
´´
Æ p
2
¡
1Åj
¢
etd'autrepar t
I
2 Æ3
³
os
³
¡
¼
6
´
Åjsin
³
¡
¼
6
´´
Æ 3
2
³
p
3¡j
´
h.Nousapprendronsàlaalulerquandnousauronsétudiélealulintégral
Nousendéduisonsque
I
0 ÆI
1 ÅI
2 Æ
p
2Å 3
p
3
2
!
Åj µ
p
2¡ 3
2
¶
Onnereonnaispasdelignestr igonométr iquesonnues.Nousallonsdonutiliserdesvaleursapprohées.
I
0
¼4,012289774¡0,08 57 86 43 76 3j
Nousendéduisonsquel'intensitéefaevautenviron4,01Ampèresetunemesuredesonargument-0,021radians,etdon
i(t)¼4,01 p
2sin (!t¡0,021)
b. Impédane omplexe
Vousverrezunjourquel'impédaneomplexeZestdéniepar
ZÆ U
I
ÆRÅjX
aveRlaresistaneetXlaréatanedudiple..
Cas d'une bobine parfaite
Ononsidèrelasituationsuivante:
u (t )
L i (t )
Pardénitiondel'intensitéi(t),onau(t)ÆL di(t)
dt
.Ori(t)ÆI p
2sin
¡
!tÅ'
¢
,don
u(t)ÆL d
³
I p
2sin
¡
!tÅ'
¢
´
dt
ÆLI p
2!os
¡
!tÅ'
¢
ÆL!I p
2sin
³
!tÅ'Å
¼
2
´
ar sin
³
xÅ
¼
2
´
Æos(x)
Nousendéduisonsque,d'unepar t
Arg
¡
Z
¢
ÆArg
¡
U
¢
¡Arg
¡
I
¢
Æ'Å
¼
2
¡'
Æ
¼
2
d'autrepar t
¯
¯
Z
¯
¯
Æ jUj
jIj
Æ IL!
I
ÆL!
Finalement,onobtientque
ZÆjL!
arjevousrappellequeos
¡
¼
2
¢
Åjsin
¡
¼
2
¢
Æj
Montrezdemêmequel'impédaneomplexed'unondensateurpar faitdeapaitéCvaut 1
j!
sahantquepardénition
i(t)ÆC du(t)
dt
.
. For mules
sin 2
xÅos 2
xÆ1
os(aÅb)Æosaosb¡sinasinb
os(a¡b)ÆosaosbÅsinasinb
sin(aÅb)ÆsinaosbÅsinbosa
sin(a¡b)Æsinaosb¡sinbosa
tan(aÅb)Æ
tanaÅtanb
1¡tanatanb
,pouraÅb6Æ
¼
2
Åk¼,k2Z
tan(a¡b)Æ
tana¡tanb
1Åtanatanb
,poura¡b6Æ
¼
2
Åk¼,k 0
2Z
. Transfor mationdeproduitsensomme
osa¢osbÆ 1
2
¢(os (aÅb)Åos(a¡b))
sina¢sinbÆ 1
2
¢(os (a¡b)¡os(aÅb))
sina¢osbÆ 1
2
¢(sin(aÅb)Åsin (a¡b))
. Transfor mationdesommesenproduits
ospÅosqÆ2¢os ( pÅq
2
)¢os ( p¡q
2 )
osp¡osqÆ¡2¢sin(
pÅq
2
)¢sin(
p¡q
2 )
sinpÅsinqÆ2¢sin(
pÅq
2
)¢os ( p¡q
2 )
sinp¡sinqÆ2¢sin(
p¡q
2
)¢os ( pÅq
2 )
. For mulesdedupliation
os(2x)Æos 2
x¡sin 2
xÆ2os 2
x¡1Æ1¡2sin 2
x
sin(2x)Æ2osxsinx
tan(2x)Æ
2tanx
1¡tan 2
x ,x6Æ
¼
4 Åk
¼
2
pourk2Z
AvetÆtan(
x
2
),ona:
sinxÆ 2t
1Åt 2
,osxÆ 1¡t
2
1Åt 2
,tanxÆ 2t
1¡t 2
.
0 1
2
¡ 1
2
¼
3 3
¡ 2¼
3
¡
¼
3 p
3
2
¡ p
3
2
¼
6 5¼
6
¡ 5¼
6
¡
¼
2
¡
¼
6 p
3
2
¡ p
3
2
1
2
¡ 1
2
¼
4 3¼
4
¼
¡ 3¼
4
¡
¼
2
¡
¼
4 p
2
2
¡ p
2
2
p
2
2
¡ p
2
2
0 I
J
s i nx
osx t anx
x
0 I
J
s i n (x)
os (x)
¡os (x)
t an (x)
¡t an (x) x
¼¡x
0
I J
s i n (x)
¡s i n (x) os (x)
¡os (x)
t an (x)
x
¼Åx
0
I J
s i n (x)
¡s i n (x)
os (x)
t an (x)
¡t an (x) x
¡x
