I. Étude d’une pince ampère-métrique à induction

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PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N^◦11 - 11/06/18 - CORRIGÉ A. MARTIN

THERMODYNAMIQUE ET INDUCTION

I. Étude d’une pince ampère-métrique à induction

(d’après CCP TSI 2014) 1. Le courantI(t) créée un champ magnétiqueorthoradiald’après l’expérience d’Oersted, donc unflux

magnétique non nulà travers les spires du tore.

CommeI(t) est variable, le flux varie dans le temps donc il apparaît uneforce électromotrice induite dans l’enroulement torique.

Commele circuit est ferméil apparaît un courant induiti(t).

2. En tout pointM de l’espace il passe un planπ(M) contenant l’axeOz, qui estplan de symétrie de la distribution de courants, donc plan d’anti-symétrie du champ magnétiqueB. En ce point~ B(M) est donc orthogonal au plan~ π(M), donc orthoradial. Cette analyse est vraie indépendamment pour chaque contributionI(t) eti(t), donc pourB~_eetB~_p.

3. D’après l’orientation choisie pour le couranti(t), la normale à une spire est le vecteur~u_θ. Le champ magnétique n’étant pas uniforme sur la section du tore, on intègre le flux élémentaire pour obtenir le flux φsur une spire :

φ= ˆ _3a

r=2a

ˆ ^a

2 z=−^a

2

µ0(I+N i)

2πr ~u_θ.drdz ~u_θ=µ0(I+N i) 2π

ˆ _3a

r=2a

ˆ ^a

2 z=−^a

2

dr

r dz=µ0(I+N i)a 2π

ˆ _3a

r=2a

dr r

d’oùφ=^µ_2π⁰aln³₂(I+N i) et le flux total à travers le tore vaut Φ =N ϕ=µ0

2πaln 3

2

N(I+N i) . 4. Notons respectivement Φ_eet Φ_ples flux engendrés par les courantsIeti. Par définition on a Φ_e=M I

et Φ_p=Li, d’où M=µ0

2πaln 3

2

N et L=µ0

2πaln 3

2

N²=N M. 5. La force électromotriceeest orientée dans le sens deicomme indiqué ci-contre.

D’après la loi de Faraday, on a e=−dΦ

dt =−MdI dt−Ldi

dt .

6. La loi des mailles s’écrite=Ri. En passant en complexes pour une régime sinusoïdal forcé de pulsation ω(car l’équation est linéaire à coefficients constants), on obtient :

−jωM I−jωLi=Ri d’où H= −M jω R+L jω .

7. Notons le gainG(ω) =|H(ω)|. On a G(ω) = M ω

√

R²+L²ω² = M qR²

ω²+L²

. Il s’agit d’une fonctioncrois-

sante. Le comportement est du typefiltre passe-haut, avec G(ω) →

ω→00 et G(ω) →

ω→∞

M L . On privilégiera donc l’usage pour leshautes fréquences. L’usage en régime continu est proscrit car G(0) = 0,la pince ne mesure pas la composante continue.

8. Au contraire de l’ampèremètre, la pince ampèremétrique ne requiert pas l’ouverture du circuit pour mesurer un courant, ce qui est appréciable pour aborder une installation électrique domestique par exemple : c’est non seulementplus simple mais aussi plus sécurisé(courants importants).

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II. Etude d’une plaque à induction

(d’après ATS 2008) 1. Le champ étant uniforme, on obtient Φ =B0sin(ωt)πb².

2. La force électromotriceeest orientée dans le sens deicomme indiqué ci-contre.

D’après la loi de Faraday, on a e=−dΦ

dt =−B0ω πb²cos(ωt) .

3. Dans le circuit ci-dessus on ae=Ridonc i=−B0ω πb² R cos(ωt) . 4. La puissance dissipée par effet Joule estPJ=Ri²=^B⁰²^ω²_R^π²^b⁴ cos²(ωt).

En valeur moyenne on a<cos²(ωt)>=¹₂donc PJm=B₀²ω²π²b⁴

2R .

5. L’expression précédente montre qu’il est nécessaire que le fond de la casserole soitbon conducteur de l’électricité.

Par ailleurs, il faut aussi que le champB0soit intense, ce qui est vérifié si le fond de la casserole a une grande perméabilité magnétique relativeµ_r, ce qui de plus canalise les lignes de champ.

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III. Étude d’un réfrigérateur à compresseur

(d’après ATS 2008)

1. Sachant qu’on néglige les variations d’énergie cinétique et potentielle macroscopiques massiques ∆e_cet

∆e_p, on a : D_m∆h=D_m(h_s−h_e)≈ Pm+Pth.

2. cf figure ci-contre. À température donnée,l’état vapeur correspond à un milieu plus désordonné que l’état liquidecar les particules sont éloignées et indépendantes les unes des autres. La connaissance de l’état microscopique à partir des variables d’état est moins bonne donc l’entropie est plus grande.Le liquide doit donc être à gauche et la vapeur à droite.Par ailleurs, la dénomination des courbes de saturation (ébullition à gauche, rosée à droite) ne laisse aucun doute. De plus le domaine diphasique est nécessairement entre les deux.

3. D’après l’énoncé, les pointsAetBsont donnés en coordonnées (p, T).

Le pointCse trouve sur la courbe d’ébullition avecp_C=p_B= 7,0 bar. Or pour un système diphasique, une isobare est une isotherme, donc une droite horizontale ici.

Le pointDvérifiep_D=p_A= 2,0 bar eth_D=h_C. On utilise de nouveau que l’isobare est horizontale dans la partie diphasique, d’où le pointD.

4. On lit alorsT_`=T_C≈27^◦C.

5. De même on litT_v=T_D≈ −10^◦C.

6. Il n’y a pas d’échange de puissance mécanique avec l’extérieur du fluide caloporteur pendant la vaporisation entreDetA, donc P_th2=D_m(h_A−h_D) ≈1,0×10⁻²×(405−237)×10³) = 1,68 kW.

7. EntreAetB, le gaz subit une compression adiabatique donc sans échange thermique avec l’extérieur : P_m=D_m(h_B−h_A) ≈1,0×10⁻²×(441−405) = 0,36 kW.

8. De nouveau il n’y a pas d’échange de puissance mécanique avec l’extérieur pendant la vaporisation entre BetC, donc P_th1=D_m(h_C−h_B) ≈1,0×10⁻²×(237−441)×10³) =−2,04 kW.

9. Sur le cycle entier on doit avoir

∆h= 0 = (h_B−h_A) + (h_C−h_B) + (h_D−h_C) + (h_A−h_D) = 1

D_m (Pm+Pth1+ 0 +Pth2), donc Pm+Pth1+Pth2= 0 .

10. On définit l’efficacité par le rapport entre le transfert thermique recherché, ici celui avec la source froide, et le transfert consommé, ici le travail du compresseur. Donc η=Pth2

Pm

= 4,7.

11. D’après le théorème de Carnot (cf démonstration du cours), l’efficacité maximale obtenue pour un cycle réversible est ηmax= Tint

Text−Tint

= 13,9.

L’efficacité réelle est nettement inférieure, ce qui traduit l’irréversibilité du cycle. De l’entropie est créée au minimum sur 3 phases : lors des transferts thermiques avec les pseudo-sources, pour cause d’hétérogénéité de température, et pendant la détente isenthalpique, pour cause d’hétérogénéité de pression. Enfin la compression n’est isentropique que dans le cas où elle est adiabatique, mécaniquement quasi-statique et sans frottements, ce qui n’est probablement pas le cas à cause desfuites thermiques et des frotte- ments.

12. L’aire d’un trapèze est le produit de sa base par sa hauteur moyenne :

P_f=D_mw_f=−^D₂^m(T_A+T_B)(s_B−s_A) ≈ −1,0×10⁻²×0,5×(273+5+273+55)×(1805−1775) =−91 W. Ceci représente donc environ 25% de la puissance consomméeP_m, ce qui estloin d’être négligeable.

En définitivetoutes les étapes sont irréversibles.

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Cycle en diagramme (T, s) (figure par P. Salles).

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