Paramètres de position et de dispersion

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Paramètres de position et de dispersion

I) Mesures de position 1) La moyenne

a) Définition

Soit la série statistique définie dans le tableau suivant :

Valeur x1 x2 ... xp

Effectif n1 n2 ... np

Effectif total : N = 𝒏_𝟏+ 𝒏_𝟐+ ⋯ + 𝒏_𝒑

La moyenne de cette série statistique est le réel, noté ^⎯x, tel que :

𝒙 =

^𝒏

^𝟏

^𝒙

^𝟏

^{+ 𝒏}

^𝟐

^𝒙

^𝟐

^{+⋯+ 𝒏}

^𝒑

^𝒙

^𝒑

𝑵

Exemple 1:

Soit la série statistique répertoriant la taille en mètres de 100 requins blancs Taille

(en m ) 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Effectif 8 10 25 32 19 4 2

La taille moyenne est :

𝑥 = 1,5x8 + 2x10 + 2,5x25 + 3x32 + 3,5x 19 + 4x4 + 4,5x2100 = 2,82 Exemple 2 :

Un supermarché a relevé les dépenses (en € ) de ses clients en 2 heures un jour donné, les résultats sont rassemblés dans le tableau suivant :

Dépenses

(en €) [ 0 ; 30 [ [ 30 ; 60 [ [ 60 ; 100 [ [ 100 ; 120 [ Milieu de

classe 15 45 80 110

Effectif 12 25 42 67

Pour calculer la moyenne on détermine les milieux des classes de la distribution puis on effectue le calcul : 𝑥 = 15x12 + 45x25 + 80x42 + 110x67 146  82,43 €

(146 est l’effectif total)

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b) Propriété 1

On peut calculer la moyenne 𝑥 à partir de la distribution des fréquences :

Valeur 𝑥1 𝑥2 ... 𝑥𝑝

Fréquence f1 f2 ... fp

𝑥 = f1 𝑥₁+ f2 𝑥₂+ … + fp 𝑥_𝑝 Exemple :

On étudie dans une maternité la taille de 50 nouveaux nés

Taille en cm 47 48 49 50 51 52

Effectif 5 8 12 15 9 1

Fréquence 0,1 0,16 0,24 0,3 0,18 0,02

𝑥 = 0,1x47 + 0,16x48 + 0,24x49 + 0,3x50 + 0,18x51 + 0,02x52 = 49,36

c) Propriété 2

Si on ajoute le même nombre k à toutes les valeurs de la série statistique, la moyenne augmente de k

Exemple :

Dans l’exemple précédent on pourrait soustraire 50 à toutes les tailles on obtiendrait une nouvelle moyenne :

𝑦 = 0,1x(-3) + 0,16x(-2) + 0,24x(-1) + 0,3x0 + 0,18x1 + 0,02x2 = – 0,64 et on retrouve 𝑥 en rajoutant 50 à 𝑦 : 𝑥 = – 0,64 + 50 = 49,36

d) Propriété 3

Si on multiplie toutes les valeurs de la série statistique par un même nombre k, la moyenne est multipliée par k

Exemple :

En étudiant maintenant la masse de 50 nouveaux nés de la maternité on obtient :

Masse en kg 2,8 2,9 3 3,1 3,2

Effectif 14 10 18 7 1

On peut multiplier les masses par 10 on calcule ainsi une moyenne 𝑦 : 𝑦 = 28x14+29x10+30x18+31x7+32x150 = 29,42

et on retrouve la moyenne en divisant 𝑦 par 10 : 𝑥 = 29,4210 = 2,942

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2) La médiane

a) Définition

La liste des N données est rangée par ordre croissant.

• Si N est impair (N = 2n + 1) la médiane est la donnée de rang n + 1

• Si N est pair (N = 2n ) la médiane est la demi somme des données de rang n et de rang n + 1.

Exemple 1 :

Un boulanger teste les masses (en grammes) de 30 baguettes qu’il vient de fabriquer, il obtient les résultats suivants :

235 235 237 238 238 239 239 239 240 241

241 243 245 247 247 249 250 205 250 250

250 251 251 253 253 255 255 255 257 260

Comme l’effectif total N = 30 est pair la médiane est la demi-somme de la donnée de rang 15 et la donnée de rang 16 soit : 247 + 249 2 = 248

Me = 248 g

Exemple 2 :

Le tableau ci-dessous indique la durée (en minutes) de connexion internet par jour de 43 familles interrogées

Durée en

minutes 40 60 80 120 180 200 240 300

Effectif 2 9 11 7 5 2 4 3

Comme l’effectif total N = 43 = 2 x 21 + 1 est impair la médiane est la donnée de rang 22 soit 80 minutes

b) Propriétés

• Si on ajoute le même nombre k à toutes les valeurs de la série statistique, la médiane augmente de k

• Si on multiplie toutes les valeurs de la série statistique par un même nombre k, la médiane est multipliée par k

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3) Les quartiles

a) Définitions

La liste des N données est rangée par ordre croissant :

● Le premier quartile (Q1) est la plus petite donnée de la liste telle qu’au moins un quart des données de la liste sont inférieures ou égales à Q1.

●Le troisième quartile (Q3) est la plus petite donnée de la liste telle qu’au moins les trois quarts des données de la liste sont inférieures ou égales à Q3

Méthode

a) L’effectif total N est un multiple de 4 :

● On ordonne la série dans l’ordre croissant

● On divise N par 4

● 𝑄₁ est donc la valeur de rang ^𝑁 4

● 𝑄₃ est donc la valeur de rang ^3𝑁 4

Exemple 1 : On considère la série :

11 ; 16 ; 7 ; 12 ; 19 ; 12 ; 18 ; 17 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 13 ; 16 ; 19

● On range la série dans l’ordre croissant :

7 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 16 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 19

4^ème valeur 12^ème valeur

● N = 16 (il y a 16 valeurs) et 𝑁

4 = 16÷4 = 4

● 𝑄₁ est donc la valeur de rang 4 c’est à dire la 4^ème valeur 𝑄₁= 12

● 𝑄₃ est donc la valeur de rang ^3𝑁

4 = 3×16÷4 = 12

𝑄3 est donc la valeur de rang 12 c’est à dire la 12^ème valeur qui est 16 𝑄₃= 16

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b) L’effectif total N n’est pas un multiple de 4 :

● On ordonne la série dans l’ordre croissant

● On divise N par 4

● Le rang de 𝑄₁ est le premier entier supérieur à ^𝑁 4

● Le rang de 𝑄₃ est le premier entier supérieur à rang ^3𝑁 4

Exemple 1 : Reprenons l’exemple portant sur les masses des baguettes :

235 235 237 238 238 239 239 239 240 241

241 243 245 247 247 249 250 205 250 250

250 251 251 253 253 255 255 255 257 260

● N = 30

● ^𝑁

4 = 304 = 7,5 Q1 est la donnée de rang 8, c’est-à-dire la 8^ème donnée donc Q1 = 239 g et

● ^3𝑁

4 =3 × 30

4 =22,5 Q3 est la donnée de rang 23 , c’est-à-dire la 23^ème valeur Q3 = 251 g

Exemple 2 : Le tableau ci-dessous indique la durée (en minutes) de connexion internet par jour de 43 familles interrogées

Durée en

minutes 40 60 80 120 180 200 240 300

Effectif 2 9 11 7 5 2 4 3

Effectif

cumulé 2 11 22 29 34 36 40 43

L’effectif total N = 43

● ^𝑁

4 = 434 = 10,75 Q1 est la donnée de rang 11, c’est-à-dire la 11^ème valeur soit Q1 = 60 min et

● ^3𝑁

4 =3 × 43

4 =32,25 Q3 est la donnée de rang 33, c’est-à-dire la 33^ème valeur soit soit Q3 = 180 min

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b) Illustration

II Mesures de dispersion 1) L’étendue

L’étendue d’une série statistique est égale à la différence entre la plus grande et la plus petite des données de la série.

235 235 237 238 238 239 239 239 240 241

241 243 245 247 247 249 250 205 250 250

250 251 251 253 253 255 255 255 257 260

L ‘étendue e = 260 – 235 = 25

Durée en minutes

40 60 80 120 180 200 240 300

Effectif 2 9 11 7 5 2 4 3

Effectif

cumulé 2 11 22 29 34 36 40 43

L’étendue e = 300 – 40 = 260

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2) l’écart interquartile

L’écart interquartile est égal à la différence Q3 – Q1

235 235 237 238 238 239 239 239 240 241

241 243 245 247 247 249 250 205 250 250

250 251 251 253 253 255 255 255 257 260

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que Q1 = 239 et Q3 = 251 Q3 – Q1 = 251 – 239 = 12

Durée en minutes

40 60 80 120 180 200 240 300

Effectif 2 9 11 7 5 2 4 3

Effectif

cumulé 2 11 22 29 34 36 40 43

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que Q1 = 60 et Q3 = 180 Q3 – Q1 = 180 – 60 = 120

3) Variance

a) Définition

Soit la série statistique définie dans le tableau suivant :

Valeur 𝑥₁ 𝑥₂ . . . 𝑥_𝑝

Effectif 𝑛₁ 𝑛₂ . . . 𝑛_𝑝

Effectif total : 𝑵 = 𝒏 _𝟏+ 𝒏 _𝟐+ . . . . + 𝒏_𝒑 Soit

𝒙 ̅

la moyenne de cette série . Le réel V = ^𝟏

𝑵

[ 𝒏

_𝟏

(𝒙

_𝟏

− 𝒙 ̅)

^𝟐

+ 𝒏

_𝟐

(𝒙

_𝟐

− 𝒙 ̅)

^𝟐

+ ⋯ + 𝒏

_𝒊

(𝒙

_𝒊

− 𝒙 ̅)

^𝟐

+ ⋯ + 𝒏

_𝒑

(𝒙

_𝒑

− 𝒙 ̅)

^𝟐

]

est appelé variance de cette série statistique.

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b) Exemple et méthode pour mieux comprendre la formule

Valeurs 9 11 13 15 17 total

Effectifs 6 4 7 2 1 20

Explication de la formule :

● N = 6 + 4 +7 +2 +1 = 20

● 𝑥 = 9×6 + 11×4 + 13×7 + 15×2 + 17×1

20 = 11,8

● Complétons le tableau : Valeurs

(𝒙_𝒊) 9 11 13 15 17 total

Effectifs

(𝒏_𝒊) 6 4 7 2 1 20

𝒙_𝒊− 𝒙 9-11,8 = -2,8

11-11,8=- 0,8

13-11,8=

1,2

15-11,8=

3,2

17-11,8=

5,2

(𝒙𝒊− 𝒙)² 7,84 0,64 1,44 10,24 27,04

● On applique la formule : V =

1 20 ( 6 × 7,84 + 4 × 0,64 + 7 × 1,44 + 2 × 10,24 + 1 × 27,04) V = ^107,2

20

^{= 5,36}

La variance est égale à 5,36

4) Ecart type

a) Définition

L’écart type , qui se note 𝝈 , est donné par la formule : 𝝈 = √𝑽

b) Exemple

Reprenons l’exemple précédent :

Valeurs 9 11 13 15 17 total

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Nous avons trouvé la variance : V = 5,36

Donc l’écart type est : 𝜎 = √𝑉

𝜎 = √5,36 𝜎 ≈ 2,3

L’écart type est donc environ égal à 2,3

Remarque importante :

La variance et l’écart type permettent de mesurer la « dispersion » des valeurs de la série autour de la moyenne.

Si les valeurs de la série possèdent une unité, l’écart type s’exprime dans la même unité.

Paramètres de position et de dispersion