M.athématiques pour la Physique

. · ~V

. ' , : . 1/

M.athématiques pour la Physique

Chapitrel:

Chapitrez:

Analyse S3

Calcul vecto1iel intégral Analyse complexe

2016/2017

Pr O. El KAHLAOUI

Caf cuJ vectorief Inté,ral

,•

..

Préliminaires

Cette partie est consaC1'ie aw: outils et notations nifessmres pour tau.t le chapitre ncA.LCUL VECTORIEL INTEGRAL".

On les ~~1:te de f~n si1:1'ple

1 m~is- dans œ'IUI;ins œs .moins rigoureuse que leurs définitions mathematiques ongmales. . . . .·

. . ^.

1.1 Notions topologiques et notations:

. (n ^)1/'J

i. Dans R.'", on définit !a nonne euclidienne par l[xl[

= ~.1.i

^pour

= l

x

=

(xie ... , Xn) E R" et B(x, R)

=

^{{y E} R" / l!Y -

xU

< R} R > O. est la bo-ule de Rn tie rentre x et de royon R.

Soit U C llti\ on dit que :

*

^{ll est ouvert si \/x E} U,3€ > 0/ B(.x,t) CU.

*

^uc

⁼

^{{x E Rn/ x}

^f/.

^{U} est dît} complém,entaire de U.

*

U ·est fermé si uc est 011.'Ue:rl.

*

^{U est} l7adh.érence tie U% c:test le plus petit fermé de R'• contenant U.

0

··k int U

=

U est l'intérieur de U, c'est le 'plus grand ouue:rt contenu dans

u.

..

"

\'\ ,__,,\ ,,. __ ,..,_ ;~r.v ^~

<.;., 1 '--<=:' . ~-... f

(\&/'. ~..,.,.<", y'.b.,._,..,h~dr (l-v.:.; ... ,c.<ç -

0 - -

*

^{On a U C U C U e.t U}

⁼

^{U U âU.}

· *

^{U est convexe si lrf x, y E} U, le segment de droite

[x,

y} reste entièrement

dans: U. A

*

^{U est} connexe si 'vx, 1J E U, il existe une courbe o:mtinue joignant x à y qui. reste entièrement dans U.

*

^{U est} un domaine si U est à La fois ou:uert et connexe.

·-J:r U

est

simplement connexe si deux courbes simple.<1 quelconCJtles contenues . dans U ~nt les

mêmes

extrémités, peuvent être déformé.et{ C01"1tinû-

ment î'mie en l~autre sans sortir de U.

Dans

R\

intuitivement un e~emble est simplement cnnnexe s'il n'a pas de trou.

*

^{On a U camreu ~ U} simplement ronneu => U conneze.

{ En généra!, les réciproques ne sont pas vraies).

Exemples 1 (Les plus -utilisé.a dans ce ch.a.pitre)

• Gas n=l:

· - R et 0 s.mr.t 4. la fois ouverts et fermés.

- L'interrolle [a1b} est fermé.

- L 'interoolle.

J:a..

b[ est ouvert.

- Les inte:rual.{es [a, b[ et ]a₁

bJ

ne sont ni ouverts _ni fermés.

- 8 ([a,

bD =

&Qa..,bD

=

8 ([a.,

bD =

ô

Qa,

bl)

= {a,

b}.

- [a,bl,Ja,b[,.[a,b[.Ja, b]

et

R

sont c:mvexes. Par contre,

[l,2J U (3,4J

n'est pas convexe..

3

• Cas n ~ 2:

- Il" et 0 sont d la fois omierts et

f

ermé..s.

- puu:r :r; E R^{11; {} .x} est fermé.

- B (x. R) est ouvert et JRn , { 0} est ouvert.

- Ë(x,R)

=

{y Elit"/ (lx -y!!~ R} est fermé_ A

- 8B(:r:,R)

=

{y

ER"/ Ux -

¹¹¹¹

=

R} la sphère de rayon R.

- B(x, R) et R" sont con'lt""~'ÇS

- R:t , {(O, O}} est connei:e, non convexe et non simplement connexe.

- R³-...{(0,0, Ol} est simplement connexe, donc connexe et il

e.st

non convexe.

il. Soit

n

^{un 0ttr1ert de} R"'.

* ^k

^{~ O; Ci (il) est} l'ensemble des fonctions

J:

U-+- R, k-fois continûment dérivables dans

n.

- C° (il)

=

C (O} est l'ensemble des fonctions continues-f : 0 - .R.

- C"°' (11) est l7ensern.ble des fonctions continues

1 :

fi -+ R ïr"1éfiniment clérivables.

*

^{k ~ O;}

^c1:

{fi,R"") est l'ensemble desfonctionsve.c.t.orielles F(x)

=

(f1(x), ... , f,,.(x))) · telles que fi E C'" (0), i

=

¹1 ••• , m . .

*

^fk,t:

^n-R.

- fi, -+

J

simplement dans !1 (point par point} si Vx E !1

!J:

(x) ^{- t} f (;_)

lr-+oo k--+co

- fk --, f uniformément dans

n

si sup

IA

(x) - f(x)[ -+• O.

l.--.:r ;z;E:0 li:--=

üi. Soit

n

un. ouvert de R.² et

f:

{t2v) :: (J1 (1.1.

1

vr~

(u,v)) de classe C¹ - On no~, w,;, .. .ri

=

^!!.li 8v: ^et f; u

=

^!!.li. eu· ^{f u -- (} J_,,J ... ,._ ^{.-:J 4 f3 )} e ^t J ' I } -^{F - (f'} .,,Jv,"^{a j3 )} .

1.2 Courbes

Serit. C C R"'-_une cou:rbe ( n ~ 2) .

*

C est une courbe simple s'il existe I i:n.teroolle de JR et une fonction -y : I ^--+ Rn. continue inje.c.tive telle ^{que -y} (J)

=

C. ( ₁ e.st appe lée

paromérisation de C).

*

C est une courbe si.mple fermée, si en plus I

=

^{[a, b}}

^e.t

^{'Y (a)}

=

^{1' {b) .}

-k C est une courbe r6..gulière, s'il .existe une paramétrisation 1 ([a., b]) -;. C qu.i est de classe C¹ et

11--1 (t)ll =f

O Vt E (a, b}. ·

(1·

^(t}

= h1

^{(t), ... , 1 .. (t));}

lh'_Ct)H = ✓C ii

(t)) ²

+ ... +

^{(1 .... (t)) 2) •}

*

^{Si C}

^c

^R2 une courb~ simple fermée et int C

= n

alors

an=

^C.

-k Un,e courbe. C simple fermée. régulière de R² de. parométrisation 1 :

[u,

bJ -►

r

^{de classe C1, est} orientée positivement si en tout point ^X E C

:z;

=

^1' (t}

= b1

{t) 1 ï2 (t) , le vecteur normal à C en x, n

=

^n(x)

= ('12

^{(t), --y~ (t)}

est une normale extérieure à. n

=

^intC (ôn

=

C) c.à.d C est orientée. positivement si lorsqtf'un se déplace sur C, on doit at10Îr le domaine Ü.=ÔGiigauche.

( ~ ~ ~ c i - < . ! ~ )

Exemples 2 *Sil= [a,bJ etf E C¹ (J,R"L alors le graphe def C

=

{(x,~x))/x E I)}

est une com:-be simple régulière. ·

*

^{Le cercle C}

^{= {}

^{(x, y) E R._2 /}

.

^x2

^{+ y2 =}

^{r2} r > 0} une courbe simple fermée réguiiè~ Une paramétrisation de C est

7 : I

=

{O, 21!"1 ^-+ C

e

^t-. _{1 (8)}

=

(~s8,rsin.B) .

--·

--- ----~·---·-

-·--

\

. ---

-

--^·-

'if-··-

>

V\

. .J

b 5

- - - + - - - ~

'L

1.3

- 1;~}05

1}-'ÎG

_{1 ])}

_{2iD ~} ^~ _{s .,.,,} ^~/f/. _71"

1

- /

Surfaces . ),

^__

r---

Sait S C R³ une

surf

ace.

*

S est ~ne surfa.ce Tégv.lière sril existe un domaine D C R.² tel que BD soit une courbe simple ré.gulière (par m.orr.eaux) et une paro:métrisation a

de das

ci

^{cr :} D -;. Rs

se · (u, v) 1-l- (o-, (u, vL o-2 (u, u), a-3 (u, 1.1))

=

^{cr (u, v) telle.}

quea-(i5)=S et Ua-.,/\cr.,![:foOV'(u:v)ED. ^A

i. Le tredeur-n ~ n(u, v)

= b~:~:u

^{e.'lt la.} normale unité à la surface S a.u point (u, v).

-ii.

f

^{8S =u (ôDil}

" ..,

^-

P.S. Le vecteur normale unité et Te bord ôS sont indépenda.nts de la · paramétrisation choisie.

--Jr: Si S

= _u ...

^Si avec Si reyùli~:re, on diro que S e.st rég'U.lière par morœa.11.X.

• ... i.=-1 - .

*

^{S -est une surface.} régulière orientable si n

=

^{n ( u, 11) le champ} de vecteurs ncmna.le unité est continu. •

· *

^{S etit orientée} positivement par n ( ou par la paramétrisation u ·rorrespon- dante à n) si loTsqt/Mt obseruateu?iléplace sur ôS avec JJa tête dirigée

oom

le sens de la normale n, laisse la surface à sa ga:uch,e. ( "'7"~

j ~

Exemples 3

Cc,_ dei:11-~ 3

1. Graphe d'une fonction : Soit D C 1R² un domaine tel qu.e BD e.st une caurl,e simple fermée régulière et j E C¹ (D) , alors

S={(x,y,f(x,u))/(x,y)

EA}

est u.t1esurface; régulière et orientable.

-ir.

BS={(x,y,f(x,y))/(.x,y) EâA} et son sens àe parcours est le sens positif 1JSUe1..

*

_V%

,,..

^Arr _{vi,- -}^{- (} _- ^f "-1-Jlf> ^{+ l)·}T ^{·n -}-

F+r~+x·

^{{-f,.,-J,.,.I)}

2. Sphère:

·s

= {

(x, y, z) E R^{3 /} x²

+ y2 + z2 =

R^2} R > 0

· est une surf ace. régul.ière par morr.ea-ux et orientable.

*

Une paramétrisation de S:

o-(8,ip)

=

(Rcos0sincp,Rsîn8sin<p,Rcos·<p)

o

<

e

< 21r et

o

< cp < -ir.

*

^u-eAu.,,

⁼

^-R2sinr,o(cos0sinrp;sin0sin<p,cosrp} , n= U,,._{- as•-~u} ⁶~""n esi nor- male unité, intérieure au volv.m.e {(x,!J, z) E R^{3 /}

x2

+

'Jl + i1 <

l}.

*

^8S=0.

3. Demi,..Splœre :

.

.

S -{(x!y,z)

E JR.3/ t'

+y2

+

z²

=

^R2 et z. ~

O}

est -une n;rface régulière par morceaux et orientable.

*

Une pammétrisation de S.

cr(81<p)

=

{Rcos8sinlp,Rsin0sin.<p,Rcosrp) 0 < 6

<

21r

et

O < r.p

< f .

.,~ lT s A tr.,,

= -!?.2

sin 'P ( cos

e

^{sin rp. s:in.}

e

^{sin ip,} cos ~)

* ^as=

^{{(x, y, z) E R.3 /}

^{x2 +}

^y2

⁼

^{R2 et z}

⁼

^O}. Le sens de parcours de ôS induit par a est le sens négatif.

"'Î' "'h-

, ~.., <e

4. Cylindre :

S\1 ^~

-> l

S={(x·,11,z)ER³/x² +y² =let0:ÇzSl}

_,~,i -

.. .1- L ----

est m.e surface. régulière par morceat!X, orientable.

} ·

7

--k Une paramétrisation de S.

cr(0,z}

=

(cos0,sin0,z) 0 < {}

<

21r et O < z

<

1.

*

^n=a61\arp

⁼

^{(cos0,sin01O).}

*

ôS={(x,y,z) ER.³/ x'l. +y2

=

1 e.t z

=

^O}U{(x,y1 3') E

R.'!,p·x2

+y'l. =let z

=

1}

=C1UC:2

Le sens du parcours de ôS induit par ce:tte pammé:t:risation est positif sur Ci e.t néga.tif sur G,..

· 5. Cône:

est tme surface régulière pa.r morceaw; orientable.

*

^Une paramétrisation de S.

cr(B,z)

=

^{(zcosB, zsinO,z)}

0<6<21r et O<z<l.

* ^as

={(xsy,z) / x⁷

+

^y2

=

^{1 et z}

=

^I}

Le sens clu po:reaurs de âS induit par(;", est le sens négatif.

--\-- A.1 ~

--- --

^{·----'. ~}

Chapitre I

Champs vectoriels et opérateurs

^A

I.l Gradient-Divergence-Rotationnel-Laplacien

Définition Ll.1 SoitE

=

^Rn (n=2 ou3). Si D est une région de E, alor~uncha.mpsvectoriel sur D est une fonction. F qui associe à chaque X dans .D un vecteur n-dimensionnel.

- Ifn

=

²

- Ifn =

3

cExemple'Ll.2.

position..

F : D

--l- Rn . X --l- F(X)

F{X}

= P(x,y)i + Q(x,y)J = ( ~~:::~ ).

· - (_ P(x,y,z))

F(X)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z);+R(x,y,z)k=

_

Q(x,y,z)

.

R(x, Y, z)

1. Le champs vectoriel r(xry,z)

=xi+ y]+

^{zk esr le} champsv,'!:ctoriel

2. Le champs vectoriel ';;/x, y, z)

= :'i ^{+ ~j+} :k

est le champs vectoriel vitesse,.

Définition I.1.3 - Si f(x, y, z) est wz.eforiction scalaire {cà.d l'ensemble d'arrivée est IR}, alors le gradient. de. f est un champs vectoriel défini par

BJ~ BJ~ ôf~ BJ BJ 8f

uradf

8 ⁱ

+

8 ^J

+

^r, k -(

8 , ~-, 8 )

X y

oz .

X Llfd

z

Le gradier.t d'un champ scalaire est une fonctùm vectorielle indépendante de la base orthorwnnée de l"espace dans lequel il est exprimé, le gradient est donc un champ vectoriel.

- La divergence de F

=

^PÎ

+ QÎ + Rk

est le champ scalaire :

. 8P ôQ 8R

divF

= - +-;::- +-·-

Bx oy By - Le rotationnel de. F

=

^Pi

+ Q] + Rk

est le , hamp vectoriel :

- aR aQ -: aR aP ~ BQ aP ^A rotF

=

V

x

F

= ( - -

- ) t - ( - - - ) J

+ ( - -

-)k.

8y Bz Bx 8z ôx . ôy - La divergenc.e du gradient d'une fonction scalaire f est appelé La.placier,_

.6/ ·

⁸² J(x, y, z)

ô2

J(x, y, z) -+

iJ2

f(x, y, z) • 8x²

+ . oy

^{2 • 8z2}

I.2 Opérateur v (nabla)

L'opérateur "'v est défini par

aA a·~ aA

^&₆

( a ) V = - i + - j + - k =

a

. ôx i)y

az

^â'

&

Il est souvent commode d'écrire gradf,

~!,

divF e:t rotf en fonction de\/ ..

. ( fJf )

.gra.df:--Vf= .

f

- ~

8z

Pour:

F = ^Pi+ QJ + Rk

divF=

v.F - ( ; ) ( pQ)

_{, •}

⁼

^BP _{B:i: •} ^--1--ôQ _ày

⁺

^BR_{oz •} ^_

.,,.... R

a;;

'L J

k

ratF -

'\lxF= _ô:z: ^a ₈₁₁ ^a _& ^a

p

Q ^R

• A

_ (é!._R . ôQ)i

+

(BR _ ôP)J"'

+

(8Q _ ôP)k.

01! az a:i: &z &:r: &y

Dans R^2• F(x:y)

=

^P(x,y)i

⁺

^Q(x,y)].

d . F ^'t"7 F ^{BP ôQ}

1.V =V. · = 8:i::+ ôy rotF

= (

⁸_ax ^{Q -} aP _8y )k.

Exemple I.2.1 .. Soit F

= 2xyi + ZJ +

x

2 _{cos(yz) k .}

Détenniner divF et rotF.

I.3 champs vectoriels dérivant d'un potentiel

Définition L3.1 Un champ vectoriel Fest dit conservateur ou irtatotionnel si

rotF =

^O.

• Proposition I.3.2 - Pour F champ vectoriel, on a '\l .('v x F)

=

0, ( div(rotF)

=

⁰⁾

- Pour f champ scalaire. on a "iJ

x

(~!)

=

0, ( rot(gradf)

=

0 ). Autrement dit les gradients sont conservateurs.

Corollaire I.3.3 Si un champ veétoriel F dérive d'un potentiel càd F

=

v'

f,

alors V x F

=

0, -i.e F est conservateur:

Corollaire I.3.4 - Pour qu'rm champ vectoriel F dérive d'un potentiel, il doit être conse'r- .. vateur; i.e il doit vérifier \J

x

F

=

O. ·

- Si V

x

F

=f

O. alors F ne dérive pas d'un potentiel.

T'noo:rème J..3.5 Soit F

= Pi+ QJ + Rk .cm

champ vectoriel tel que les coordonnées P, Q el R ad.mettent des déri_vées partielles prerrJères qui soient continue~ sur D un domaine simplement connexe.

Si V

x

F

=

0, alors il existe un champ scalaire/tel que 'v f ~ F.

Autrement dit

F

=

Pi+

QJ + Ri

dérive d'un potentiel ssi ~

= !~ , ~: = i~ ,

~~

= ~.

Dans le cas de

R.2,

F

=

Pi+

QI

dé.rive d'un potentiel ssi ~~

= ~.

EKcempJe.::I..1..6. Etuilier da:n.s les cas suivanis si le champ vectoriel F dérive d'un potentiel f et si oui dé:,innin.er f

1 F _·

= (Z:Ji,c}i

_{t li}

+

^{cv2-r3 )~} _{'::2yi J •}

2. F

=

2xyi

+ ZJ +

x

2

_cos(yz)k

3. F

=

(3x2yz

+ z2)i +

(r' z

+

2y)]

+

(x3y

+

2xy

+

l)k.

Chapitre TI·

Intégrales curvilignes

_A

Il.1 Intégrale curviligne d'une fonction scalaire

Définition: J;I.1.1 Soit "'t: J

= [a., b}

--+ R.³ une courbe paramétrée de classe

C1,

et soit f :

,[a, b}

--+

R

une fonction continue. Alors l 'intég.ale curviligne de la fonction f le long de la courbe -y est définie par

Autrement dit,

• Si (C) est une courbe paramétrée définie par:

.

(C) :

x ^e;= x(t)i y · .

y(t),

z

= z(t)

et o:

< t

S f]. Alors,

l 1 ~

^{dx dy . dz}

.

f(x,y,z)ds= f(x(tLy(t),z(t)) (-d

)2+(-d

)2+(-d )2dt

C • a: _

t t t

où a et {J sont respectivement le point de départ et le point d'ani~ée.

c Si C est défmie par : ·

y= y(x}, z

= z(:r;J

^XA

<

^X

<

^XB. Alors:

Des expressions dmilaires existenx si y ou z est u.n tel paramètre.

Preuve:

- ^{✓i +}

^(~)2

⁺

^(:)2dx

Sur 1R^2• ds

=

✓(dx)2

+

^(dy)2•

e Si C

=

^C1 U Ci U ... U Cn une courbe régulière par parties telles que les Ci ont la même orientati:o~ alors :

f

f(x,y1

z)ds= {·f(x,y,z)ds+1 f(x

,

y

₁z)ds+ ...

+ f

f(x,y,z)ds.

k k_ ~ k

Remarque II.1.2 L'intégrale curviligne est in.dépendante de la paramétrisation de la courbe, elle dépend seulement de la direction de la courbe sur laquelle on intègre.

Exemples II..1.3

J.

Evaluer l'i.ntégrale curviligne de f(x, y, z)

=

^8x

+

6xy

+

30z de A(O, 0, 0) à B(l, 1, 1) au l.ong de la courbe C avec la parCif1tétrisatiçm:

C: x =

t.

^{y =}

t?-.

z

= t3.

⁰

s; t

S 1. .

2. Evaluer l'intégrale curviligne de f(x, y, z)

=

xy de (1, 0, 0) ^à (0~ 1, 0) où C est la courbe o:vec la paramétrisation _:

C: x

=

1 -

y.

^z

= o.

3. Evaluer l'imégrale curviligne de f (x, y) _:_ x²

+

y² autour du. cercle x²

+

^y2

=

^4,

z

=

⁰ une seule fois dans le sens contraire.

Applications : C un~ courbe

- J c

ds est la longueur de la courbe C.

- Si C est contenu dans le plan xy et /(x,

y) 2:

0 sur C, représentant la hauteur d'un champ D le long de C . Alors,

L

^{f(x, y)ds}

⁼

^Aire(D)

Notation : Si C est une courbe fermée, alors :

LJ(x,y,z)ds= [1cx ,y,z)ds

IL2 Intégrale curviligne d'une fonction vectorielle

Définition IL.2.1 Soit F

=

P(x, y, z)i

+

^{Q(x, y,} z )]

+

^{R(x, y,} z)k et C une courbe dans l'espace

l

^Fdr=

l

^F.Tds

⁼ fccF.:)ds

r est !è. cham:p 11ectoriel position..

T = t

^{est le} vecteur unitaire tangent poin.tanr dans la direction de C

FT

^€:.St donc 'fa.composante tangentielle de F(x, y, z) sel,on C.

{ Fdr

= {

Pdz

+

Qdy

+

R.dz

le le -

Proposition IL2.2

f-e

Fdr

= - J

c F.dr

Définition II.2.3 Le travail W d'une force F le long d'T.llU! courbe C est donné par

W= 1 _c ^F.Tds= _le ^{r Fdr}

ExempJes•fi.2..4 1. Evaluer

J

^{c !.dx}

+ (x2 +?? +

z2)dz où C est l'intersection du premier·

. y

octant du. cylindœ r2

+

y²

=

1 et z

=

2x

+

4 reliant (I, 0, 6) à (0, I14).

2. Evaluer l'intégrale curviligne

f

x²ydx

+

^{(x-y )dy} une fois dCJ,nS le .sens positif autour de la cou:ibe délimitant le domaine décrit par x

=

1 - y2, y

=

x

+

1.

Il.3 Indépendance du chemin

Défüdtion TI.3.1 L'intégrale

J

F.dr est dite indépendante du chemin dans un domaine D si pour toute courbe C de D,

f

_O ^F.dr est indépendante du chemin entré les les extrémités de C.

Théorème ll.3.2 Soit F • Pi+Q]

+ Rk

telle que les coordonnées P. Q et R so f.ent continues sur un domaine D •

. J

^F'.clr est indépendante du chemin dans D si et seulement si Fest un gradient dans D.

(F

=

V<PJ.

auqw::l cas porrr une courbe régulière C crit.an.t du point A au poirr.t B, ou a :

Coronaire Il.3.3

J

F.dr est indépew:lante du chemin dans D si et seule.rnent si

f

^{c F.dr}

=

⁰

pour taure courbe C fennie de D.

Théorème Il.3.4 .

- Si

f

F.dï est inàépendante du chemin dans D al.ors \1

x

F

=

0 dans D.

- Si 'v x F

=

0 dans D et D est si.mplernent connexe alors

J

^F.dr est indépendànte du chemin dans D.

Exemples Il.35 1. Evaluer I

= J cC'

^{3; ~ ~} )dx

+ (~~

)dy

+

^2z2dz où C est la courbe définie par y=

t',

z

=

x - 1, de (1, 1, 0) à (2,411). ·

2. Soit F(x?y}

= Ci:~ ,

^:r2~y2)

a) Calculer V x F.

· b) Evaluer fez F.dr une seule fois dans le sens opposé des aiguilles d'W7.e montre

autour du cercle (x ~ 2)²

+

^y2

=

1, z

=

^O.

c) Evaluer fc

1 F.dr une seule fois dans le sens opposé des aiguilles d'une montre autou! du cercle

x2 +

y²

=

1 , z

=

O.

· . 4 Théo:rème de Green

Théorème II.4.1 Soit R wze région du plan. xy délimitée par une courbe fermée C de classe

C¹ par morceaux n

•o:yanr

pas d'intersection civec elle même, orientée dans le sens ditect.

Si Pet Q ont des dé.rivées partielles premières continues dans un domaine D contenant C et R. Alors:

t

^{c Pdx}

⁺

^Qdy

⁼ 11

^Rax

^{( - -}

^{BQ 8P -)dA 8y}

Notation : C

=

âRfrontière de R.

Application

Aire(R)

= 1

^xdy

= '6

^-ydx

⁼ ~ i

xdy - ydx.

h )~ .

^{2 c}

Exemples.II.4.2 _

I. Utiliser l.e théorème de Green pour évaluer:

a) fcy²

dx+

x²

ay

où C est la courbeferm.ée dal'.s lafigurè ci-dessous

2. Montrer

que

le théorème de Green ne peut s'appliquer pour évaluer:

J

^-ydx+xdy

Je

^:z;2

^+yz

une seule fois autour du ~ercle

:i? +

y2

=

1 da,:..s le sens des aiguilles d'u:n.:e mt:!t!tte.

.

.

C4apitre Ill

Intégrales de surfaces

. ill.1 Intégrale de surface d'une fonction scalaire

Définition ill.1.1 Soit f(x,y,z) une fonction à val.eurs dans

R

continue sur Sune surface par11;mLtrée par sa représentati.on paramétrique cr(u, v) , (u, v) E D. On définit l'intégra.le

de surf ace de f sur S . on note : ·

j fs f(x,yrz)dS = J l

f('.'"(u,v))l!<Tu /\ a-,,!ldudv.

Définition Ill.1.2 (cas particulier)

Soit f(x,y.z) une fonction à valeurs dans R, continue sur S une surface finie de classe C¹

· définie par (S : z

=

^g(x, y}J, telle que S se projette point par point sur une région .Scy du

plan xy. On. définit l'intégrale de su:rface 4e f sur S par :

On sait que dS

= J.1 ^{+ (~J}

²

^{+ (~)}

^{2 dA.}

Remarques

~. Si S est projetée point pa:r point sur Sxz dans le plan xz, alors :

j fst(x,y,z)dS= J h~,, f(x,g(x,z),z)

• Si S est projetée point par point sur Slf% dans le plan yz, alors :

• Si

S ==

S1 U

fh ...

U

Sn.

telle que les

Si

i,ont de classe C, pour i

=

1, 2 ... , n L'intégrale de surface de f est :

J

r{ f(x,y,z)dS=f"f J(x:!hz)dS+ ...

+J1

f(x,y,z)dS.

h )~ ^~

^A

..

Aire(S) = J 1 ^dS.

• Si une surfa.ce S ne se projette pas point par point dans le plan

xy,

on peut la diviser en parties telle que chaque partie se projette point par point sur le plan

xy.

· {. x

=

Rcos0sinr:p

• Si"une surface est décrite par les coordonées sphériques. y

=

Rsin0sirnp

• z

=

Rcoscp

alors : dS

=

^R2 sin <p dlpd8 et On n'a pas besoin de projeter sur le plan xy.

• Quand S enferme un volume, elle est appellée surface fermée (une sphère par exemple).

On note:

1. Evaluer

lJr:-(

x

+y+

z )dS, où :B est cette part_ du plan x

+

2y

+

^4z

=

^{8 qui est dans}

fr premier octant. •

2. Evaluer

1[

₅ :rdS, où S est la sphère

x2 +

^y2

+

z²

=

^4.

3. En. utilisant les c.oordonées sphériq~es, évaluer

Ifs

z2dS.

ill.2 Intégrale de surface d'une fonction vectorielle

Une surface de R.³ est dite orientable s'il existe un champ vectoriel continu

N

d2ns R³ tel que

N

est non nul et normal à S en chaque point

Les sphères, les cyiindres, les paraboloïdes, les ellipsoïdes, les plans ... sont des surfaces orientables.

Dans: ce chapitre. on considérera seulement des surfaces orientables.

Définition ill.2.1 Soir F(x, y, z) un champ de vecteurs sur une suiface orientable S, alors

l'inrégrale de srujèu:e de F sur S est •

où

n

est le vecteur unitaire ascendant normal à S.

Cas particulier

Soit

F(x,

y;~) un champ de vecteurs sur une surface orientable S, paramétrée pat sa. repré- sentation paran1étrique

u( u, v)

^{t (} u,

v)

E D, alors l'intégrale de surface de F

sur

S ·est

J L

^{F.n dS}

^~ ! L

(F(a-(u, v)}. CTu /\

crv]dudv

~ ~ ' ê t ' &-

Remarques

• Dans les applications de la physique, l'intégrale de surface

Ifs

F.ii dS dénote souvent le flux de F à travers. fa surface S. Par exemple, si

F

représente le champ vitesse d'un fluide, le flux est la quantité nette du fluide qui coule sur la surface S par unité ~e temps.

a Si S: f(xly,z}

=

O. alors fi= u~}ll est ~e vecteur unitaire ascendant normal àS.

o Si les surfaces: S

=

^S1

u•s

2 ••• USn sonttelles que les Si soient orientables Vi

=

1, 2 ... ,

n

.

~lors, l'intégrale de surface sur S

esr. ^1{

81 F.f!; dS

+ ... +

ffs,. F.n dS.

IE.:ie~es\<Dl~~

1. Eval.uer Ifs

F.ii

dS où

F =

x²

y i +

xz 3 et

n

est le vecteur unitaire supériear normal à la surface S : z

=

4 - x^{2 -} y², z

2:

O.

ill.3 Théorème de la Divergence

Théorème ill.3.1 Soit S urie suifa.ce fermée, de çlasse C¹ par morceaux dans R:³ qui dé- limite un solide V. Et soit F

=

Pi

+ Q; + Rk

définie sur wi sou.s•ensemble D dè

R

³ qui contient S tel que

P.

Q. R possèdent des dérivées premières continues dans D. Alors

#

₈^F.ndS

⁼ j/[

V.F<IV.

J-L

^{A • •}

1 . ^{r r}

^{aP aQ aR ·}

JT

^/P~

+

Qj

+

^{Rk).n dS}

= j

J}ax

+

ôy

+ a)

^{dV . .}

n

est le vecteur unitaire positif normal. à S.

· Exemplés]Ili-3~· J. Utiliser le théorème de la divergence pour évaluer l'intégrale de surface de la composante normale de F

=

x²

i + yz; ⁺

xk sur la surface S entourant

. .

le volume V délimité pa:r les surfaces :x

+y+

z

=

^{1, x}

=

0,

y =

^{0 et z}

=

O.

2. Utiliser ·le théorème de la divergence pour évaluer

Jfs

F.iids où F

=

^xi

+ y] +

zk, S la suiface entourant le volume V délimité par les swf ac.!'.s :

x²

+ y2 =

4, z

=

^{0, z}

=

^2.

Ill.4 Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes est une généralisation àu théorème de Riemann sut n'importe quelle surface orientahle dans l'espace (pas seulement dans le plan).

Théorème Ill.4.1 Soit Sune surface de classe C¹ par morceaux, orientable darrs

·a

^{3; dont}

lafrontière est une courbe Cfermée simple de classe C¹ pat morceaux; et soit F(z:₁ y, i)

=

P(x, y, z)

i +

Q(x, y, z)

J +

^R(x, y, z)

k

^un. champ vectoriel tel que P, Q et R p-ossêd-ènt des dérivée partielles premières continu.es dans un. domaine contenant Set C. AJors

t

^F.dr

^{= f J}

^{s (v x F).ndS.}

1

^{Pdx.+ Qdy}

⁺

^R.dz

^{= ·} JJ ^{((- -}

^BR - ) i - ( - - - ) j ^{BQ ~ BR 8P ~}

+ ( - -

^BQ -)k].ndS. ^{8P - _}

C s ~ fu

fu

&

fu

~

fi étant le vecteur unitaire positif normal. à S (i.e si vous marchez le long de'C avec la tête pointant dans la direction de

n,

^la suiface S devrait être sur votre gauche).

i

^2xy3dx

⁺

^3x~y2dy

⁺

^(2z

⁺

^{x)dz .}

ou

^C est constitué de segmentsjoignan.tA(2,0,0)

a

^B(0,1,0) â D(0,0,l)tiA..

2) Vérifier le théorème de Stokespour F(x, y₁ z)

=

(x2 , x , xyz) et S esr cette p-a:rt

ae

^la

sphère x²

+ y2 + z2 =

⁴ qui est au dessus du plan z

=

^l.

"

1.1 ~ombres complexes 1.~. ·_ Ecriture âlgébrique

Là furme algébrique d'un nombre complexe est

.,. ,

1 '

.

· avec

a

E

R

^est la partie réelle de

z

notée ne(z)

et

b E R

e.st

la. partie

. µn.ag:ina.ire

de.

z notée I m(z). · -

L'ensêmhle des nombres complexes est désigné par C.

E~emple L1:. donner l'é.éritu.re algébrique de : ·

z =

{l

- +

²ⁱ⁾

+ i

(1

+

2i)

Définition 1.1

Soit

z=a+ib

la. forme algébrique d'un m:rmbre romplexê..

Le

conjugué de z est le complexe

Proposition: 1.1

.On

a :

1. z+z

⁷

=z+z''.

2. ^Z.;!1

=z2}

z=

^z~

z=a..:..w.

2

CHAPITRE

1.

AN.ALYSE

COlv.fPLE)Π. .

Définition L2 Soit z

=

^a

+

^{ïb la forme} a/.gébri.qÜ,e d'un nombre c~pleœ..

Le modu¼

de z est le réel positif

{z[ = Ja

²

+

b2.

Proposition L.2 On a : 1.

lz + ~I < lzi + fz'I ,

2.

lzz'! = lzf lz'[}

3. !z{ "":'."

tzlr

,t.

^z =fi??

[zl = o.

_-

.

1~3 Ecrif~~e trigonom~trique·

Théorème

et

d~ti~n 1-:.1

Tout

nombre

romplexe ~

^m.d_

z = a +

ib -s'écrit ^SQ'U.S la. forme : - - .

z =r(cosa+.isina:)

-où r · ✓a.² +b²

>

0

est

le rr;ôdule de z et a: E (0, 2w[ e..st [¹o:rgument de z

rwté

arg(z). ·

. .

Remarque 1~1. Les comp~z-= r(cosct+isina)_et;é

=r'(ëœct+isina')

( c:v_ec r · et r' ~ positifs). Alors -

- _

z=z! ~

^{{ :}

^:+2k-r

^aveckÈ·z

. l!":xempie L~ I)onner les formes t r i g ~ cf.es nombres complexes suivants : _ · · ·

-Z1 .= l; ^Z2

=

i; Z3

=

1

+

^{i; . Z4}

=

^{l - i}

]lem.arques 1~1 1. Si r

<

0, alors la fcmne

~ r(cosa+isin.a:)

n~est pas· la. forme. trig<Jnométrique de z. Sa forme trigonométrique est

z = -r( cos (

^Q::,

+

7r)

+ isin(

a

+ ^{7f)). ·}

On voit donc que le module de z est-r et qu.è son argumen.t est l'angle.

.

.

.

--.

1-4. ÉQUA:TTOHS DJ>. .. 1\/-S

C -

(a) ,(sm ^a+

ⁱ

^{eo!'; ec)} =

^{t· (}

oos(I - tï:} + i

sin

f -· i:t).

(b)

r(c-.osa - isin·a) =

r(cos(-a) +isin(-et)). . (c}

r(-cos a+

i siJ.10:) :.... r(cos(r. -

a:}+

isin(1r-

cr)).

{d}

,~(-cœa -

isina)

= r(cos(rr +et}+ isin(rr + o:)}.

3

Proposition 1.3 Soient z et

z'

deux nomlrres complexes tels que arg(.z)

=

^a

e;t

arg(z') =

cl .

Alor.s Fargurnent

de zz'- est rangle

de [0,2,r[

égal à a+ a' {mod

27r).

Notation L1

Si

z

=

r(_cosa:

+

isin.a::) : nous écrivons . _z=

[r,a}

et

cosa+isina: =eia..

A partir

de."ëës écri~,

ni?us obtenons.les

formules

trigono~étriques

suivantes:

l. cos(

ci+ fJ) =

cos a:

cos fJ _-_

sin a sin

fJ.

2~ sin(a

+:P) =

sina:cosP +cosasiri.JJ ..

1.4 · · Équations dans <C

1.5. Racines n-ième d'un nombre complexe

Soient

n· E

N, c = fr, aJ

ûn nombre complexe

non

nul

On se

propose

de

déterminer les n~res comp~ex:es

z tels

que

. Zn=C (1.1)

Définition 1.3 Les solu.tiorr.s de (1.1) sont appelé,s rocines n-ième de c . Posons z

= lP,Bl. Le

complex~ z est solution de (LI) si

pn.

=

r et nB

=

a( mod 21r).

Nous obtëuons :finalement les n solutions de (1.1) :

.

[

r a 2hr . ]

Zk;= r-;:-,-+-, k=O,l, ... ,n-1.

n

n. .

Ex.e.rn.ples 1.1. Déterrn:iner les racines carrées dei.

•

4 . CHA.PITRE 1. AlV..4.L-Y"SE COlvfPLEXE

t.5.1 Nombres complexes de module 1

On

notera

par

U

l'en,semble des nombres compl~es de mqdule 1, qui_

s'identifie

géœ:n.étriquement

avec le ~cle uni:¼ centré en O -. I~ nombres

complexes: 1

et

i appartiennent bien. entendu

â.

U. Une remarque évidente .mais SOU"èent utile est l'équivalence

. - 1 -

lzl =

1 {:} -

=z

- ·z . Description ·a.nalyticj_ue de U :

U

= {

^z

=

^{ei/J j _} 0 E

RJ-

On a

évidemment :

ei!I

=

^cos0

+

^{i sin.0 -}

.

pour tout 8 ER

1.5.2 -~ines n-ièmes de l'u.nitê- Pour

tout n

EN , l'équation

· zn=l

,

.

admet ~ n solnti~ : _{. .}

A

~ 2il= 2-(n-J},,- .

.zo =

1, z₁

=

e • , •.•• z1.

=

^{e ~ , ••• , .z;..,_1}

=

^{e ..}

appel• 1:acines n-ièmes de l'unité,. (lUi

vérifient

en. outre : - ):, :::.

L,J\. P J

Z-0

+

^Z1

+ -~. +

^Zk

+ · · ·

¹

+Z...-1 =

^Ü

Exemples

1.2 _ L

Les

racines ~~s de l'unité sont : -

©

^M ~ 2....

2.

Les rncines

quatrièmes de l'unité sant :

3. Les ~nes cuhiqaes de l 'u.nité soni :

. 2b,: •• ·2

· Zo .--:-1, z1

=

^{e s}

=

J, z2

=

^J

on note

• 2i!: l .

../3

J =e:.

= - - + t -

2 - 2

' 3,r"

0 J. -

\;.., '6.·

..

l.ô. RÉSOLul10N DES éQT.;_4J."lONS D..A....1.'-lS C

l .-.

.. o F...ésolution des éauations d&.""ï..S (:

.

...

Résoudre dans C, Péq_uatiou

.z² - (1 - 2i)z - lli - 3

=

O.

1 .. 7 Forictlons z

^f---+

ez; sin z; cosz

1. La fonction z ~ e"'.

On définit

.c,o :n . ,, . ~

. "'\:'"' z

z- -

ez·= 0,=~+z+-1 + ... +.1+•--

p=0 n. 2. n.

·. On.a:

e: =

_n-+o:> lim

(1 ⁺

_·

-=-)~--

_n

De façon évidente on a e..⁰

=

1) et pour tou.t z E C,

D'aü.tre

part,

on a comme dans R la propriété.fondamentale

Et, donc,

· d'où.

!e"'! -·eae".

5

Cette formule montre en partieulier que la fonction exponentielle ne s'annule pas ~-C comme c'est le cas pour R.

2. Les fonctions z ~ sin z; cos z Pour tout z E C on pose :

z3 zs P z2.P-{-1.

sinz=z--31

_.

+-51

_. + ...

+{-!)

_.

(2-

_{.u+ .}

1)1

+ ....

et · z² z⁴ · z'lp

COS - -^{7 -} 1 - -2. î

+ - +

4. 1 . . . ' ^-l-(-l)P - -(" )l ' ... zp. .L

6 CHAPITRE I. Al\lALl"SE COMPLEXE

1.8 La fonction z

^i---+

log z

Soit (OX} la demi droite d'équation

{ .y=O }

x>O

Pour

tout z = ^f-?=leiD

^E <C-(0~), ~vec

é

^E [0,2;r[

O!J:

pœe:

Logz

= In

(z{

+

i0

A

1.9 Fonctions holorno~hes

Turl::rod:uisons

la ptemiète notion fun.dam.enta.mentale c o ~ les fonc- -tions de variable complexe.

Définition 1.-4

Une

fonction

J:.

U-+ C

est dite holomorphe.

sur

^il si, en--clw,que. point ^Zo de Ü, _le. taux c!'OCC!'Oissement_

.

.

. f(z)..:.. f(Zo) ·

. Z-Zo

admet une limite finie lorsque ~ tenrI vern ZQ. Dans ce c.as,. on-note f'(Zo)

cette

limite_

&e:«1-ples!.{f..~- L Le.s

foncr..ons

polynomiales· sont holomorphe.s ST.Lr C.

. . ~ dérivées se calculent comme les f~ions polynomiales

de

variable.

réelle: ·

. N N .

f(z)

=

~ ^a:nzn ~

f'(z) = . L

^'JW.nZn-l

n=O n=O

pour· tout z E C.

2_ La Joncti.on ·exponent.iellt;, qui est une fonction fwlomorphe. su:r C~ et set éga.lf, à sa.propre dé:rr11ée :: ·

f(z)

=

^{e.r _;} J1(z}

=

^{é'', ·} Vz E C.

$_ Les fonctûm.s z 1--l- sin z et z 1--+ cos z sont holom.orphes sur C et on ·· ·

=--

1.9. FONCTIONS_HOLOMORPHES

7

Proposition 1..4 Si f et 5 sont deux fonr.lior;...~ iwlo-ino-rphes .r;ur

n

aior-$, - la foucliœ+ f

+

^g .est holomorphe sur f?.1 de dér-i;.---ée j'

+

g';

- quel que soient ). E C₁ la fonction Àf èst holcmo:r:phe sur

û,

de dérivée

J.f; -

-

- la. fonction

f

g est

aussi-

holomorphe sur

n:

^{de dênvée}

^f'

^g

^{+ f}

^{g' ;}

- si de plus g ne s'annulè pas

sur n, ^a.lors

la fonction -;

est

holomorphe sur

n

de dérivée

f'g -

fg'

g2" •

-si

ff,_ft) c U

eth est holmn.orpl:ie sur

U

aiors.h

of est

holomorphe sur

fl~

de dérivée (h! ^o

f) J'. . -

. - ~ 1 ~ ' 3 ''

Dne Jonction rationnelle

est

holomorphe

sur

tout domaine

où son ~ -ne

~

-

'e:B.-n.~ _pq.s.

~

~ premières o~tions po~ent laisser croire que

tout

marche comme avec les fonctious-de

vàriable-réëlle.

Mais, cependant, certaines fonctions d'al- lure très

"'raisonnable"

ne sont pas holomorphes, par exempl~,

·

et

plus génêmleinent

toute

fonction à valeurs

:rêelles

(non constante)

n'est

pas holomcn:phe

!

~ déci:,_ule de la.. caràclérisation suivante.

Proposition. L5 {Cond:iti.ons de Gaudty-Riemo.nn}

Soitfunefonction

·dez'=x+iy-Efl.

Pourt~"(x~1J)

tel que.z=x+jyE i"i, on note · .

P(i,y) =Ref(x+iy) et Q(:z:,y}=fmf(x+iy).

.

.

^.

Alaïs- f est holomorphe sur

n ^si

^· et seulement · P et Q sont différentia.hl es

• comme fcrnctions de de1.1.x ua:riables réelles, et vé:ri.fient de plus les rel.ations sui-va.nies% dites équ.at:ions de Go.u.ch:y-Ri.e-m.ann:

{

8P_?!.Q

/:}:i; - éh, . "'P •·n

ai, =-i;

Dans ce

œs.

on a.

1 _ · âP

JJQ

BQ .8P

f (x+i;y) = - + i -

= -· - - i -

é}__x ax ôy 8y

8 CHAPITRE 1_ ANALYSE COMPLEXE Définition l._5

0r,:

^{dit cru 1}tlne fonction reélt c: T.! ( x 1 y) de de:u::r, ·•,1ari.ables réf>.llP.s et à val.eur réelle est harmonique si elle vérifie : -

ô..u=O

où.

est l'opérateur laplàèien}.

Corollaire 1. {Relation entre fonctions hokrmorphes et ho:rmoniqu.es) Si f

=

P

+

iQ est h.olomorp~ alors les fondions de deux V[!,riahles Téellçs

· _et _. à valeurs

Téefles,.

P

et

Q sont-hà.rmoni.qu.e.s1 c ¹ est-à.-dire 'telles ··que

. .

~P=6.Q=0

· On

dit g~ deux fonctions P

et

Q. ~ valeurs réelles sont hannoTliques -conjuguées ~i la fun,ction

_ - J:

z_=_x

+i'!' ,._

P(~;,y)

+

iÇJ(x, y) œt-hôiomorphe.·

.1.9.1 - Séries de Laurent -

Rappelons que

pour

tout nombre complexe tel que !z!

<

1, on a :

. =

-

- -

1

. =

¹

+ z +

^z--.2

+ ...

^-

+ z

ⁿ

+ ...

^{_ ·}

=

^{~ -}₀

z .

^n.

1-z .

'

. ·~

Considérons la couro:q.n.e de centre O et de rayons~ et 2, l'en.,,embie:

• C0 (1,2) :_

{z

E_C

!

1

< fzl <

2}.

et la fonction complexe.

- 1 ·l .

f ( z ) = - + - -

- 1-z 2-z

' .

1.9. FONCTIONS HOLO.r.-10RPEŒS

9

__!._ =-! _ _ _

^1_

= _! (1+ ~- ^{+ ~ + ... + 2.. + .. ·.)}

1 - z_ z 1 -1 .z .i z^{2 •} zn

=

1 . 1 .

1

-1 -2 -11

= -; -

^{z2 - ••• - zn - ...}

= -z - z - ... - z - ...

-1

= ... -

z-rt - ... -

z-2 -

~-1

= - L?

-00

et co~fzf

<

2,on a. f;!

<

1, et2

doru;

Par suite> sur 1a couronne

2>

!zl >

1.

ona:

. . . . . . . 1

Zn. - l Zr..

f(z)= L

2

~+

I::2n-fl

= Lz"+ L-~+1

n>l n>O -co . n>O .

,•

- ^-

^.

^-

ou dira que f est dévcloppable en série de Laurent dans la. couronne

G_

0 (1, 2).

Définition 1.6 Une série de La:ure:n:t,

c

⁷est une série de

fônci:ions·

cle la forme

. .

i.e. ~ne série de puissan~s positiues

et

négatives du nombre complexez.

Pourque

ra... ^{(z -} .zor)

. ,L__J'

<t

nE-Z

converge .il faut et il suffit que

·:[: a.. (z -

Zof,

n=O

et

+oo ( l )"-

I-:a-n --_- ,

=1

^Z-.L-Q