Forces de frottements
1) Equilibre d’une brique :
Une brique de masse 𝑚1 peut glisser sur un plan incliné, faisant un angle 𝜑 avec l’horizontale, avec un coefficient 𝑓. La brique est
retenue par un fil passant par une poulie d’inertie négligeable, tendue par une masse 𝑚2. On appelle 𝛼 le rapport 𝑚2
𝑚1.
Montrer que pour 𝛼2− 1 < 𝑓2, le système est en équilibre si 𝜑1 < 𝜑 < 𝜑2.
Déterminer 𝜑1 et 𝜑2 pour 𝛼 = 0,6 et 𝑓 = 0,4.
2) L'archet de violon :
Un archet de violon, se déplace à vitesse constante 𝑣⃗ = 𝑣𝑒⃗⃗⃗⃗ sur une corde de masse 𝑚 𝑥 située à l'abscisse 𝑥 (𝑡). La corde tendue à ses extrémités est soumise à une force de rappel 𝐹⃗
= −𝑘𝑥 (𝑡) 𝑒⃗⃗⃗⃗ (𝑘 est proportionnel à la tension de la corde) ainsi qu'à la réaction de l'archet (le 𝑥 coefficient de frottement statique est noté 𝑓𝑠 et on supposera que le coefficient de frottement dynamique 𝑓𝑑 est rendu nul grâce à la colophane.
A l'instant initial 𝑡 = 0 la corde se trouve en position 𝑥 (𝑡) = 0.
1) Montrer que lors d'une première phase l'archet entraîne avec lui la corde.
2) A quelle date s'arrête cette phase ?
3) Quelle est ensuite le mouvement de la corde ?
3) Comment tirer une nappe sans casser les assiettes ?
Sur un guéridon, recouvert d’une nappe de masse 𝑚, repose une assiette bien remplie de mase 𝑀. D’un geste brusque, on tire la nappe. La question est de savoir si l’assiette reste sur le guéridon.
Le guéridon est modélisé par un disque de centre 𝑂, de rayon 𝑅. La nappe a les mêmes dimensions que le guéridon et une épaisseur négligeable. L’assiette circulaire, de rayon r, est placée au centre de la table. Un expérimentateur tire le bord de la nappe avec une force horizontale 𝐹⃗ = 𝑚𝛼𝑡𝑢⃗⃗𝑥 où 𝛼 est une constante. Le coefficient de frottement entre le guéridon et la nappe est supposé nul et celui entre l’assiette et la nappe est noté 𝑓.
1) On suppose que, tout au long de l’expérience, l’assiette glisse par rapport à la nappe.
Est-ce réellement le cas ? Quel est la signe de la vitesse de l’assiette par rapport à la nappe en projection sur 𝑢⃗⃗𝑥 ?
2) Calculer l’accélération du centre de masse de l’assiette 𝑥̈𝑎 et celui de la nappe 𝑥̈𝑛 dans le référentiel de la pièce. En déduire 𝑥𝑎(𝑡) et 𝑥𝑛(𝑡).
3) Jusqu’à quel temps 𝜏 a-t-on contact entre l’assiette et la nappe ?
4) Lors d’un mouvement vif, on a au moins 𝛼 = 2500 𝑚. 𝑠−3. Sachant que 𝑀 = 400 𝑔, 𝑚 = 50 𝑔, 𝑅 = 25 𝑐𝑚, 𝑟 = 5 𝑐𝑚, 𝑔 = 9,8 𝑚. 𝑠−2 et 𝑓 = 0,2, où est l’assiette quand le contact nappe - assiette cesse ? Conclure.
𝜑 𝑔⃗
𝑚2
𝑚1
4) Equilibre d’une personne sur une échelle :
Une échelle, de masse 𝑚 et de longueur 2𝐿, repose d’une part sur le sol en 𝐵 (coefficient de frottement 𝑓), et d’autre part contre un mur en 𝐴 (le coefficient de frottement est pris nul pour ce contact. L’échelle fait un angle 𝛼 avec l’horizontale. A quelle condition une personne de masse 𝑀 peut-elle rester debout en équilibre en n’importe quel point de l’échelle ?
5) Mesure d’un coefficient de frottement :
On considère deux cylindres de même rayon 𝑅 sur lesquels est posé une planche de longueur 𝐿, d’épaisseur négligeable, de masse 𝑚. On appelle 𝑓 le coefficient de frottement entre les cylindres et la planche. Le point de contact entre la planche et le cylindre 𝐶1 est 𝑂1 et le point de contact entre la planche et le cylindre 𝐶2 est 𝑂2. La distance 𝑂1𝑂2 vaut toujours 𝑑.
Les cylindres tournent chacun dans un sens opposé à l’autre à la vitesse angulaire 𝜔. Au temps 𝑡 = 0, la planche n’a pas de vitesse et son centre d’inertie est en 𝐺𝑜 tel que 𝑂𝐺𝑜= 𝑎
Décrire le comportement de la planche. Que se passe-t-il si on fait l’hypothèse que les valeurs sont telles que les vitesses de glissement ne s’annulent
jamais? Montrer que cette expérience permet une mesure du coefficient de frottement.
6) Loi de Murphy :
On considère le dispositif suivant : on veut modéliser la chute d’une tartine de pain beurrée. Celle-ci est immobile sur un coin 𝑂 de la table au temps 𝑡 = 0, son centre d’inertie 𝐺 étant à une distance 𝑎 de 𝑂. La tartine de pain beurrée est assimilable à une plaque de longueur 2𝐿, de masse 𝑚 et de moment d’inertie par rapport à l’axe ∆𝑂 𝐽 =𝑚𝐿2
3 + 𝑚𝑎2. Le coefficient de frottements entre la table et la règle est 𝑓~1.
On suppose qu’initialement la règle ne glisse pas. On décompose le mouvement de la tartine en trois étapes. Elle commence par pivoter autour du point O sans glisser sous l’action des forces de frottements, puis elle glisse très rapidement. On supposera cette étape rapide si bien qu’elle ne modifie ni l’inclinaison de la tartine, ni la vitesse de son centre d’inertie, ni sa vitesse angulaire, puis dernière étape, la tartine est un solide en chute libre et atteint le sol.
1) Quelle est l’équation vérifiée par 𝜃̇(𝑡) dans la première étape ? 2) Pour quel angle 𝜃𝑓 la règle commencera-t-elle à glisser ?
3) Montrer que la vitesse angulaire de la tartine est constante lors de la troisième étape.
En déduire la loi 𝜃(𝑡) pendant la chute.
𝑂2
𝑂1
x G
O
R R
𝑦
𝑥 𝐺 𝜃
𝑂
4) A quel temps la tartine atteindra-t-elle le sol ? Montrer qu’alors sa rotation dépasse 90°.
5) Un martien aura-t-il le même problème s’il fait tomber sa tartine ? On donne 𝑔𝑚𝑎𝑟𝑠= 3,5 𝑚. 𝑠−2.
7) De la glace sur un plan :
On lance un glaçon sur une table. Déterminer une équation donnant la vitesse en fonction du temps.
On donne 𝑓 le coefficient de frottement entre la glace et la table et 𝐿𝑓 = ∆ℎ𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 la variation d’enthalpie de fusion de la glace.
∫𝑋𝑑𝑋2−1= 𝐿𝑛 |𝑋+1
𝑋−1|
8) Mouvement de collé, glissé :
Un palet de masse 𝑚 peut glisser sur une plaque horizontale fixe. Le palet est attaché à
un ressort de raideur 𝑘, de longueur à vide 𝑙𝑜. On appelle 𝑋(𝑡), l’élongation du ressort par rapport à sa longueur à vide. Les coefficients de frottements statique et dynamique du système sol-palet sont 𝑓𝑠 et 𝑓𝑑. On suppose qu’au temps 𝑡 = 0, l’allongement est nul et que le palet n’a pas de vitesse. A 𝑡 > 0, l’autre extrémité du ressort est entraînée à vitesse fixe 𝑉⃗⃗ = 𝑉𝑢⃗⃗𝑥.
1) Montrer que dans une première phase le palet est fixe. Exprimer la date 𝑡1 à laquelle il est mis en mouvement.
2) Dans la deuxième phase où le palet est en mouvement, écrire l’équation différentielle vérifiée par 𝑋(𝑡) et en déduire la loi horaire 𝑋(𝑡). On pose 𝜔 = √𝑘
𝑚.
3) On appelle 𝑡2 l’instant pour lequel la vitesse du palet s’annule la première fois depuis 𝑡1. Montrer que 𝑋(𝑡2) = (2𝑓𝑑− 𝑓𝑠)𝑚𝑔
𝑘 .
4) On suppose qu’à l’instant 𝑡2, le palet s’immobilise. Exprimer la durée pendant laquelle il reste immobile.
5) Tracer l’allure de la courbes 𝑥𝐵(𝑡). Que se passe-t-il si 𝑓𝑑 = 𝑓𝑠 ?
9) Un autre mouvement de collé-glissé :
On considère le dispositif ci-contre. On fait l’hypothèse d’un coefficient de frottement statique non nul 𝑓𝑠 = 0,6 mais d’un coefficient de frottement dynamique 𝑓𝑑 = 0 nul entre le parallélépipède M et le tapis. Tracer le portrait de phase
10) Contact de deux cylindres :
Deux cylindres verticaux de rayon 𝑅1 et 𝑅2, de moment d’inertie 𝐽1 et𝐽2 tournent autour de leur axe respectif à des vitesses angulaires 𝜔1𝑜 et 𝜔2𝑜. A 𝑡 = 0, on rapproche les cylindres et on les met en contact.
𝑉⃗⃗
𝑘, 𝑙𝑜
𝐵 𝐴
𝑚
Déterminer les vitesses angulaires finales 𝜔1𝑓 et 𝜔2𝑓 quand le glissement cesse.
11) Le fouet d’Indiana Jones :
Indiana Jones (𝑀 = 80 𝑘𝑔) doit franchir une crevasse. Il enroule son fouet autour d’une branche. La branche a un rayon R et Une corde de masse négligeable passe sur un cylindre horizontal de rayon 𝑅. Le coefficient de frottements est 𝑓 = 0,3. Quelle est la tension du dernier élément de fouet 𝐴 en contact avec la branche si le fouet est enroulé 4,5 tours ? Indiana franchira-t-il l’obstacle ?
Pour résoudre ce problème il faut considérer que le fouet est un fil de masse négligeable, sans raideur, enroulé d’un angle 𝛼 sur un arbre cylindrique de rayon
𝑅, de génératrice l’axe des 𝑧 . Le contact arbre-fil est caractérisé par un coefficient de frottement 𝑓. Indiana Jones exerce une force 𝐹⃗𝐴= 𝑀𝑔⃗ de norme 𝐹𝐴 sur l’extrémité 𝐴 du fil, il faut chercher la valeur minimale de la norme 𝐹𝐵 de la
force 𝐹⃗𝐵 à appliquer à l’autre extrémité du fil pour qu’il soit , en équilibre.
Indications:
1) Equilibre d’une brique :
Appliquer la loi de la quantité de mouvement au solide (1) et au solide (2) en exploitant la nature du fil, inextensible et sans masse ; en déduire une équation du second degré en s𝑖𝑛𝜑 ; la condition cherchée porte sur le discriminant de cette équation.
2) L'archet de violon :
1) Au départ la force de frottement n’est pas assez importante pour vérifier les lois de Coulomb du glissement ; faire l’hypothèse d’un cas statique, avec une vitesse de glissement nulle et trouver la loi de 𝑇 en fonction du temps ; en appliquant les lois de coulomb en déduire le temps marquant la fin de cette phase ; 2) il n’y a plu que la force de rappel, donc mouvement harmonique.
3) Comment tirer une nappe sans casser les assiettes ?
1) Au départ la nappe et l’assiette sont immobiles ; l’assiette ne peut pas avoir de vitesse supérieure à la nappe ; 2) appliquer la loi de la quantité de mouvement à l’assiette puis à la nappe ; il faut appliquer le théorème des actions réciproques ; 3) le contact cesse quand 𝑥𝑛(𝑡) − 𝑥𝑎(𝑡) ≥ 𝑅 + 𝑟 ; 4) faire une résolution numérique.
4) Equilibre d’une personne sur une échelle :
Il y a équilibre si la somme des forces et la somme des moments par rapport à un point sont nulles ; la somme des forces nulles donne une relation entre 𝑁𝐴 et 𝑇𝐵 d’une part, entre 𝑁𝐵, 𝑀
𝛼
𝜃 𝑀 𝑢⃗⃗𝜃
𝑢⃗⃗𝑟
𝐹⃗𝐵
𝐹⃗𝐴
B
A
et 𝑚 d’autre part ;si on prend la somme des moments par rapport à B, on trouve une relation entre 𝑁𝐴, 𝑚, 𝑀, 𝐿, 𝑥 et 𝛼 ; appliquer alors la loi de Coulomb à la réaction en 𝐵, loi qui doit être vérifiée pour 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝐿.
5) Mesure d’un coefficient de frottement :
Il faut d’abord calculer les vitesses de glissement au temps 𝑡 = 0 pour connaître les signes de ces vitesses à l’instant t et pouvoir appliquer les lois de Coulomb. Ecrire la loi de la quantité de mouvement au système la planche ; appliquer également le théorème du moment cinétique à la planche en remarquant que celle-ci est en translation. En déduire les réactions normales en 𝑂1 et en 𝑂2, puis les réactions tangentielles.
6) Loi de Murphy :
1) Appliquer le théorème de l’énergie cinétique, le travail de la réaction en O étant nul ; 2) Appliquer le PDF en remarquant que la réaction se décompose en 𝑅⃗⃗ = 𝑇𝑢⃗⃗𝑟+ 𝑁𝑢⃗⃗𝜃 ; 3) Appliquer le TMC en G dans le référentiel barycentrique ; 4) Trouver le temps 𝑡𝑜 pour que la tartine atteigne le sol ; pour ce temps, calculer l’angle de rotation de la tartine et conclure.
7) De la glace sur un plan :
Prendre comme système la glace à l’instant 𝑡 ; on a une équation de mécanique en appliquant le PFD et une équation de thermodynamique en appliquant le premier principe au changement de phase.
8) Mouvement de collé, glissé :
1) Si le palet est fixe, ‖𝑇⃗⃗‖ < 𝑓𝑠‖𝑁⃗⃗⃗‖ et l’allongement suit la loi 𝑋(𝑡) = 𝑉𝑡 ; L’allongement est 𝑋 = 𝑥𝐵− 𝑥𝐴− 𝑙𝑜 ; appliquer le PFD au palet en translation : 𝑥𝑝𝑎𝑙𝑒𝑡 = 𝑥𝐴 en utilisant les lois de Coulomb quand il y a glissement ; 3) Il faut remarquer que 𝑋̇(𝑡1) = 𝑋̇(𝑡2); un signal sinusoïdal admet la même dérivée en deux points symétriques par rapport à la moyenne ; 4) L’allongement est 𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑡2) + 𝑉(𝑡 − 𝑡2), puis même raisonnement qu’au 1)
9) Un autre mouvement de collé-glissé :
On suppose qu’au temps 𝑡 = 0, la masse 𝑀 est immobile dans le référentiel du tapis soit 𝑥̇(𝑡 = 0) = 𝑣𝑜.Dans la phase 1 la vitesse de glissement est donc nulle. Appliquer le PFD pour calculer 𝑅𝑇(𝑡). Cette phase de mouvement va s’arrêter quand 𝑅𝑇(𝑡) = 𝑓𝑠𝑅𝑁 . Dans la deuxième phase la vitesse de glissement est non nulle. Cette phase s’arrête quand 𝑥̇(𝑡2) = 𝑣𝑜. La vitesse de glissement s’annule de nouveau et on se retrouva dans la situation de la phase 1.
10) Contact de deux cylindres :
Calculer la vitesse de glissement des deux disques et appliquer les lois de Coulomb du frottement solide pour connaitre les signes des réactions tangentielles. Appliquer le TMC le système {cylindre 1} puis avec le système {cylindre 2} Quand le glissement cesse la vitesse de glissement est nulle.
11) Le fouet d’Indiana Jones:
Faire un bilan de forces pour un tronçon de fouet compris entre 𝜃 et 𝜃 + 𝑑𝜃 en tenant compte de la réaction normale, de la force de frottement et des tensions au deux extrémités. Pour le signe de la force de frottement, réfléchir au sens de glissement du fouet si la force 𝐹𝐵 n’était pas assez importante. Trouver une relation liant 𝐹𝐵 à 𝐹𝐴 et 𝛼. Pour Indiana Jones appliquer cette relation dans le cas où 𝐹𝐴 est le poids d’Indiana.
Solutions :
1) Equilibre d’une brique :
La condition d’équilibre donne ±𝑓𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝛼 = 0 soit 𝑠𝑖𝑛2𝜑(1 + 𝑓2) − 2𝛼𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝛼2− 𝑓2 = 0 ; le discriminant doit être positif soit 1 + 𝑓2 > 𝛼2 ; 𝑠𝑖𝑛𝜑1,2 = 𝛼±𝑓√1+𝑓2−𝛼2
1+𝑓2 ; on
trouve 12° < 𝜑 < 55°.
2) L'archet de violon :
1) 𝑇(𝑡) = 𝑘𝑣𝑡 ; 2) 𝑡𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖è𝑟𝑒 𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒=𝑓𝑠𝑚𝑔
𝑘𝑣 ; 3) 𝑥̈(𝑡) + 𝑘
𝑚𝑥(𝑡) = 0 3) Comment tirer une nappe sans casser les assiettes ?
1) la vitesse de glissement de l’assiette sur la nappe est négative ; 2) 𝑥̈𝑎 = 𝑓𝑔 ; 𝑥̈𝑛 = −𝑀
𝑚𝑓𝑔 + 𝛼𝑡 ; 𝑥𝑎(𝑡) =1
2𝑔𝑓𝑡2 ; 𝑥𝑛(𝑡) = − 𝑀
2𝑚𝑔𝑓𝑡2+1
3𝛼𝑡3 ; 3) on a 1
2𝑔𝑓𝜏2 (1 −𝑀
𝑚) +1
3𝛼𝜏3 = 𝑅 + 𝑟 ; 4) 𝜏~0,1 𝑠 et 𝑥𝑎(𝜏)~10 𝑚𝑚 ; l’assiette n’a pratiquement pas bouger.
4) Equilibre d’une personne sur une échelle : 𝑓 ≥ 2𝑀+𝑚
2(𝑀+𝑚)𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝛼.
5) Mesure d’un coefficient de frottement :
L’équation du mouvement de la planche est 𝑥̈(𝑡) +2𝑓𝑔
𝑑 𝑥(𝑡) = 0. On a des oscillations de période 𝑇 = 2𝜋√2𝑓𝑔𝑑 .
6) Loi de Murphy :
1) 𝜃̇(𝑡) = √2𝑚𝑔𝑎𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝐽 ; 2) tan(𝜃𝑓) = 𝑓 𝐿2
𝐿2+9𝑎2 ;3) Si la vitesse angulaire est une constante on a la loi : 𝜃(𝑡) = √2𝑚𝑔𝑎𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑓)
𝐽 𝑡 + 𝜃𝑓 4) 𝑡𝑐ℎ𝑢𝑡𝑒~2𝐻
𝑔. En prenant 𝐿 = 5 𝑐𝑚 et 𝑎 = 2 𝑐𝑚 on trouve un angle final de 200° ; 5) Toutes les grandeurs seront modifiées dans une même homothétie et le résultat sera toujours le même : la tartine tombe côté beurre.
7) De la glace sur un plan : Ln |
v Lf+1
v
Lf−1| = gf
√Lft + Ln |
vo Lf+1 vo Lf−1| 8) Mouvement de collé, glissé:
1) 𝑡1 =𝑓𝑠𝑚𝑔
𝑘𝑉 ; 2) 𝑋̈ + 𝜔2𝑋(𝑡) = 𝑓𝑑𝑔 ; 𝑋(𝑡) =𝑚𝑔
𝑘 (𝑓𝑠− 𝑓𝑑)𝑐𝑜𝑠(𝜔(𝑡 − 𝑡1)) +𝑉
𝜔𝑠𝑖𝑛(𝜔(𝑡 − 𝑡1)) +𝑓𝑑𝑚𝑔
𝑘 ; 4) 𝜏 = 2(𝑓𝑠−𝑓𝑑)𝑚𝑔
𝑘𝑉 ; 5) Si 𝑓𝑑 = 𝑓𝑠, fin du collé glissé : 𝜏 = 0 9) Un autre mouvement de collé-glissé :
Phase 1 𝑥̇(𝑡 = 0) = 𝑣𝑜.
La vitesse de glissement est nulle.
A la fin de cette phase 0<t<𝑡1 =𝑓𝑠𝑀𝑔
𝑘𝑣𝑜 : Le portrait de phase est :
Phase 2 :
La vitesse de glissement 𝑣𝑔 = 𝑥̇(𝑡) − 𝑣𝑜≠ 0
Cette phase s’arrête quand 𝑥̇(𝑡2) = 𝑣𝑜. La vitesse de glissement s’annule de nouveau et on se retrouva dans la situation de la phase 1.
Le portait de phase est :
10) Contact de deux cylindres :
{
𝜔1𝑓 =
𝐽1 𝑅1𝜔1𝑜−𝐽2
𝑅2𝜔2𝑜 𝐽1
𝑅1+𝐽2𝑅1 𝑅22
𝜔2𝑓 = −
𝐽1 𝑅1𝜔1𝑜−𝐽2
𝑅2𝜔2𝑜 𝐽1𝑅2
𝑅12 +𝐽2 𝑅2
11) Le fouet d’Indiana Jones :
𝐹𝐵 = 𝐹𝐴exp(−𝑓𝜃) = 0,1 𝑁 ; cette valeur est très faible donc pas de problème pour Indiana Jones.
𝑣𝑜
𝑓𝑠𝑀𝑔 𝑘 𝑥̇
𝑥
𝑣𝑜
𝑓𝑠𝑀𝑔 𝑘 𝑥̇
𝑥
𝑣𝑜
𝑓𝑠𝑀𝑔 𝑘 𝑥̇
𝑥
