STABILITÉ GLOBALE ET MÉCANISMES DE FLUCTUATIONS DES STRUCTURES DISSIPATIVES

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STABILITÉ GLOBALE ET MÉCANISMES DE

FLUCTUATIONS DES STRUCTURES DISSIPATIVES

R. Lefever

To cite this version:

R. Lefever. STABILITÉ GLOBALE ET MÉCANISMES DE FLUCTUATIONS DES

(2)

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 5 , supplément au n° 8, tome 39, août 1978, page C5-83

STABILITÉ GLOBALE ET MÉCANISMES DE FLUCTUATIONS

DES STRUCTURES DISSIPATIVES

R. LEFEVER

Chimie Physique II, Faculté des Sciences, C.P. 231, Université Libre de Bruxelles, bd du Triomphe, 1050 Bruxelles, Belgique

Résumé. — Les solutions stationnaires de systèmes réaction-diffusion non linéaires sont évaluées exactement. Leurs diagrammes de bifurcation présentent les propriétés caractéristiques des transi-tions de phase de premier ordre ou de second ordre. Les points de coexistence de phase sont définis sur la base d'arguments cinétiques ou thermodynamiques. La relation de ces définitions avec l'effet des fluctuations internes et externes est discutée. Il est encore montré que les fluctuations externes peuvent être responsables de transitions qui n'ont pas d'équivalent dans la description strictement déterministe.

Abstract. — The steady state solutions of some non-linear reaction diffusion systems are evaluated exactly. Their bifurcation diagrams display the characteristic features of first order and second order phase transitions. The points of phases coexistence are evaluated either by kinetic or thermodynamic arguments. The relation of these definitions with internal and external fluctuations is discussed. It is also shown that external fluctuations may induce transitions which have no equivalent in the deterministic description.

1. Introduction. — Il est maintenant bien connu

que loin de l'équilibre thermodynamique, les systèmes réaction-diffusion non linéaires peuvent présenter des points de branchement où des organisations spatio-temporelles complexes appelées structures dissipatives apparaissent [1, 2]. Dans un système donné, le nombre et la variété de ces structures croissent rapidement avec l'écart par rapport à l'équilibre thermodyna-mique.

Les propriétés macroscopiques des structures dis-sipatives ont été analysées au cours de ces dernières années, principalement par des méthodes perturbatives comme la théorie des bifurcations ou la théorie des perturbations singulières (cf. par exemple les articles par Kernevez et Velarde dans ce volume et pour plus de détails voir référence [2]). Ces méthodes ont permis d'inventorier les propriétés des structures dissipatives en fonction de paramètres comme la distance à l'équi-libre, les conditions aux limites, la parité des modes instables, la dimensionnalité du milieu, e t c . . Les résultats obtenus s'appliquent principalement au voi-sinage immédiat des points de bifurcation ou des perturbations singulières. Peu de résultats concernent des propriétés globales : la stabilité par rapport à des perturbations finies, les conditions de coexistence et les mécanismes de transition entre régimes distincts stables par rapport à des perturbations infinitésimales sont des problèmes d'intérêt fondamental mais que les méthodes approchées ne permettent pas de traiter. L'objet de ces notes sera de discuter ces problèmes sur des modèles particuliers mais dont l'analyse

mathé-matique complète est possible. Ces modèles sont nécessairement idéalisés. Cependant, qualitativement leur comportement semble représentatif, non seule-ment des propriétés de certains systèmes chimiques réalistes, mais aussi d'autres systèmes physiques et biologiques décrits par des équations différentielles partielles paraboliques. Les modèles seront d'abord discutés du point de vue cinétique et thermodyna-mique, ensuite les résultats macroscopiques obtenus seront examinés du point de vue plus fondamental de la théorie des fluctuations.

Dans les paragraphes 2 et 3 je rappelle brièvement quelques résultats généraux importants concernant la stabilité des systèmes chimiques et je discute sur le modèle de Schlôgl [3] la similitude entre le mécanisme qui régit l'apparition de certaines structures dissi-patives spatiales et les transitions de phase d'équilibre. Dans le paragraphe 4 cette analogie est analysée en détail dans le cas d'un système chimique homogène ; outre la manière mécanisiste de définir le point de coexistence de phase, dérivée directement des pro-priétés des équations cinétiques, une définition

thermo-dynamique peut être introduite sur la base de

consi-dérations qui rappellent le traitement applicable aux états d'équilibre. Ces deux définitions conduisent à des prédictions différentes pour le point de coexistence de phase. La signification de ce résultat est discutée du point de vue de la théorie des fluctuations dans le paragraphe 5. Le rôle fondamentalement différent des fluctuations internes et externes est souligné et

(3)

C5-84 R. LEFEVER

l'impact de ces dernières est développé dans le paragraphe 6.

2. Critère d'évolution et stabilité globale des états

stationnaires de non-équilibre. - La recherche de fonctions potentiel décrivant la dynamique des sys- tèmes réaction-diffusion peut se faire au départ de l'inégalité différentielle établie par Prigogine et Glansdorff [l] :

où la somme est sur l'ensemble des transformations irréversibles se produisant dans les systèmes, où les Jp et 1, sont les flux et forces thermodynamiques conjugués (ici, vitesse et affinité de réaction ou flux de diffusion et gradient de potentiel chimique), et où le signe d'égalité ne s'applique qu'aux états stationnaires.

Pour tous systèmes soumis à des conditions aux limites constantes (Dirichlet ou Neumann), I'iné- galité (2.1) est générale, valable aussi bien loin que près de l'équilibre. De plus, au voisinage de l'équilibre, en vertu des relations de réciprocité d'onsager, (2.1) est toujours la différentielle totale d'une fonction d'état, définie positive et ayant les propriétés d'un potentiel. Comme dans ces conditions, il ne peut exister dans des systèmes chimiques idéaux (seuls considérés ici), qu'une seule branche d'états stationnaires (branche thermodynamique), la stabilité globale de ces états est asymptotiquement assurée. Ce résultat a joué un rôle capital dans la théorie des structures dissipatives, car, sans référence à aucun modèle particulier, il démontre que les processus d'auto- organisation ne peuvent jamais se manifester en dessous d'un seuil minimal de dissipation : points de branchement et structures dissipatives ne sont possibles que loin de l'équilibre. Près de l'équilibre les seules organisations spatio-temporelles observables sont celles obtenues par déformation continue de l'état d'équilibre. Dans les systèmes chimiques ces régimes correspondent à des distributions de concentration qui, effets de bords mis à part, sont quasi-homogènes dans l'espace. En dehors du domaine de validité des relations de réciprocité d'onsager, l'unicité de la branche thermodynamique et sa stabilité ne sont plus assurées. Les comportements autoorganisateurs inté- ressants deviennent possibles. Toutefois, les systèmes pour lesquels (2.1) est encore intégrable sont excep- tionnels. A ce jour, pratiquement seuls des systèmes à une variable, comme le modèle de Schlogl analysé dans le paragraphe 3, ont été rapportés.

A ce stade, avant de passer à la discussion des modèles, il est bon de se faire une idée plus précise des relations système-environnement qui, du point de vue thermodynamique, sont compatibles avec la formation des structures dissipatives. Au sens strict, ce qui a été établi, c'est que l'environnement doit exercer sur le

système des contraintes qui le soumettent à des flux importants d'énergie ou de matière. Ceci ne signifie pas que ces contraintes doivent, comme les conditions aux bords dans la formulation de la thermodynamique de non-équilibre, être constantes dans le temps et correspondre à chaque instant à de grands écarts par rapport à l'état d'équilibre. Les contraintes peuvent très bien être des grandeurs fluctuantes dans le temps. Lorsque c'est le cas, nous verrons que les valeurs moyennes des contraintes ont une importance bien moindre que leur variance (voir paragraphe 6). Dans la formulation de la thermodynamique de non- équilibre l'hypothèse de conditions aux bords constantes est une simple commodité en même temps qu'un progrès par rapport aux méthodes de thermodynamique classiques introduites par Gibbs. Ces dernières supposaient en effet que les grandeurs intensives maintenues constantes l'étaient non seulement aux bords mais aussi en tout point à l'intérieur du système. Je reviendrai dans les paragraphes 6 et 7 sur cette remarque ; son intérêt deviendra plus clair après examen de l'effet de contraintes externes fluctuantes sur les propriétés d'un système.

3. Stmctures dissipatives et stabilité globale dans

le modèle de Schlogl.

-

Considérons le système chimique imaginé par Schlogl (cf. également Malek- Mansour dans ce volume). En tenant compte de la diffusion de X dans un milieu unidimensionnel de longueur 1, l'équation cinétique s'écrit :

Avec les conditions aux limites fixes : X(0) = X(1) =

5

où

<

est une solution stationnaire homogène de ( 3 . l),

en choisissant les paramètres de telle sorte que :

et après avoir redéfini le temps et l'espace :

(4)

STABILITÉ GLOBALE t.T MÉCANISMES DE FLUCTUATIONS DES STRUC7'URES DISSIPATIVES CS-85

3. a SOLUTIONS STATIONNAIRES DE L'ÉQUATION (3.4)

- Les états stationnaires du système sont donnés

par (') :

(2)

= H - ~ ( w ) (H = constante) (3.5)

En fixant

<

et en variant p, trois situations se pré- sentent comme le montre la figure 1.

FIG. 1 . - Graphique de F ( w ) pour différentes valeurs de p et une valeur donnée de 5. Aux bords du système, w = O . Les solutions

inhomogènes n'existent que pour des valeurs de p telles que F ( w ) présente au moins un maximum positif.

(i) Pour p < c2/2, les seules solutions stationnaires possibles sont celles qui correspondent à une distribution homogène de la concentration, constante dans l'espace et égale à la valeur aux bords

5.

(ii) Pour 5'12 < p

c

5'

et O

<

H

<

F(-

c),

l'équa- tion (3.5) admet des solutions stationnaires inhomo- gènes lorsque la longueur 1 du système est égale à :

L(H) = 2 dw'

{ H - F(w') )Il2 (3.6) où w(H) est la valeur de w pour laquelle l'inté- grale (3.6) devient singulière. Notons que pour tout O c H < F(-

l ) ,

l'intégrant se comporte comme

(') II est à noter que les solutions stationnaires de (3.4) sont identiques à celles du Brusselator simplifié [4]. 11 est également intéressant de remarquer que les propriétés stationnaires décrites ici sont analogues à celles du ballast résistor (201.

{ w(H)

-

w' ) - Il2, près de w(H). De sorte que L(H) est fini. Au contraire, lorsque H = O ou H = F(-

r),

l'intégrant de (3.6) diverge comme { w(H) - w' } -

'

,

de sorte que L(H) devient infini. Il existe donc une valeur Hm telle que L(H,,,) est un minimum. Selon la longueur 1 du système considéré, deux situations se produisent : si 1 est inférieur à YH,), seul l'état homogène est une solution stationnaire possible; si 1 est plus grand que L(H,), il existe deux solutions stationnaires inhomogènes qui satisfont aux conditions aux limites et correspondent à des valeurs différentes de H. Nécessairement ces profils de concentration se

trouvent entièrement en dessous de l'état de référence w(r) = O ; entre r = O et r = 1 la concentration w(r) commence par décroître, passe par un minimum en r = 112, puis augmente à nouveau jusqu'à w = O en

r = 1. Pour toutes valeurs O

<

H '12

<

F112(- <), l'équation H

-

F(w) = O possède deux racines réelles (cx, p, en ordre décroissant) et deux racines complexes conjuguées de partie réelle et imaginaire respectivement égales à m et n.

Les longueurs L(H) sont alors données par :

où F(cp

\

c) est l'intégrale elliptique incomplète de première espèce, d'angle modulaire E :

et d'amplitude cp :

avec :

G 2 = ( c x - m ) ' + n 2 et K 2 = ( p - m ) 2 + n 2 . (3.9) (iii) Pour p > 12, F(w) a deux maxima au-dessus de P l'axe des w, situés en w' =

-

<

et W" = -

<

+

?.

D'autre part, w = O est devenu un minimum. Selon la valeur de p le pic le plus élevé est soit en w'(p < 2 t 2 ) ou en w"@

>

2 5'). Dans les deux cas, il existe un domaine de valeurs de H, respectivement

pour lequel l'équation H - F(w) = O possède quatre racines réelles pour des valeurs positives de H (a, p, y,

(5)

C5-86 K. LEFEVEK

La demi-période de ces solutions inhomogènes est :

où /.'(<pi

\

E) est l'intégrale elliptique incomplète de première espèce d'angle modulaire E :

La pente à l'origine étant positive ou négative, les amplitudes des solutions sont respectivement :

Uniquement lorsque les deux maxima de F(w) sont égaux (c'est-à-dire pour p = t2), les deux solutions de demi-période différente sont symétriques pour une valeur donnée de H. Pour un système de longueur donnée I, les seules solutions acceptables sont celles correspondant à une demi-période Li(H) = I ou telles que :

n ,

+

n2 L2(H) = I avec

1

n, - n , ( = 0 ou 1

.

(3.1) Il s'ensuit que H ne peut prendre qu'un nombre discret

de

valeurs lorsque la longueur I du système est fixée, et qu'il y a un nombre maximum de périodes qui peuvent être incluses dans 1. En d'autres mots, dans un système fini, il y a une quantification des valeurs acceptables de H et une multiplicité de solutions qui croît rapidement avec la taille du système.

La figure 2 est un diagramme de bifurcation de la solution stationnaire fondamentale pour trois valeurs de p (f KI/' est porté en fonction de L(H) comme paramètre de bifurcation). Il apparaît une région sous-critique dans la branche supérieure ou inférieure selon la hauteur relative des pics dans la figure 1. Les asymptotes H ' et H de ces branches correspondent à des solutions de demi-période infinie. Lorsque p

<

t2

l'asymptote H' se confond avec l'axe des w ; dès lors la situation correspondant au domaine (ii) peut être vue comme un cas particulier de (iii) où le point de bifurcation est rejeté à l'infini.

3. b STABILITÉ DES STRUCTURES DISSIPATIVES SPATIALES ; POINTS DE COEXISTENCE DE PHASES. - En vertu d'un théorème général de la théorie des bifurcations, au voisinage immédiat du point de bifurcation, les solutions inhomogènes sont infinitésima- lement stables ou instables selon qu'elles sont supra- ou sous-critiques. L'avantage du modèle considéré ici est qu'une étude de stabilité globale des solutions est possible. Ceci grâce au fait que l'équation (3.4)

FIG. 2. - Diagramme de bifurcation représentant la valeur du gradient de concentration aux bords pour les solutions stationnaires du système, en fonction de 1. Les branches supérieures corres- pondent à des valeurs positives ( + H ' I 2 ) ; les branches inférieures correspondent à des valeurs négatives ( - H l t 2 ) . Les états stables,

métastables et instables sont respectivement en traits plein, pointillé et interrompu. La branche homogène correspond à H ' l Z = 0.

Le point de coexistence de phase est en 1,. Les courbes sont tracées pour différentes valeurs du rapport p l [ .

dérive d'un principe variationnel. En effet, le critère d'évolution (2.1) s'écrit pour ce système :

où L est le coefficient phénoménologique d'onsager associé à la diffusion. En multipliant par le facteur intégrant Lw, en intégrant par partie le terme de diffusion et en tenant compte des conditions aux bords, on trouve facilement que le « Lagrangien » f (w, dwldr) du système est :

L'équation (3.4) est alors l'équation d'Euler- Lagrange correspondant au principe variationnel :

6 U = 0 avec U =

SU

d r f

( 2 )

w,-

.

(3.16) Les minima de U correspondent à des solutions stationnaires stables infinitésimalement et les maxima à des solutions instables. Un critère de stabilité absolu pour les solutions stationnaires est dès lors donné par :

(6)

STABILITÉ GLOBALE ET MÉCANISMES DE FLUCTUATIONS DES STRUCTURES DISSIPATIVES C5-87

domaine (iii), celles trouvées en (ii) étant un cas Schlogl se présente donc de la manière suivante pour particulier) : des valeurs croissantes de p :

a) Lorsque C2/2

<

p <

c2

et 1 2 L(H,), il existe ( r ) = A , sin

( )

(i = 1.2) (3.18) deux solutions inhomogènes dont l'une est instable et

l'autre métastable.

où A , = y, A, = et où L~(H) est donné par 6) Pour

c2

< p < 2 t 2 , le diagramme de bifur- (3.10-3.12). On en déduit que : cation peut présenter une hystérèse qui rappelle les transitions de phase du premier ordre. Dans l'inter- A' L , ( H ) {8

1

Al +

(2e-!)A.-

valle 1, < 1 < l,, l'apparition d'une structure dissi- Ui = L

4 pative s'accompagne d'un effet de seuil (cf. p = 4,5 dans la figure 2) : pour 1, < 1 < 1, l'état homogène

- (P - 5,)

+(&),}

( i = 1 ,

.

3 9 est stable absolument et la branche inhomogène inférieure est métastable. Pour 1, < 1

<

Il, cette Dans la figure 2, l'évolution de la stabilité des

branches stationnaires fondamentales a été résumée en fonction de la valeur de p. Les traits pleins, pointillés et interrompus correspondent respectivement à des solutions stables absolument (minimum absolu de U), métastables (minimum relatif) et instables. Le dia- gramme de la figure 3 représente pour une valeur

situation s'inverse. Finalement lorsque 1

>

1, la branche homogène devient instable et il apparaît une branche inhomogène supérieure qui est toujours métastable. Pour ces valeurs de 5 et de p, on voit donc que 1, est un point de coexistence de phase entre la solution inhomogène inférieure et la solution homogène.

C) En p = 2

t2,

on a une transition de phase du

donnée de

<

et p, le comportement de U en fonction de 1 comme paramètre de bifurcation. La stabilité des solutions stationnaires du domaine (ii) est schéma- tisée dans la figure 4. En résumé, l'apparition des structures dissipatives spatiales dans le modèle de

. .

second ordre entre les solutions inhomogines et la

la branche fondamentale apparaissent comme des branches instables.

Une question d'intérêt pratique important est la relation qui existe entre le choix d'une distribution arbitraire de concentration comme condition initiale et le régime stationnaire que le système atteindra

u

l 0-2

Y

O

01' O P ' 0,86 1 pour des valeurs bien particulières des paramètres que

FIG. 3. - Comportement de en fonction de 1 pour les solutions ce phénomène ne se produit Pas. Au contraire, il n'y a

stationnaires correspondant à 5 = 3 et p / 5 = 7 5 . jamais d'hystérèse ici, dans le cas des solutions paires. Notons encore que les solutions bifurquant aprts

asymptotiquement au couri de son évolution tem- solution homogène. Celle-ci se produit en 1, = 1, = 1,. Pour tout 1 > l,, il y a coexistence de phases entre les deux branches de solution inhomogènes.

d ) Lorsque p > 2

c2,

on se retrouve dans une situation similaire à (b), mais où les branches inhomo- gènes inférieure et supérieure ont des rôles inversés.

Ces résultats appellent quelques commentaires. Il est clair tout d'abord que les propriétés des diagrammes de bifurcation dépendent, outre de la nature des conditions aux limites, de la parité des solutions. L'hystérèse est caractéristique des solutions dont le nombre de demi-périodes est impair ; c'est seulement

-

112 H 0 . 112 - F

(-E)

a 3 4

E

23 .:, i _, 1 1 . ,

A _{porelle. Dans le domaine souscritique, la solution}

stationnaire instable joue dans une certaine mesure

*

le rôle de séparatrice entre deux classes de solutions

_ _ _ - - -

c e I dont les unes sont stables absolument et les autres

, R O * métastables. Lorsque la condition initiale choisie

/

I se trouve entièrement au-dessus ou en dessous de cette

séparatrice, on peut voir qu'il est impossible d'atteindre '. ...

..<. ...._, asymptotiquement un régime qui implique le fran- ... _... _{chissement de cette séparatrice. Lorsque la condition}

---

_{initiale n'est pas de ce type, la détermination du}

régime atteint finalement devient beaucoup plus

-

1 ":

' < . ,

1 !

' \\\,,

.--__

. ... .. -.7.y-T 1, 1, 12

FIG. 4. - Représentation schématique de la stabilité globale des ardue. De même au-delà du point de bifurcation,

(7)

CS-88 R. LEFEVEK

de structures dissipatives est spontanée pour toute perturbation infinitésimale de l'état homogène, la détermination des classes de perturbations conduisant soit à la branche inhomogène stable, soit à la branche inhomogène métastable, est un problème complexe. On ne peut actuellement espérer l'aborder que par des méthodes qualitatives globales comme celle décrite par Bardos dans ce volume [19].

Il est également remarquable qu'au niveau de la description déterministe, les points de coexistence de phases séparant les états métastables des états stables ne marquent pas le passage spontané d'une branche de solutions à une autre. Les états métastables possèdent dans la description déterministe, un domaine d'attrac- tion fini et pour toutes conditions initiales appartenant à ce domaine, leur durée de vie est injnie. Leur comportement sur ce point est qualitativement iden- tique à celui des états stables. Or il est bien connu que dans un système d'équilibre les points de coexistence de phases correspondent à la dégénérescence de l'énergie libre et qu'ils marquent le passage d'états métastables à durée de vie finie à des états stables à durée de vie infinie. Cette interprétation s'appuie évidemment au niveau microscopique sur la méca- nique statistique. Peut-on proposer une interpré- tation similaire pour les systèmes de non-équilibre qui trouverait sa justification à un niveau de description plus raffiné que celui des équations cinétiques ? Pour mieux comprendre le sens de cette question, il importe d'admettre que la fonction potentiel U définie par (3.16) ne jouit pas du statut privilégié, imposé par des principes fondamentaux de la physique macroscopique, qui est celui de l'énergie libre dans les systèmes d'équilibre. On verra dans la section suivante que dans les systèmes de non-équilibre, la coexistence de phases peut être définie en faisant appel à d'autres fonctions potentiel que U. Ceci en particulier grâce à une construction de Maxwell dont le point de départ n'est pas un critère dynamique comme (2.1) (cf. également référence [g]), ou directement l'équation cinétique comme dans la théorie des catastrophes [9]. Dans quelle mesure alors les figures 2 et 3 reflètent-elles une analogie avec la théorie de Van der Waals ? Ou encore, dans quelle mesure ces résultats sont-ils la traduction d'une réalité microscopique plus fine ? Aborder ce problème suppose que l'on jette un pont entre l'évolution des grandeurs moyennes et la multitude de degrés de liberté qui sont à leur base. L'approche qui s'est développée le plus rapidement au cours de ces dernières années, consiste à tenir compte des fluctuations des systèmes par des méthodes semi-phénoménologiques qui s'appliquent à l'étude des phénomènes stochastiques. Quelques résultats seront commentés plus loin.

4. Coexistence de phases : définition cinétique et définition thermostatique. - Dans la suite je me limiterai à l'étude de systèmes de non-équilibre homogènes. Lorsque ces systèmes présentent une

multiplicité de solutions stationnaires, ce phénomène soulève les mêmes questions qualitativement que les structures dissipatives spatiales que nous avons décrites dans la section précédente. Toutefois, le traitement mathématique de ces situations, particulièrement au-delà de la description macroscopique, est beaucoup plus simple et plus développé que celui des systèmes avec diffusion.

Je considérerai un système moins hypothétique que le modèle de Schlogl. II s'agit d'un système de type prédateur-proie qui a été introduit récemment pour décrire certains aspects de la surveillance immunitaire à médiation cellulaire dont le rôle est de s'opposer à l'apparition et à la croissance des tumeurs dans les tissus [IO, 11, 121. Sous sa forme la plus simple, la cinétique de croissance de la population de cellules néoplastiques dans un tissu obéit à une équation phénoménologique de la forme :

où a, 8,

p

sont des paramètres sans dimension constants et x est lié au rapport entre le nombre de cellules anormales et normales dans un élément de volume donné; a caractérise une étape qui produit x selon une cinétique de type unimoléculaire; 8 a la signi- fication de l'inverse d'un carrying capacity au sens de Verhulst;

B

peut être considéré comme la vitesse maximum d'une réaction cytotoxique de type Michae- lis-Menten. Les trois termes du membre de droite de (4.1) se rapportent donc en fait à trois processus distincts : transformation des cellules normales en cellules néoplastiques, réplication de ces cellules, élimination par une réaction immunitaire saturable.

Les solutions stationnaires de (4.1) sont les racines d'une cubique qui admet trois racines réelles positives lorsque :

Les courbes d'état stationnaire en fonction de

fl

sont schématisées dans la figure 5, et se comportent comme des isothermes pression-volume dans la théorie de Van der Waals. Au point critique, on a :

(4.3) Le potentiel cinétique U(x) que l'on peut obtenir directement à partir de l'équation cinétique s'écrit :

(8)

S T A H I L I T ~ <;L.OIiALt ET MCCAKISMES D E 1:LUCTUATIONS DES STRUCTURES DISSIPATIVES C5-89

FIG. 5. -

naires du critique,

- Représentation schématique des courbes d'état station- modèle (4.1) cn fonction de In p. En dessous du point le point de coexistence de phase est donné par

une construction de Maxwell.

On trouve :

Considérons maintenant une définition alternative du point de coexistence. En contraste avec la définition précédente dont le point de départ est l'équation cinétique ou le critère d'évolution (2. l), je l'appellerai la définition thermostatique du point de coexistence. En effet, elle consiste à interpréter formellement l'équation d'état stationnaire :

comme l'équation de conservation d'un système fermé, ou il se déroule une transformation chimique dont elle exprime la condition d'équilibre [13]. Pour cela, réécrivons (4.7) sous la forme :

(1 - 2)

- - -

pe-

l

-

_L(X)

_.

_(4.8)

X x:(X

+

x;') (2 - x - l x + )

Le membre de droite est une fonction définie positive où

L'équation (4.8) est alors considérée comme la condition d'équilibre de la réaction :

dont la constante d'équilibre effective est L(X). L'énergie libre de Gibbs G du système obéit alors à la relation :

ce qui donne après intégration et en réarrangeant :

avec : [ = 1

+

4 NO. II est évident que (4.12) n'est pas réductible à (4.5). Dans ces expressions, seule la localisation des extrema et le point critique (4.3) sont les mêmes.

Le point de coexistence où les minima de (4.12) sont égaux est en général différent de celui de U(x). Ainsi, pour a = O et O 6 1, on trouve la valeur

&'

:

qui diffère d'autant plus de (4.6) que 0 est petit. On se trouve donc en face d'une ambiguïté. Pour cerner sa nature, analysons maintenant les propriétés stationnaires de ce système en fonction des fluctuations qu'il est susceptible de présenter.

5. Effets des fluctuations sur le point de coexistence de phases. - Les fluctuations sont généralement introduites en supposant qu'elles sont markoviennes et descriptibles par une représentation discrète des processus chimiques, de type birth and death (équation maîtresse, cf. Malek-Mansour dans ce volume), ou par un processus de diffusion (équation de Fokker- Planck [14]). Les résultats obtenus ainsi en ce qui concerne les transitions de phase de non-équilibre et le rôle des fluctuations internes sont identiques. D'autre part des équations Fokker-Planck ont égd-

lement été dérivées pour décrire l'effet de fluctuations externes se manifestant au travers des para- mètres d'un système. Considérons ces deux classes de fluctuations plus en détail.

5. a FLUCTLJATIONS INTERNES. - NOUS SUppOSOnS

que les paramètres a, 8,

p

dans (4.1) sont strictement constants et que seules se produisent des fluctuations de la variable interne x du système. Si N est le nombre total de cellules d'un élément de volume AV, il est facile de montrer que la solution stationnaire de l'équation maîtresse associée à (4.1) et donnant la probabilité d'avoir X cellules anormales, est :

A la limite N -+ GO, ceci devient :

P(X) cc exp {

-

NG(x) ) ( 5 . 2 )

(9)

où G(x) est donné par (4.12). On constate donc qu'à la limite d'un grand système, le potentiel qui est associé à l'équation maîtresse n'est pas celui obtenu par la cinétique, mais celui obtenu sur base de considérations de type équilibre. Ceci bien entendu malgré le fait qu'à la limite N -t oo, I'évolution du premier moment de

I'équation maîtresse est donnée par l'équation ciné- tique (4.1) quand on néglige les contributions des moments d'ordres supérieurs. La distribution de probabilité résultant des fluctuations internes et la stabilité ou métastabilité des états macroscopiques ne peuvent donc pas être déterminées par des arguments exclusivement cinétiques. Ceci, car précisément au voisinage des points de transition, les contributions des moments d'ordres élevés deviennent d'ordre un dans l'équation d'évolution du premier moment.

5 . b F ~ u c i . u ~ r i o ~ s E X T ~ K ~ E S . NOUS allons maintenant adopter le point de vue suivant : le mécanisme de fluctuations est d'origine externe et il agit au niveau des paramètres de contrôle du système. Commençons par examiner ce qui se passe lorsque le paramètre a fluctue autour d'une valeur moyenne oi et avec une variance a2. Nous supposerons que l'échelle de temps de ces fluctuations est beaucoup plus rapide que l'évolution macroscopique de x, et que leur temps de corrélation peut être considéré comme nul. C'est-à-dire que nous idéalisons les fluctuations comme étant du bruit blanc. En vertu du théorème central limite, nous considérerons que ce bruit blanc est gaussien :

Er, = 8 ; Ea, a,. = a2 d(t - t')

.

(5.3) Nous pouvons maintenant associer à (4.1) l'équa- tion différentielle stochastique :

E + ( 1 - OX)X

-p-

] d t + a d ~ , x + l

(5.4)

=

f

(x) dt

+

G(x) d W,

W, est le processus de Wiener dont la dérivée au sens des processus stochastiques généralisés [16] est le bruit blanc gaussien. L'équation de Fokker-Planck correspondant à (5.4) s'écrit :

et a la solution stationnaire :

où W-' est la norme et où l'on retrouve le potentiel cinétique U(x). Ceci suggère que U(x) décrit plutôt

l'influence d'une source extérieure de bruit dont l'efit est de produire et de consommer aléatoirement x. Ce type de fluctuations ne devient équivalent à des fluctuations internes que dans les systèmes linéaires ou les systèmes au voisinage immédiat de l'équilibre thermodynamique. Considérons maintenant le cas où la fonction de bruit dépend de la variable d'état x. Il a été montré récemment qu'en ce cas l'impact des fluctuations externes sur le comportement macroscopique est beaucoup plus profond [17, 181.

6. Effet des fluctuations externes au niveau de

p.

-

Nous associons à (4.1) l'équation différentielle stochastique :

qui est équivalente à l'équation de Fokker-Planck :

Sa solution stationnaire est :

On vérifie facilement que O et oo sont des frontières naturelles. Les extrema de (6.3) peuvent être calculés de l'équation :

Les résultats de cette analyse sont représentés dans la figure 7. Les courbes en trait plein sont les solutions stationnaires de I'équation (4.1) pour différentes valeurs de a. Afin de montrer que les fluctuations externes peuvent altérer complètement le comportement macroscopique, nous avons choisi une valeur de ci telle que, dans la description déterministe, le

système n'admette qu'une solution stationnaite pour toutes valeurs de

p.

On se trouve donc au-dessus du point critique (a, = 2,7). Les courbes en trait inter-

(10)

STABILITE GLOBALE ET MÉCANISMES D E FLUCTUATIONS DES STRUCTURES DISSIPATIVES C5-91

F i G . 6. - Courbes solides : solutions stationnaires de I'équa- tion (4.1). Courbes interrompues : extrema de la densité de proba- bilité en fonction de /?, pour a = 4,5 et plusieurs valeurs de a2.

FIG. 7. - Densité de probabilité en fonction de x, pour trois valeurs de a2 (z = 4.5. /i = 7.5).

(deux maxima et un minima) lorsque la variance est comprise dans un certain intervalle. Ce comportement est montré plus en détail dans la figure 7. Si la variance est suffisamment petite, par exemple a2 = 3, p,(x) a un extrema qui est situé dans le voisinage immédiat de la solution stationnaire déterministe x,. Le fait d'augmenter la variance a pour effet de faire apparaître un maxima supplémentaire près de x = O. La hauteur de ce pic croît avec a2 tandis que finalement le pic près de x, disparaît. Pour les valeurs de a, 8,

fi

choisies, ceci se produit aux environs de a2

=

33, ainsi qu'on peut le voir sur les figures 6 et 7. Cet exemple montre clairement qu'en augmentant l'intensité du bruit externe, on peut induire une transition de phase même bien au-dessus du point critique. Ceci sans que la valeur moyenne du paramètre fluctuant ne change.

Ce comportement ne peut évidemment pas se produire lorsque ainsi que dans la théorie du mouvement brownien et ainsi que nous l'avons fait dans la section précédente le terme de bruit correspond à une diffusion constante dans l'équation de Fokker-Planck.

7. Conclusions.

-

Les résultats discutés ici, illus- trent que, par certains aspects, les structures dissipatives sont une généralisation loin de l'équilibre des transitions ordre-désordre d'équilibre. Cette similitude se manifeste dans les mécanismes de transition, dans les propriétés de stabilité globale, dans le fait qu'il s'agit d'un ordre supra-moléculaire qui implique une, multitude de degrés de liberté et qui découle de processus élémentaires d'interaction coopératifs. Cepen- dant ce qui confère aux structures dissipatives leur caractère absolument original, c'est le fait qu'elles ne peuvent être maintenues que par la dissipation d'énergie, laquelle ne peut trouver sa source que dans l'environnement. Ceci a comme conséquence que les propriétés macroscopiques des structures dissipatives deviennent, bien plus que ce n'est le cas à l'équilibre, explicitement dépendantes de paramètres physiques comme les dimensions du système, sa forme géo- métrique, ses conditions aux limites..

.,

toutes pro- priétés qui décrivent ses relations avec l'environnement. Il n'est donc pas étonnant que la longueur du système soit un paramètre de bifurcation dont la valeur contrôle le type de solutions possibles. Changer la longueur d'un système chimique est une façon simple de modifier le niveau des interactions avec I'environnement. Ainsi la taille est un paramètre naturel dans les phéhomènes biologiques couplant des processus de réplication cellulaire et de morpho- genèse.

(11)

C5-92 R. LEFEVER

néanmoins se produire pour autant que la variance des Remerciements.

-

Ce travail fait partie d'un pro- fluctuations autour de cette valeur moyenne soit gramme de recherches supporté par le Gouvernement. suffisamment grande. Un tel effet constitue un Belge : Actions de Recherches Concertées, conven- exemple frappant d'ordre par le bruii. tion no 7618 1 I I . 3.

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