Modélisation de Films Minces

Texte intégral

(1)Modélisation de Films Minces Hamdi Zorgati. To cite this version: Hamdi Zorgati. Modélisation de Films Minces. Mécanique [physics.med-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2004. Français. �tel-00008875v2�. HAL Id: tel-00008875 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00008875v2 Submitted on 13 Apr 2005. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2)

(3)

(4) .

(5)

(6) .

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13) . .

(14) . .

(15) . ! !" #$ % & $ %$ ' ()( (* + ! $ * % % !%$+. ,. ! " #$%.

(16) Mis en page avec la classe thloria..

(17) Remerciements Je tiens tout d’abord à exprimer ma profonde gratitude et ma sincère reconnaissance à M. Hervé Le Dret qui m’a encadré pendant cette thèse. Je le remercie pour sa grande disponibilité sa patience, ses précieux conseils et son optimisme contagieux. Je le remercie aussi pour les sujets passionnants vers lesquels il m’a dirigé et toute l’aide qu’il m’a fournit et grâce à laquelle j’ai pu mener à terme ce travail. Je lui en suis infiniment reconnaissant. Je remercie également mes rapporteurs, M. Philippe Destuynder et M. Régis Monneau d’avoir accepté de rapporter sur cette thèse et je les remercie du temps qu’ils ont consacré à la lecture de ce travail. Mme Patrizia Donato, Mme Annie Raoult et M. Frédéric Hecht me font l’honneur de faire partie du jury je leur en suis très reconnaissant. Je tiens à remercier Olivier Pantz qui me fait aussi l’honneur de participer au jury, pour les discussions fructueuses que j’ai eu avec lui surtout en début de ma thèse, son amitié et sa sympathie. Je voudrais remercier le laboratoire Jacques-Louis Lions pour m’avoir si bien accueillit en son sein, la très belle ambiance qui s’y trouve et les visages souriants qu’on croise dans ses couloirs. Je remercie les différents personnels administratifs du labo, Mme Boulic, Mme Lacrampe, M. Legendre, Mme Loriller et Mme Ruprecht, pour leurs compétences et leurs gentillesse. Je remercie M. David pour sa disponibilité, sa gentillesse et son accueil très chaleureux. Je remercie également l’Université de Paris Dauphine et plus précisément M. Le Duc et Mme Pons ainsi que CEREMADE chez qui j’ai effectué mes premiers pas dans le monde de l’enseignement. Un grand merci pour tous mes enseignants à la faculté des sciences de Tunis pour tout ce qu’ils m’ont appris pour leur soutient et leurs encouragements. Je remercie pour leur amitié et leur agréable compagnie mes amis les doctorants, postdoctorants, jeunes chercheurs Abedellatif, Adel, Adrian, Alexandra, Anna, Antoine, i.

(18) Augusto, Basarab, Cecile, Cristinel, David, Delphine, Fethi, Filipa, Hajer, Hammadi, Hassan, Hyam, Jean Baptiste, Jean Francois, Julien, Karim, Laurent, Marcella, Marjolaine, Martin, Mounir, Mourad, Nicolas, Paolo, Pascal, Paul, Philippe, Radu, Saima, Sever, Sonia, Sorin, Slah, Stefane, Taoufiq, Terence, Valérie, Vincent... Vient le tour de mes compagnons de sorties à Paris sans qui je n’aurais jamais su apprécier la splendeur de cette ville, Alessandra, Gaetano, Gianluca, Giuseppe, Haithem, Luisa, Maria Luisa, Maria Vittoria, Nouri, Petra, Romain, Valentina... Un petit saut au dessus de la méditerranée et je me retrouve chez moi à Tunis ; Je ne pourrais jamais remercier assez mes parents ma soeur et mes frères qui m’ont toujours soutenu et infiniment encouragé.... ii.

(19) À mes parents,. iii.

(20) iv.

(21) Table des matières Introduction générale 1. 3. Films courbés minces martensitiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.1. Développement asymptotique formel . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.2. Comportement des minimiseurs et -convergence . . . . . . .. 8. 2. Films courbés hyperélastiques fixés à un substrat rigide . . . . . . . . .. 9. 3. Films courbés minces ferromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Chapitre 1 Rappels mathématiques et préliminaires géométriques 1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 1.2. Notations et préliminaires géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 1.3. Rappels sur la -convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. Partie I Matériaux martensitiques. 29. Chapitre 2 Films courbés minces martensitiques - Développement asymptotique formel 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 v.

(22) Table des matières 2.2. 2.3. Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1. Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 2.2.2. Développement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38. 2.2.3. Résolution des problèmes de minimisation . . . . . . . . . . . . 47. Applications à des exemples de films de forme simple . . . . . . . . . 55 2.3.1. Cas des films plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. 2.3.2. Cas d’un film de forme cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . 57. 2.3.3. Cas d’une portion de sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59. Chapitre 3 Films courbés minces martensitiques - -convergence 3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. 3.2. Existence de minimiseurs pour l’énergie à épaisseur fixée . . . . . . . . 68. 3.3. Calcul de la -limite et comportement des minimiseurs. 3.4. Retour à la configuration de référence initiale . . . . . . . . . . . . . . . 96. . . . . . . . . 75. Partie II Matériaux hyperélastiques. 103. Chapitre 4 Film courbé mince collé à un substrat avec une condition de non interpénétration. vi. 4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108. 4.2. Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109. 4.3. Calcul de la -limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115. 4.4. Retour à la configuration initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.

(23) Partie III Matériaux ferromagnétiques. 137. Chapitre 5 Films courbés minces ferromagnétiques 5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. 5.2. Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145. 5.3. Comportement de l’énergie magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . 148. 5.4. Calcul de la -limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162. 5.5. Retour à la configuration de référence initiale . . . . . . . . . . . . . . . 174. 5.6. Application à la version courbée du modèle de Gioia et James . . . . . 178. 5.7. Modèle avec champ magnétique extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . 180. Conclusions générales. 183. Bibliographie. 187. Résumé. 191. Abstract. 191. vii.

(24) Table des matières. viii.

(25) Introduction générale. 1.


(27) Introduction générale Le travail de cette thèse porte sur la modélisation des films minces courbés dans divers contextes. Les films minces sont des objets tridimensionnels occupant un domaine ouvert ayant une surface moyenne et une épaisseur suivant la normale à la surface moyenne très faible par rapport aux dimensions de la surface moyenne. En raison de la structure très fine de ces films, ils peuvent subir de grandes déformations même lorsqu’ils ne sont soumis qu’à des forces de faible intensité. Notre travail se place dans le cadre de la mécanique des solides et de l’électromagnétisme. On utilise principalement les outils mathématiques de l’élasticité non linéaire et du calcul des variations. L’importance de l’élasticité non linéaire est due au fait que l’élasticité linéaire n’est qu’une approximation de l’élasticité non linéaire qui ne peut décrire que des déformations assez petites. Il en va de même pour le ferromagnétisme où l’on utilise des modèles non linéaires. Les problèmes que nous traitons sont écrits sous la forme de problèmes de minimisation d’une énergie décrivant le comportement du film, sur un ensemble de déformations, ou de magnétisations dans le cas des films ferromagnétiques, admissibles. À partir de modèles tridimensionnels et en faisant tendre l’épaisseur du film vers zéro, on obtient une justification de modèles bidimensionnels. Parmi les moyens couramment utilisés pour obtenir les modèles bidimensionnels, on trouve l’approche classique fondée sur des Ansatzs portant sur la forme des déformations tridimensionnels. Ce type d’approche utilise des développements asymptotiques formels. Il a permis d’obtenir plusieurs modèles et théories bidimensionnelles (voir Frie3.

(28) Introduction générale drichs et Dressler [32], Goldenviezer [34], Ciarlet et Destuynder [19], Ciarlet [13], Destuynder [28], Fox, Raoult et Simo [31], Miara [42], Pantz [44]...). Un second type d’approche plus récent est l’approche variationnelle dans laquelle on n’effectue pas d’Ansatz, mais où l’on utilise principalement la théorie de la -convergence. Cette théorie permet d’étudier la convergence des minimiseurs d’une suite de problèmes du calcul des variations (voir Acerbi, Buttazzo et Percivale [1], Percivale [45], Le Dret et Raoult [38] et [39]...). L’importance des modèles bidimensionnels obtenus réside dans le fait qu’on peut les utiliser à la place des modèles tridimensionnels complets lorsque l’épaisseur est suffisamment petite. En outre, les modèles bidimensionnels sont à priori plus simples que leur contrepartie tridimensionnelle ce qui facilite leur étude. Ils permettent aussi d’effectuer des simulations numériques moins coûteuses des simulations tridimensionnelles. On considère donc un film occupant un domaine ouvert courbé dont l’épaisseur très faible par rapport aux autres dimensions. Ensuite, on fait tendre l’épaisseur. est vers. zéro et on étudie le comportement asymptotique de l’énergie régissant le film, ainsi que de ses minimiseurs lorsqu’ils existent. Le domaine courbé occupé par le film est de la forme. . . . Ê avec. . . . . . . (1). où est une surface courbée de Ê , image d’un ouvert borné de Ê à travers un -. . difféomorphisme et où . . . désigne la normale à au point (voir chapitre 1).. Dans cette thèse, on étudie trois sortes de films. Il s’agit tout d’abord de films martensitiques, puis de films hyperélastiques collés à un substrat rigide et fixe mais susceptible de se décoller, et enfin de films ferromagnétiques.. 1 Films courbés minces martensitiques Les matériaux martensitiques font partie des alliages à mémoire de forme. L’intérêt de ce type de matériaux réside dans le changement de forme qu’ils subissent lors d’un 4.

(29) 1. Films courbés minces martensitiques refroidissement brusque qui les amène de la phase austénite à la phase martensitique au cours d’une transformation applée transformation martensitique. Plus intéressant encore, de tels matériaux peuvent retrouver leur forme initiale grâce à un simple réchauffement, d’où le caractère à mémoire de forme. Les formes différentes que prend donc un objet composé d’un matériau martensitique à haute température et à basse température, confèrent à ce type de matériaux une grande utilité dans divers domaines de l’industrie tels que l’industrie médicale ou l’industrie aéronautique. Dans notre travail, nous nous intéressons au comportement d’un solide composé d’un matériau martensitique se trouvant dans la phase martensitique à basse température, c’est-à-dire après avoir subi la transformation martensitique. L’état d’équilibre d’un film courbé mince d’épaisseur maine. martensitique occupant un do-. et subissant une déformation est décrit par les minimiseurs de l’énergie. régissant son comportement. Celle-ci est constituée d’une partie d’énergie élastique interne non linéaire et d’un terme d’énergie d’interface du type Van der Waals due au changement de phase. . . .

(30) . (2). où

(31) est une constante strictement positive, est le tenseur. des dérivées. secondes et représente l’énergie élastique par unité de volume du matériau comme fonction du gradient de la déformation . On s’intéresse au comportement de cette énergie et de ses minimiseurs sur un ensemble de déformations admissibles de la forme. . où . Ê sur. est une matrice constante de et. lorsque l’épaisseur. . est la surface latérale de. (3). ,. du film tend vers zéro.. On commence notre étude par un changement de variables qui nous permet de travailler sur un domaine indépendant de l’épaisseur . L’énergie qu’on obtient s’écrit sur un domaine de la forme. . . Ê . et . . . (4) 5.

(32) Introduction générale Cette énergie par unité d’épaisseur s’écrit sous la forme. avec. et. ½.

(33)

(34)

(35).

(36)

(37)

(38) . (5). (6). .

(39). . . . . . . . .

(40)

(41) .

(42) ½

(43) . (7) Æ

(44)

(45) . . Afin d’étudier le comportement de cette énergie ainsi que celui de ses minimiseurs on procède dans un premier temps à un développement asymptotique formel basé sur un Ansatz. Ce développement asymptotique formel nous donne alors l’expression de l’énergie limite, qu’on retrouve ensuite par -convergence mais cette fois sans utiliser d’Ansatz.. 1.1 Développement asymptotique formel La méthode du développement asymptotique formel pour les plaques a été introduite tout d’abord par P.G. Ciarlet et P. Destuynder dans [19] et P.G. Ciarlet [14]. Une autre approche de cette méthode utilisant une formulation variationnelle seulement en terme de déplacement a été élaborée par A. Raoult dans [46]. On peut trouver une description générale de cette méthode et des nombreux travaux dans lesquels elle a été utilisé dans P.G. Ciarlet [17]. Cette méthode a ensuite été raffinée et améliorée en terme d’hypothèses par D.D. Fox, A. Raoult et J.C. Simo dans [31]. Ces auteurs résolvent une suite d’équations d’Euler-Lagrange. Dans notre cas, la méthode qui semble la plus adéquate et la plus simple pour procéder au développement asymptotique formel, est celle développée par O. Pantz dans [44] et qui amène à la résolution d’une suite de problèmes de minimisation. On pose donc un Ansatz selon lequel toute solution du problème de minimisation admet un développement en puissances positives de . On démontre alors, que l’énergie 6.

(46) 1. Films courbés minces martensitiques elle-même admet un développement en puissances de. . . de la forme. . . (8). En utilisant ensuite la méthode de développement asymptotique introduite par O. Pantz dans [44], on montre la proposition suivante Proposition 0.1.1. Après minimisation des énergies . . . . et , l’énergie obtenue. est de la forme.

(47) det . ½. avec. . (9). . où . Ê Æ sur . (10). vérifiant. et . (11). et. . . . . . . . (12). . . Æ (13) où les fonctions et sont prises au point . . On vérifie ensuite que nos résultats coïncident avec ceux de Bhattacharya et James (voir [8]) pour les plaques. Enfin, on les applique à quelques exemples simples de films courbés tels que le cylindre et la sphère. Dans le chapitre suivant, on calcule la -limite de l’énergie . et on procède à une. étude plus précise du comportement des minimiseurs de l’énergie. 7.

(48) Introduction générale. 1.2 Comportement des minimiseurs et -convergence On commence cette étude en démontrant l’existence de minimiseurs de l’énergie à épaisseur constante. Ce résultat d’existence est obtenu grâce au terme d’énergie d’interface dépendant du tenseur des dérivées secondes de la déformation. On passe ensuite au calcul de la -limite de l’énergie qu’on a prolongé à l’espace Ê . La -convergence est une notion introduite par De Giorgi [26], [27]. Elle a été utilisée à maintes reprises pour étudier le comportement limite des films minces. Grâce à ce résultat de -convergence on obtient le corollaire suivant qui nous donne le comportement asymptotique des minimiseurs de l’énergie . Corollaire 1. La famille des minimiseurs suite (encore notée par . ) telle que. . . ¾. . . Ê de sur admet une sous-. fortement dans Ê . fortement dans Ê . fortement dans Ê . (14). où . minimise l’énergie limite

(49)

(50)

(51)

(52) ½

(53)

(54) Æ

(55) (15). sur avec. . Ê Ê Ê vérifiant et sur . . . Dans le modèle limite que l’on obtient ainsi et qui correspond au modèle limite obtenu par développement asymptotique formel, un terme en dérivées secondes par rapport à la troisième variable intervient, lequel n’apparaît pas dans le cas plan. Ce terme est dû au caractère courbé du film. Cependant, ce terme ne joue aucun rôle dans la minimisation de l’énergie limite. Par contre, il y a apparition d’un terme d’ordre zéro en qui ne disparaît pas lors de la minimisation. En effectuant un changement de variables inverse, on obtient une énergie limite bidimensionelle, matériellement indifférente, écrite 8.

(56) 2. Films courbés hyperélastiques fixés à un substrat rigide sur la surface courbée et dépendant de la déformation et d’un vecteur de Cosserat. Cette énergie a comme expression.

(57)

(58)

(59)

(60)

(61) .

(62)

(63)

(64) (16). 2. Films courbés hyperélastiques fixés à un substrat rigide On étudie dans ce chapitre le comportement asymptotique d’un film courbé hyper-. élastique fixé à un substrat rigide lorsque son épaisseur tend vers zéro. L’état d’équilibre du film est décrit par les minimiseurs de l’énergie sur un ensemble de déformations admissibles qu’on choisit de telle manière à ce qu’il n’y ait pas d’interpénétration entre le film et le substrat. On s’intéresse au comportement asymptotique de l’énergie et de ses minimiseurs, quand ils existent, lorsque l’épaisseur du film tend vers zéro. Dans [7], K. Bhattacharya, I. Fonseca et G. Francfort ont étudié le comportement asymptotique de films minces superposés, subissant une déformation et ayant chacun une densité d’énergie élastique interne tout en permettant leur décollement lequel sera pénalisé par une énergie d’interface. Leur travail est basé sur l’analyse asymptotique par -convergence des plaques non homogènes éffectuée par A. Braides, I. Fonseca et G. Francfort dans [9]. On se propose dans ce travail d’étudier le comportement d’un film courbé mince posé sur un substrat rigide dont la surface supérieure est courbée. On suppose que le contact entre le film et le substrat a lieu au repos en tout point de la face inférieure du film. On impose en outre aux déformations que subit le film une condition de non interpénétration, voir J. Ball [6], P. Ciarlet et J. Neˇcas [20] et [21] et Q. Tang [49]. Cette condition est très importante du point de vue physique puisque dans les problèmes de solides en contact, il est impossible qu’une partie d’un des solides pénètre dans l’autre. On impose donc au solide déformé de rester en dehors du substrat sans pour autant interdire le contact entre les deux sur leurs surfaces. On considère donc une énergie composée d’une partie représentant l’énergie élastique interne du film et d’une autre partie d’énergie d’interface, liée au décollement 9.

(65) Introduction générale du film de son substrat. . avec. et. . .

(66). . (17). .

(67) . (18). . (19). où est la densité d’énergie élastique du film,

(68) est la densité d’énergie d’interface. avec un nombre réel et est la norme du saut de la déformation à travers l’interface entre le film et le substrat. On s’intéresse au problème de minimisation de l’énergie sur l’ensemble des déformations admissibles défini par. . Ê et sur . (20). où représente l’adhérence du complémentaire du domaine occupé par le substrat. Afin de travailler sur un domaine indépendant de l’épaisseur , on procède à un premier changement de variables. On effectue ensuite un deuxième changement de variables dans l’espace d’arrivée qui nous permet d’aplatir la surface supérieure du substrat. Ceci permet de simplifier la condition de non interpénétration et facilite le calcul de la borne supérieure de la -limite. Ainsi, l’énergie obtenue s’écrit sous la forme. avec. et. . . . ½. (21). Æ . . . .

(69) . Æ cof . (22). (23). L’ensembles des déformations admissibles s’écrit alors. . Ê

(70) et sur (24). On passe ensuite au calcul de la -limite qui nous permet d’obtenir le corollaire suivant. 10.

(71) 2. Films courbés hyperélastiques fixés à un substrat rigide. de est bornée dans et ses valeurs d’adhérence pour la topologie faible de Ê sont des minimiseurs de l’énergie Corollaire 2. Toute suite minimisante diagonale définie par. . det . Æ si

(72) et Æ

(73) . . . . det si et sinon. où désigne l’identité de Ê ,. . Ê

(74) et sur (25). et où Æ. vérifie Æ . . . si si . En procédant à deux changements de variables inverses à ceux effectués auparavant on obtient l’énergie limite écrite sur le domaine courbée. . . . Æ

(75)

(76) si

(77) et

(78) .

(79) si et sinon. où désigne l’identité de Ê ,. . (26). est la matrice identité de Ê , et sur Ê . . (27). Ê est la densité est le vecteur unitaire normal à passant par et d’énergie élastique membranaire définie par. ! . ½. ¼. Ê¿ . . . ¿ ! # $ %& & . meas " Ê. (28). 11.

(80) Introduction générale. 3 Films courbés minces ferromagnétiques Le théorie du micromagnétisme, développée par L.D. Landau, E.M. Lifschitz [35] et W.F. Brown [12], décrit le comportement magnétique d’un corps ferromagnétique. Selon cette théorie, l’état d’un corps ferromagnétique est décrit par sa magnétisation ', qui est un champ de vecteur défini sur. Ê et nul en dehors du corps, représentant la. densité volumique du moment magnétique macroscopique. Ceci signifie que ' induit un champ magnétique dans tout l’espace. Les états que l’on observe lorsqu’un corps ferromagnétique occupant un domaine est soumis à un champ magnétique extérieur. sont les minimiseurs d’une énergie dépendant de la magnétisation ' : ' ' ' ' Ê¿. . . (29). Le premier terme composant l’énergie totale est le terme d’énergie d’échange,. . . ' . (30). Ce terme pénalise les variations spatiales de la magnétisation ' afin de représenter la tendance d’un specimen à révéler des régions de magnétisation uniforme (domaines magnétiques) séparés par des couches de transition très fines (parois). Le coefficient. est une constante du matériau, strictement positive. Le deuxième terme intervenant dans l’énergie totale est le terme d’énergie anisotrope,. . . '. (31). Ce terme favorise des directions spécifiques de la magnétisation (les axes faciles) suivant lesquels on suppose que s’annule. On suppose par ailleurs que est une fonction positive et paire exhibant des symétries crystallographiques. En outre, la fonction est la restriction à . . Ê d’une fonction de Ê strictement positive.. En général, est supposée polynomiale en '. Le coefficient. contrôle l’importance. relative de l’énergie anisotrope par rapport à l’énergie magnétostatique. Cette dernière est de la forme. 12. . Ê¿ . (32).

(81) 3. Films courbés minces ferromagnétiques Elle représente l’énergie induite par la magnétisation ', où . ( est le champ. magnétique induit par ' dans Ê , et ( est un potentiel scalaire vérifiant l’équation magnétostatique div( ' sur. Ê . (33). Le dernier terme composant l’énergie totale est le terme d’énergie externe ou de Zeeman,. . . '. (34). Ce terme est dû au champ magnétique extérieur dans lequel se trouve plongé le corps ferromagnétique, pour plus de détails, voir A. De Simone [28]. À température constante la magnétisation ' vérifie en outre une condition assurant que le matériau soit toujours saturé. Cette condition prend la forme. ' sur . (35). avec une constante strictement positive, qu’on suppose ici égale à 1 sans perte de généralité. L’étude des films minces ferromagnétiques présente un grand intérêt puisqu’on trouve ce type de matériau dans divers secteurs de l’industrie. Citons à titre d’exemple les bandes audio et vidéo, lesquelles sont des rubans ferromagnétiques utilisés pour obtenir des enregistrements audio ou vidéo de haute densité. Dans un premier temps, afin d’étudier ce type de films minces, quelques auteurs ont considéré des films très larges à épaisseur fixée (voir par exemple A. DeSimone [28] et B. Dacorogna et I. Fonseca [23]). Ensuite, G. Gioia et R.D. James dans [33] ont étudié le comportement d’un film mince, avec un champ magnétique extérieur nul, lorsque son épaisseur tend vers zéro. Ces auteurs ont considéré un film mince ferromagnétique occupant un domaine d’épaisseur . Ce film a une énergie par unité de volume dé-. . pendant de la magnétisation '. G. Gioia et R.D. James montrent que la magnétisation minimisant l’énergie totale du film mince converge quand. vers une magnétisation minimisant une certaine énergie. limite. Cette énergie limite est locale, c’est-à-dire que l’équation magnétostatique (33) 13.

(82) Introduction générale disparaît complètement du modèle limite. G. Gioia et R.D. James montrent aussi que la magnétisation limite est indépendante de la direction normale au film plan, c’est-à-dire que le modèle limite est bidimensionnel. Dans [4], R. Alicandro et C. Leone ont généralisé le travail de G. Gioia et R.D. James en considérant une densité d’énergie plus générale, dépendant de la magnétisation et de son gradient, vérifiant des hypothèses de croissance et englobant les deux parties d’énergie d’échange et d’énergie anisotrope. Ils utilisent pour cela la notion de quasiconvexification tangentielle introduite par B. Dacorogna, I. Fonseca, J. Maly et K. Trivisa dans [24] pour trouver la relaxation d’une classe d’énergies où la déformation est contrainte à rester dans une -variété de dimension ) de Ê . Nous reprenons ici les travaux de G. Gioia et R.D. James ainsi que celui de R. Alicandro et C. Leone pour les adapter aux cas des films courbés. Après le changement de variables usuel qui nous permet de travailler sur un domaine plan, l’énergie s’écrit sous la forme. ' . . ½. ' ' ' ' . ( ( ( ' (36). . et l’équation magnétostatique s’écrit. . . ( ' . . sur Ê . (37). On commence par étudier le terme d’énergie magnétostatique. . . ' ( ( ( ' ½ . (38). en examinant le comportement du potentiel magnétostatique vérifiant l’équation (33). On obtient la proposition suivante.. une suite de fonctions Ê Ê telle que ' sur et ' sur vérifiant ' ' fortement dans Ê Ê , et soit ( ' la . On a alors solution de l’équation magnétostatique (5.30) associée à ' Proposition 0.3.1. Soit ' . ( ' dans Ê Ê et ( ' * 14. dans Ê . (39).

(83) 3. Films courbés minces ferromagnétiques. Ê vérifie. où *. . * . Ê¿. ½. ' . où représente le troisième vecteur colonne de . . . (40). . et qui est égal à le troisième vecteur de la base covariante associée au difféomorphisme sur . De plus,. ' ' . . ½. . ' . (41). On passe ensuite au calcul de la -limite de l’énergie totale qui nous permet d’obtenir le corollaire suivant sur le comportement des minimiseurs. Corollaire 3. Toute suite minimisante diagonale '. '. Ê Ê vérifiant '½. de est bornée dans. Ê . ' . et ses valeurs d’adhérence pour la topologie faible de Ê. '. . p.p. sur et ' p.p. sur (42). appartiennent à. et ' sur . (43). et minimisent l’énergie définie par. ' où. . . . . ' ' ' ' . (44). désigne l’enveloppe quasiconvexe tangentielle de la relaxée de .. En effectuant le changement de variables inverse, on trouve que l’énergie limite écrite sur la surface courbée est de la forme. ' où . .

(84). ' ' ' . (45). est désigne le vecteur unitaire normal à au point et . définie par. & ! . ¼½ meas" . . . . & ! # $ %+ + (46) 15.


(86) Chapitre 1 Rappels mathématiques et préliminaires géométriques. 17.

(87) Chapitre 1. 18. Rappels mathématiques et préliminaires géométriques.

(88) Chapitre 1 Rappels mathématiques et préliminaires géométriques Sommaire 1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 1.2. Notations et préliminaires géométriques . . . . . . . . . . . . . . . 20. 1.3. Rappels sur la .-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 19.

(89) Chapitre 1. Rappels mathématiques et préliminaires géométriques. 1.1 Introduction On va étudier dans tout ce qui suit le comportement de films courbés minces d’épaisseur. occupant des domaines ouverts lorsque leur épaisseur. tend vers zéro. Pour. cela, on est amené avant de commencer l’analyse asymptotique, à effectuer un changement de variables afin de travailler sur un domaine d’épaisseur fixe indépendante de . On étudie en suite le comportement asymptotique de l’énergie décrivant l’état d’équilibre de ces films courbés et de ses minimiseurs (quand ils existent) lorsque l’épaisseur tend vers zéro. L’outil principal qu’on utilise pour faire cette analyse asymptotique est la -convergence qui fournit simultanément l’énergie limite et le comportement des minimiseurs. Dans le cas des films martensitiques ou hyperélastiques posés sur un substrat les énergies étudiées ont une partie d’énergie interne dépendant du gradient de la déformation que subit le film courbé et une autre partie qui dépend soit du tenseur des dérivées secondes de la déformation (énergie d’interface du type Van der Waals), soit de la déformation elle même (énergie d’interface d’un autre type dépendant du saut de la déformation). L’énergie étudiée dans le cas des films ferromagnétiques comporte une partie d’énergie dépendant de la magnétisation et de son gradient englobant l’énergie d’échange et l’énergie anisotrope et une partie d’énergie magnétostatique dépendant de la magnétisation et du champ magnétique qu’elle induit. On commence donc par une description de la géométrie du film courbé dans sa configuration initiale. On rappelle ensuite la définition et les propriétés principales de la -convergence.. 1.2 Notations et préliminaires géométriques Soit . la base orthonormée canonique de l’espace euclidien Ê . La norme d’un vecteur , de Ê est notée , , le produit scalaire de deux vecteurs ( et , par ( , ,. leur produit vectoriel par ( , et leur produit tensoriel par ( , . Soit l’espace des. . à coefficients réels muni de la norme usuelle ! = tr! ! . On note la matrice de dont la première colonne est , la deuxième est et la troisième est . On note par le tenseur des dérivées secondes d’une. matrices. 20.

(90) 1.2. Notations et préliminaires géométriques déformation Ê .. Å l’ensemble des tenseurs à coéfficients réels. Soit - un tenseur d’ordre 3, le tenseur - de composantes ) est le transposé de - par rapport au second et au troisième indice. Soit - un tenseur d’ordre

(91) et soit un tenseur d’ordre )

(92) . On appelle produit tensoriel contracté des tenseurs et qu’on note - , le tenseur d’ordre ) dont les composantes sont obtenues On note par. par sommation des produits des composants de - et posantes de - et le premier indice de celles de. sur le dernier indice des com-. . Par exemple, si . et ) on. a. - -. . . (1.1). Tout au long de ces travaux, on utilisera la convention de sommation. Les indices grecs prennent leurs valeurs dans l’ensemble et les indices latins prennent leurs valeurs dans l’ensemble .. On considère le domaine représentant un film courbé mince d’épaisseur. dont. la surface moyenne est , une sous-variété bidimensionnelle de classe de Ê bornée . et qui admet un atlas comportant une seule carte. Soit cette carte. C’est donc un -. Ê sur . On suppose que admet une frontière lipschitzienne et que est prolongeable en une fonction de Ê . Soient les vecteurs de la base covariante du plan tangent . associés. difféomorphisme d’un ouvert borné inclus dans. à la carte , où désigne la dérivée de par rapport à la ième variable. On suppose. qu’il existe un Æ tels que.

(93) Æ. sur . (1.2). appartenant à Ê . C’est le vecteur unitaire normal au plan tangent. Les vecteurs , et constituent la base. et on définit le vecteur . covariante. On définit les vecteurs de la base contravariante par les relations. On pose . . Æ et . (1.3). . On remarque que est une matrice inversible 21.

(94) Chapitre 1. Rappels mathématiques et préliminaires géométriques sur dont l’inverse est donné par. . (1.4). On remarque aussi que det cof .

(95) Æ . sur . (1.5). Le domaine s’écrit. . Ê et pour . avec . . . (1.6). on a / . . / / / . où / est la projection orthogonale qui envoie sur . L’application / est bien définie et de classe pour. assez petit par rapport aux rayons de courbure de . On peut donc. définir les coordonnées curvilignes d’un point du domaine associé à la carte par. / et / / . (1.7). On définit le domaine par. . . Ê . . . . . . On définit ensuite, pour un assez petit, le -difféomorphisme : . . . (1.8). par (1.9). Ce difféomorphisme est l’inverse du changement de variables qu’on effectue afin de travailler sur un domaine plan, et son gradient est égal à. 22. (1.10).

(96) 1.2. Notations et préliminaires géométriques. . . . # ¿ . . Figure 1. Changements de variables. La matrice. est partout inversible et son déterminant est le jacobien du. changement de variables. Dans toute la suite,. désignera une suite quelconque de. nombres réels inférieurs à et strictement décroissante vers zéro. On pose. Æ . . et. det . (1.11). On démontre le lemme suivant. 23.

(97) Chapitre 1. Rappels mathématiques et préliminaires géométriques Lemme 1.2.1. Le -difféomorphisme vérifie les propriétés suivantes :. . + 012+)( Æ Æ + 012+)( . + 012+)( Preuve La première convergence découle du fait que, puisque est un -difféomorphisme. de dans , il en est de même pour , ce qui implique que les dérivées premières de. . sont lipschitziennes. Ceci implique que. . ½ . Æ Æ # Æ Æ # # # . ½ . ½. ½. Pour la deuxième majoration on utilise le module de continuité de . . et le fait que. est lipschitzienne. Pour une fonction 3 continue sur un compact on définit Ê. Ê par 2 max 3 3 & (1.12) ! On a On applique ceci pour 3. 2 " . on obtient que. Æ Æ # Æ Æ # Or, comme. . (1.13). ½ . . ¾ ½ # # . est lipschitzienne on a. # # # # ½. ½. 24. . (1.14).

(98) 1.3. Rappels sur la -convergence Par suite, on a. ¾ ½ # # . (1.15). ce qui nous donne la deuxième convergence. Enfin, l’application det. est. linéaire par rapport aux colonnes, ce qui implique que. det det det det . . . Par conséquent on a. . det . det . (1.16). ce qui implique que. . (1.17). ½. ce qui achève la démonstration.. 1.3 Rappels sur la -convergence Soit 4 un espace topologique, on note par l’ensemble des voisinages ouverts. 4 . Soit 5 une suite de fonctions de 4 dans Ê Ê . On définit la et la de 5 par d’un point . 5 5 & . (1.18). 5 5 & . (1.19). . # . . #. et. . # . . #. Il découle de cette définition que si 4 est un espace métrique, 5 est la. de 5. si et seulement si. 5 5 dans 4 · et 5$ est la. de 5. (1.20). si et seulement si. 5$ 5 dans 4 ·. (1.21) 25.

(99) Chapitre 1. Rappels mathématiques et préliminaires géométriques Si. 5 5. , on dit que 5 est -convergente avec. 5 5 5 . (1.22). On obtient comme conséquence de ces définitions qu’une suite 5 de fonctions d’un espace métrique 4 dans Ê. Ê est -convergente vers 5 pour la topologie de. 4 si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites pour tout 5

(100) 5 & 5 & 5 . 4. . Les propriétés de la -convergence qui nous intéressent sont des propriétés de compacité à savoir que toute suite 5. 4 Ê admet une sous suite -convergente, et que. si les minimiseurs de 5 restent dans un compact de 4 indépendant de , alors leurs valeurs d’adhérence sont des minimiseurs de 5 . On a aussi la proposition suivante qu’on peut trouver dans [25].. 5. Proposition 1.3.1. Les fonctions. et. 5. sont semi-continues infé-. rieurement pour la topologie de 4 . Preuve La démonstration découle du fait que si une fonction . est la topologie de 4 et si on considère. Ê quelconque alors la fonction définie par ! 6 # . (1.23). où désigne l’ensemble des voisinages ouverts de au sens de , est semi-continue inférieure dans 4 . En effet, soit . Ê une constante et considérons l’ensemble. &. 4 ! & . Montrons que est un ouvert de 4 . Soit #. , ceci implique que. ! # ce qui implique qu’il existe un voisinage ouvert 6. 6 26. (1.24). (1.25). # tel que (1.26).

(101) 1.3. Rappels sur la -convergence Soit . 6 quelconque. Ceci implique que 6. et donc que. ! (

(102) 6 Par conséquent, . (1.27). et par suite 6 , ce qui prouve que est un ouvert. En. appliquant ceci aux fonctions. 6 5 #. (1.28). 6 5 #. (1.29). et. et grâce aux définitions de la. et de la dans (1.18) et (1.19), on obtient. la preuve de la proposition.. Pour plus de détails sur les propriétés et les caractéristiques de la -convergence voir [5], [25], [26] et [27].. 27.

(103) Chapitre 1. Rappels mathématiques et préliminaires géométriques. 28.

(104) Première partie Matériaux martensitiques. 29.

(105)

(106) Chapitre 2 Films courbés minces martensitiques Développement asymptotique formel. 31.

(107) Chapitre 2. 32. Films courbés minces martensitiques - Développement asymptotique formel.

(108) Chapitre 2 Films courbés minces martensitiques Développement asymptotique formel Résumé On considère un film courbé mince martensitique dont le comportement est régit par une énergie composée d’une partie d’énergie hyperélastique interne non linéaire dépendant du gradient de la déformation et d’une partie d’énergie d’interface du type Van der Waals dépendant du tenseur des dérivées secondes de la déformation. On effectue un développement asymptotique formel basé sur un Ansatz pour trouver la limite de cette énergie lorsque l’épaisseur du film tend vers zéro.. Sommaire 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 2.2. Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 2.3. 2.2.1. Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 2.2.2. Développement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38. 2.2.3. Résolution des problèmes de minimisation . . . . . . . . . . . 47. Applications à des exemples de films de forme simple . . . . . . . 55 2.3.1. Cas des films plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. 2.3.2. Cas d’un film de forme cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . 57. 33.

(109) Chapitre 2. Films courbés minces martensitiques - Développement asymptotique formel 2.3.3. Cas d’une portion de sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59. 2.1 Introduction On s’intéresse dans cette étude à des films courbés minces, composés d’un matériau du type martensitique. Les matériaux martensitiques font partie des alliages à mémoire de forme. À partir d’une phase à haute température appelée phase austénite, le matériau subit une transformation réversible par refroidissement brusque appelée transformation martensitique, qui l’amène à la phase martensitique. Au cours de cette transformation qui est quasi-instantanée, le solide subit une faible variation du volume et un important cisaillement de la structure dans une direction bien déterminée. Grâce à la réversibilité de la transformation martensitique, le solide peut retrouver sa forme initiale par un simple réchauffement. Ainsi, le matériau a une forme géométrique bien définie à basse température et une forme différente à haute température. C’est là que se situe la grande importance de ce matériau dans divers secteurs d’applications tels que l’aéronautique, l’électronique et le secteur medical. Citons à titre d’exemple les microactionneurs ou les prothèses de col du fémur, lesquels ont une forme initiale facilitant leur mise en place à la température ambiante et qui prennent leur forme fonctionnelle à la température du corps humain suite à la transformation martensitique. Dans notre travail, nous allons nous intéresser au comportement d’un solide composé d’un matériau martensitique se trouvant dans la phase martensitique à basse température, c’est-à-dire après avoir subi la transformation martensitique. L’état d’équilibre d’un film courbé mince d’épaisseur maine. martensitique occupant un do-. et subissant une déformation est décrit par les minimiseurs de l’énergie. régissant son comportement. Celle-ci est constituée d’une partie d’énergie élastique interne non linéaire et d’un terme d’énergie d’interface du type Van der Waals due au changement de phase. . .

(110) . où

(111) est une constante strictement positive, est le tenseur. (2.1). des dérivées. secondes et représente l’énergie élastique par unité de volume du matériau 34.

(112) 2.2. Mise en œuvre comme fonction du gradient de la déformation . On s’intéresse au comportement de cette énergie et de ses minimiseurs lorsque l’épaisseur. du film tend vers zéro.. Pour cela on va procéder, dans un premier temps, à un développement asymptotique formel fondé sur un Ansatz afin d’obtenir une indication sur la forme de l’énergie limite. La méthode du développement asymptotique formel pour les plaques a été introduite tout d’abord par P.G. Ciarlet et P. Destuynder dans [19] et P.G. Ciarlet [13]. Une autre approche de cette méthode utilisant une formulation variationnelle seulement en terme de déplacement a été élaborée par A. Raoult dans [46]. On peut trouver une description générale de cette méthode et de quelques travaux où elle a été utilisé dans P.G. Ciarlet [16]. Cette méthode a ensuite été raffinée et améliorée en terme d’hypothèses par D.D. Fox, A. Raoult et J.C. Simo dans [31]. Ces auteurs résolvent une suite d’équations d’Euler-Lagrange. Dans notre cas, la méthode qui semble la plus adéquate et la plus simple pour procéder au développement asymptotique formel, est celle développée par O. Pantz dans [44] et qui amène à la résolution d’une suite de problèmes de minimisation. On va commencer notre étude par un changement de variables qui nous permettra de travailler sur un domaine indépendant de l’épaisseur . Ensuite on procédera au calcul des termes du développement asymptotique de l’énergie, ce qui nous amènera à la résolution des problèmes de minimisation. Les solutions obtenues nous donneront alors une idée sur l’expression de l’énergie limite puisqu’il s’agit d’une démarche formelle. On terminera enfin par une illustration de nos résultats dans le cas des plaques et de quelques exemples de films courbés de forme simple.. 2.2 Mise en œuvre 2.2.1 Changement de variables Dans son état de référence le film mince occupe le domaine introduit au chapitre. 1. On va associer à toute déformation sur l’énergie. . (2.2) 35.

(113) Chapitre 2. Films courbés minces martensitiques - Développement asymptotique formel où. . .

(114) . (2.3). représente l’énergie d’interface avec

(115) une constante strictement positive, est le tenseur des dérivées secondes et. . . . (2.4). régulière et vérifiant les hypothèses de croissance et de coercivité : . est l’énergie interne élastique, avec . % . avec ) . (2.5). ainsi que l’axiome d’indifférence matérielle, c’est-à-dire que pour toute matrice et toute rotation 7 dans " , on a. 7 , . où " 7. 7 7 det 7 est le groupe de rotations de Ê .. On s’intéresse au problème de minimisation de l’énergie sur l’ensemble des déformations admissibles défini par. . où . Ê sur. est une matrice constante de et. . (2.6). est la surface latérale de . On. étudie le comportement de cette énergie et celui de ces minimiseurs lorsque l’épaisseur du film courbé tend vers zéro. Pour cela on commence par faire un changement de variables qui nous permet de travailler sur un domaine indépendant de l’épaisseur. On procède en deux étapes. Dans la première étape, on se ramène à un domaine plan grâce. , il existe un unique . au fait que, pour tout . . Ê . 36. tel que , où. . . . . . (2.7).

(116) 2.2. Mise en œuvre ceci pour. assez petit (voir chapitre 1). Si est une déformation du film dans sa confi-. guration de référence, on définit. Ê par. Sachant que l’énergie totale est de l’ordre de. (2.8). pour le régime de déformations que l’on. vise à la limite (par définition du régime membranaire), on s’intéresse au comportement limite de l’énergie par unité d’épaisseur c’est-à-dire. Ê on pose donc. . Pour toute déformation. . (2.9). et on obtient par changement de variables. . .

(117) .

(118)

(119)

(120)

(121)

(122) Æ Æ Æ

(123) det

(124)

(125) .

(126)

(127)

(128)

(129)

(130). . . . det (La notion de produit tensoriel contracté définit ensuite l’application #. a été introduite au premier chapitre). On. Ê par. # L’application # envoie sur l’ouvert. . . Ê . et . . . (2.10). . À toute déformation sur , on associe la déformation . (2.11). Ê définie par. # . (2.12). . (2.13). . (2.14). On pose enfin. On obtient alors. 37.

(131) Chapitre 2. Films courbés minces martensitiques - Développement asymptotique formel avec. et. ½.

(132)

(133)

(134).

(135)

(136)

(137) . (2.15). .

(138). .

(139)

(140)

(141) ½

(142) . . Æ

(143) (2.16)

(144) . . qui s’écrit aussi. . ½. .

(145).

(146)

(147) Æ Æ

(148) . . . . Æ Æ Æ Æ . Æ Æ

(149) . Æ Æ

(150) (2.17)

(151) où l’on a posé. det . (2.18). et. . . Æ . (2.19). avec les notations et . On peut dès lors commencer la procédure de développement asymptotique sur le domaine .. 2.2.2 Développement asymptotique Pour pouvoir procéder au développement asymptotique, on a besoin d’une expression explicite de la densité d’énergie interne élastique . On suppose donc que le matériau est un matériau de Saint Venant-Kirchhoff, c’est-à-dire que. 8 9 tr tr pour tout . . où 8 . . . (2.20). et 9 sont les constantes de Lamé du matériau. Ce choix peut sembler. peu adapté au contexte de notre étude, puisque le matériau de Saint Venant-Kirchhoff 38. .

(152) 2.2. Mise en œuvre ne présente pas de changement de phase, alors que nous lui ajoutons une énergie d’interface. En fait, le but de cette étude formelle est de fournir une idée sur la forme de l’énergie limite pour un véritable matériau martensitique dans des cas plus généraux de façon à servir de guide dans l’étude par -convergence menée au chapitre suivant. Le matériau de Saint Venant-Kirchhoff permet des calculs explicites relativement simples, alors qu’une énergie possédant des puits de potentiel sur les différentes phases conduirait à des calculs autrement complexes. On note - . le problème consistant à trouver vérifiant : . . (2.21). avec. . où . Ê Æ sur . (2.22). est une matrice constante de .. Ansatz 1. On suppose que la solution . du problème - admet un développement en. puissances de. Remarque 1. Les dérivées premières. . . et secondes prises au point ad-. mettent chacune un développement asymptotique en puissances de . Ce développement peut. . est suffisam-. Partant de l’Ansatz 1 et de la remarque 1, on va montrer que l’énergie . admet un. être obtenu en utilisant la formule de Taylor-Lagrange et en supposant que ment dérivable.. développement asymptotique en puissances de . On obtient dans un premier temps la proposition suivante. Proposition 2.2.1. La fonctionnelle . admet un premier développement asymptotique en. puissances de. . . . (2.23) 39.

(153) Chapitre 2. Films courbés minces martensitiques - Développement asymptotique formel avec. . . ½. ½.

(154) . . .

(155)

(156) .

(157). . (2.24).

(158) (2.25). et pour tout

(159) . . ½.

(160). . . . . . .

(161) . .

(162) ½. . ½. . . (2.26). où les quantités et seront définies dans (2.47)(2.48) et (2.52), , et dans (2.35), et. sont les composantes du tenseur d’élasticité.. Remarque 2. Il faut noter que les termes que l’on obtient dépendent de . Il ne s’agit pas d’un développement asymptotique au sens usuel du terme. Néanmoins, la remarque 1 nous permettra de déduire (voir proposition 2.2.3) que puissances de. admet un second développement asymptotique en. comportant des termes indépendants de. . . . de la forme. . (2.27). On utilise ensuite la méthode de O. Pantz qui consiste à résoudre une suite de problèmes de minimisation et qui repose sur la proposition suivante démontrée dans [44]. Dans ce qui suit, on désignera par la suite Æ et l’on écrira. (2.28). Proposition 2.2.2. La solution de la suite des problèmes - est telle que . (2.29) . avec . et . 40. . . . . . Ê . . & ' . . . . .

(163) 2.2. Mise en œuvre On désigne par - le problème consistant à déterminer l’ensemble des minimiseurs. de sur. .. La proposition 2.2.2 nous permet d’obtenir la solution . de - par la résolution. de la suite récursive des problèmes - . Démonstration de la proposition 2.2.1 et calcul des termes du développement asymptotique On rappelle qu’on suppose que le matériau est un matériau de Saint Venant-Kirchhoff et donc que. . . . (2.30). avec. . (2.31). 8Æ Æ 9Æ Æ Æ Æ . (2.32). où. est le tenseur d’élasticité et. . . (2.33). est le tenseur de déformation. Lemme 2.2.1. Le jacobien du changement de variables det rapport à. est polynomial par. avec det . . (2.34). Preuve On obtient ceci simplement en développant le déterminant par rapport aux colonnes du gradient, on obtient. det det det et det (2.35). 41.

(164) Chapitre 2. Films courbés minces martensitiques - Développement asymptotique formel Lemme 2.2.2. Les composantes du tenseur de déformation admettent un développement en puissances de ,. où. . . . . (2.36). . (2.37). . : : Æ et. . : 1(2 avec. . . :. . . . . . et. . . où les dérivées des sont prises au point #. . . . (2.38). . . (2.39). . (2.40). . (2.41). Æ . Les coefficients dépendent donc de. .. Preuve On a. . Æ . (2.42). On exprime les dérivées de en fonction de celles de et on obtient. . Æ # Æ # Æ . (2.43). # Æ et # # Æ . (2.44). avec. En explicitant les termes en les dérivées de # et puisque . 42. . . . Æ #. . Æ . . ,. on obtient. . Æ # Æ . . (2.45).

(165) 2.2. Mise en œuvre On a alors en appliquant le produit scalaire. . . . . . Æ #. Æ . . . . . . . . et donc. . . . . . . . : . . Æ # Æ . . . Æ # Æ . . . . . . Æ # Æ . . . . avec les : et définis comme ci-dessus, ce qui nous donne le résultat.. Lemme 2.2.3. Le terme d’énergie élastique interne sances de. où. . et pour tout

(166) . . . ½. ½. . ½. . . admet un développement en puis-. . .

(167) . . ½. . ½. . . . . où. (2.46). ½. . . . . : : Æ et. . : 1(2 avec. . . . . . # . # . . . . . . . . (2.47). (2.48). (2.49) 43.