Micromagnétismes des films minces

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Micromagnétismes des films minces

Salwa Soueid

To cite this version:

Salwa Soueid. Micromagnétismes des films minces. Mathématiques générales [math.GM]. Université

Paris-Est, 2015. Français. �NNT : 2015PESC1037�. �tel-01366185�

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Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de docteur de l’Université Paris-Est

Spécialité : Mathématiques

et soutenue publiquement par

Salwa SOUEID

10 Mars 2015

Micromagn´ etisme des films minces

Thèse dirigée par Rejeb HADIJI Jury composé de

M. Tahar Z.BOULMEZAOUD MC-HDR, Universit´ e de Versailles Saint Quentin (Rapporteur)

M. Gilles CARBOU Professeur, Universit´ e de PAU (Examinateur)

M. Rejeb HADIJI MC-HDR, Universit´ e de Paris Est Cr´ eteil ( Directeur de th` ese)

M me Galina PERELMAN Professeur, Universit´ e de Paris Est Cr´ eteil (Examinateur)

M. Feng ZHOU Professeur, Universit´ e de Shanghai, ECNU (Rapporteur)

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2

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R´ esum´ e

Les mat´ eriaux ferromagn´ etiques poss` edent la propri´ et´ e de devenir magn´ etiques, c’est ` a dire de s’aimanter, lorsqu’ils sont en pr´ esence d’un champ magn´ etique et de conserver une partie de leur magn´ etisation lorsque le champ est supprim´ e.

C’est pour cette raison, ces mat´ eriaux sont devenus d’usage dans des nombreux applications industrielles. Le mod´ ele math´ ematique du micromagn´ etisme a ´ et´ e introduit par W.F. Brown (voir [11]) pour d´ ecrire le comportement de l’aimantation dans les mat´ eriaux ferromagn´ etiques depuis les ann´ ees 40.

Pour ´ etudier ce ph´ enom` ene, on le transforme en un syst` eme l’´ etude de ces

´

equations donnent les informations physiques attendus dans des espaces ap- propri´ es. Dans cette th` ese on est interess´ e ` a des structures minces de films ferromagn´ etiques. En pratique, une structure mince est un objet tridimen- tionnel ayant une ou deux directions pr´ epond´ erantes comme par exemple une plaque, une barre ou un fil. Nous ´ etudions le comportement de l’´ energie quand l’´ epaisseur du film tend vers z´ ero.

Dans le premier travail, nous g´ en´ eralisons un r´ esultat dˆ u ` a Gioia et James

`

a des dimensions sup´ erieures ` a 4. Plus pr´ ecisement, on consid` ere un domaine mince born´ e ferromagn´ etique dans R ⁿ , le but est d’´ etudier les comportements asymptotiques de l’´ energie libre du domaine mince ferromagn´ etique.

Dans le deuxi` eme travail, on s’interesse ` a une approche dynamique de probl` eme micromagn´ etisme . On ´ etudie le comportement asymptotique des solutions des

´

equations Landau Lifshitz dans un multi-structure mince ferromagn´ etique compos´ ee de deux films minces orthogonaux d’´ epaisseur respectif h ^a et h ^b . On distingue diff´ erents r´ egimes: lorsque lim ^h _h

^aⁿb

n

∈]0, ∞[. On identifie le probl` eme limite et on montre que ce dernier est coupl´ e par une condition de jonction sur l’axe vertical x 2 , pour tout x 2 ∈] − ¹ ₂ , ¹ ₂ [.

La troisi` eme partie est li´ ee ` a ce dernier travail, nous compl´ etons l’´ etude pr´ ec` edente lorsque lim ^h _h

^aⁿb

n

= 0 et +∞ (voir [2]).

Ensuite dans la quatri` eme chapitre, on a ´ etudi´ e des ph´ enom` enes de micromagn´ etisme dans un multi-structure mince: il s’agit d’un ouvert connexe de R ³ compos´ e de deux parties ayant un angle θ ∈]0, π[, le but est d’´ etudier les comportements asymptotiques de l’´ energie libre dans ce domaine lorsque l’´ epaisseur tend vers z´ ero. Il s’agit d’un probl` eme non convexe et non local. On identifie le probl` eme limite, et on montre que l’aimantation m ^(h) converge vers une fonc-

3

(5)

4 tion µ = (µ ^a , µ ^b ) qui minimise ce dernier. Le probl` eme limite obtenue est local, coupl´ e par une condition de jonction µ ^a (x ₂ , 0) = µ ^b (0, x ₂ ) pour x ₂ ∈] − ¹ ₂ , ¹ ₂ [.

MOTS CL ´ ES : ferromagn´ etisme, micromagn´ etisme, film mince, multi-structure, junction, analyse asymptotique, ´ equation Landau Lifschitz, ´ energie d’´ echange,

´

energie de Zeeman, ´ energie d’anisotropie, ´ energie de d´ emagn´ etisante.

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Abstrat

The ferromagnetic materials prossess the property of becoming magnetic when placed in a magnetic field and conserve a part of this magnetism when the field is removed. For this reason, these materials have become usual in many industrial applications. The model micromagnetism was introduce by W. F. Brown in the 40s (see [11]) to describe the behavior of the magnetization from ferromagnetics materials.

To study thin physical phenomenon, we transform it into a system of partial differential equation. The results obtained from the study of these equation give the physical information in this space. In this thesis, we are intersted in thin ferromagnetic structures. In practice, a thin structure is a three-dimensional object having one or two direction preponderant. For exemple a plate, a bar and a wire. We study the asymptotic behavior, as the thickness of the film tends to zero.

In the first work, We generalize a result due to Gioia and James to dimensions superior to 4. More precisely, we consider a thin bounded ferromagnetic domain in R ⁿ . The goal is to study the asymptotic behavior, where the free energy of this thin ferromagnetic domain.

In the second work, we are intersted in a dynamic approach to the problem micromagnetism. We study the asymptotic behavior of solution of equations Landau-Lifshitz in a thin multi-structure ferromagnetic, composed of two thin orthogonal films a thickness h ^a _n and h ^b _n respectively. We distinguish different regimes depending on the limit lim ^h _h

^aⁿb

n

∈]0, +∞[. We identify the limit problem and we prove that it is coupled by a junction condition on the vertical axis x 2 , for all x 2 ∈] − ¹ ₂ , ¹ ₂ [.

The third part is linked to the second part. We complete the previous work by studying the cases when lim ^h _h

^aⁿb

n

= 0 and +∞ (see. [2]).

Then in the fourth chapter, we study the micromagnetism phenomenon in a thin multi-structure domain. This domain is an open connected in R ³ composed of two parts forming an angle θ ∈]0, π[ between them. The goal is to study the asymptotic behavior of the free energy in this domain when the thickness tends to zero, this is non-convex and non-local problem. We identify the limit problem, and we prove that the magnetization m ^(h) converges to µ = (µ ^a , µ ^b ), which minimizes our limit problem. the obtained limit problem is local, and coupled by the junction condition µ ^a (x ₂ , 0) = µ ^b (0, x ₂ ) pour x ₂ ∈] − ¹ ₂ , ¹ ₂ [.

5

(7)

6 KEYWORDS: Ferromagnetism, micromagnetism, thin film, multi-structure,

junction, asymptotic analysis, Landau-Lifschitz equation, energy exchange, zee-

man energy, anisotropy energy, demagnetizing energy.

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Remerciements

Remercier toutes les personnes qui ont contribu´ e de pr` es comme de loin l’existence de ce rapport de th` ese est un exercice tr` es compliqu´ e. J’ose esp´ erer que les mots choisis rendront ` a peu pr` es correctement ce que je ressens.

Recevez, Monsieur Rejeb HADIJI, mes plus sinc` eres remerciements pour avoir dirig´ e cette th` ese. Pour l’attention que vous m’avez porte, votre disponibilit´ e, votre patience et votre soutien moral. Je vous exprime toute ma recon- naissance et mon profond respect. Votre grande exp´ erience et votre rigueur math´ ematique ont permis l’accomplissement de ce travail.

Les professeurs Tahar Z. Boulmezaoud et Feng Zhou ont eu l’extrˆ eme gentil- lesse d’accepter de juger ce travail et d’en ˆ etre les rapporteurs. Je les remercie vivement pour les efforts, la patience et l’int´ erˆ et qu’ils ont port´ e ` a ce travail.

Je tiens ` a remercier chaleureusement Monsieur Antonio Gaudiello pour ses conseils, les ´ echanges enrichissants qui ont accompagn´ e nos conversations. Je remercie ´ egalement Galina Perelman et Gilles Carbou, pour l’honneur qu’ils me font, d’ˆ etre parmi les membres de mon jury.

Merci ` a tous les membres du Laboratoire d’Analyse et de Math´ ematiques Appliqu´ ees (LAMA), qui m’ont permis de travailler dans de tr` es bonnes con- ditions. Je remercie en particulier l’ancien directeur du laboratoire Raphael Danchin, et le nouveau directeur St´ ephane Sabourau.

Je tiens ` a remercier les personnels du d´ epartement et du laboratoire: Ana¨ıs Delgado au secr´ etariat, Sylvie Cash responsable administrative et Laurent Marcin- iszyn au service informatique, pour leur disponibilit´ e et leurs comp´ etences pro- fessionnelles qui m’ont facilit´ e beaucoup la vie au laboratoire.

Mes remerciements amicaux pour tous les doctorants: Zeina, Marwa, Rana, Victor, Khaled, Houda, Jean-Maxime, R´ emy, Peng, Ali, Harry, Laurent, Xavier...

Par ailleurs, je n’oublie pas les r´ ecents docteurs parmi lesquels Eduardo, Bertrand, Pierre, David, Fransesco, Sbastien, Antoine, Xian et Omar. Un grand merci ` a Johann le guide du laboratoire.

7

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8 Je voudrais remercier tous mes amis, mais il m’est impossible de les citer tous ici.

Je voudrais remercier mes parents et mes fr` eres et soeurs qui ont toujours su m’offrir leur soutien, leur compr´ ehensions, leurs encouragements, leur patience et leur affection.

La p´ eriode la plus difficile de cette th` ese a ´ et´ e partag´ ee avec celles qui

poss` edent le coeur le plus tendre dans le monde. Alors mille mercis ` a Diaa

et ` a mes enfants Jana et Ahmad pour tout le bonheur qu’ils m’apportent, pour

leurs patiences, leurs soutiens. Ils m´ eritent amplement que je leur d´ edie ce

travail et mˆ eme ma vie.

(10)

Je d´ edie cette th` ese ` a Diaa Jana et Ahmad

9

(11)

10

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Introduction

0.1 Propri´ et´ es des mat´ eriaux ferromagn´ etiques

Les mat´ eriaux ferromagn´ etiques ont la particularit´ e de pr´ esenter une aimantation non nulle en l’absence de toute excitation ext´ erieur, et ceci sera une de leurs importantes caract´ eristiques. Grˆ ace ` a cette propri´ et´ e les mat´ eriaux ferromagn´ etiques sont devenus d’usage dans de nombreux secteurs d’activit´ es industrielles, par exemples (t´ el´ ecommunication, protection de radar, stockage informatique,...).

Cette th´ eorie a ´ et´ e developp´ ee par W.F. Brown dans les ann´ ees 40 (voir [11]), a pour but d’identifier les principaux ph´ enom` enes intervenant dans la config- uration de l’aimantation au sein d’un ´ echantillon et leur associer une ´ energie.

Les positions d’´ equilibre correspondent aux minima de l’´ energie totale. Il est

´

egalement possible d’utiliser un mod´ ele dynamique, d´ ecrivant l’aimantation au cours du temps, en utilisant un syst` eme introduit par L.D. Landau et E.M.

Lifschitz en 1935 (voir [50]).

0.2 Propri´ et´ es de base de l’aimantation

Dans la th´ eorie classique du micromagn´ etisme, un mat´ eriau ferromagn´ etique est caract´ eris´ e par une aimantation spontann´ ee represent´ ee par un moment magn´ etique m:

m : Ω ⊂ R ³ −→ S ²

o` u Ω est un ouvert born´ e de R ³ , il repr´ esente d’´ echantillon dans lequel le mat´ eriau est confin´ e, S ² est la sph` ere unit´ e de R ³ , le corps est toujours lo- calement magn´ etis´ e ` a une aimantation satur´ ee |m(x)| = m _s (T ), o` u T est la temp´ erature locale. Soit T _c la temp´ erature de Curie, m _s > 0 si T ≥ T _c , et m _s = 0 sinon. En principe, l’aimantation m n’est pas d´ efinie dans l’espace entier R ³ , mais uniquement dans l’´ echantillon Ω du mat´ eriau ferromagn´ etique.

Dans toute la suite, on consid´ erera ˜ m comme un champ d´ efini sur tout R ³ , ˜ m prolonge m par 0 ` a l’exterieur de Ω, ce qui permet de donner un sens aux diverses

´

equations. Dans cette th` ese, le moment magn´ etique ˜ m et le champ magn´ etique H sont li´ es par l’une des ´ equations de Maxwell (sans charge, ni courant)

B = H + ˜ m, dans R ³

13

(15)

14 INTRODUCTION o` u B et H ( ˜ m) sont d´ efinis sur tout R ³ , avec H( ˜ m) ≡ −Dζ (ζ est le potentiel magnetique).

0.3 Energie libre du mod` ele classique en micromagn´ etisme

Les moments magn´ etiques observ´ es sont des minimiseurs (locaux) de l’´ energie ferromagn´ etique

(0.3.1) E(m) =

Z

Ω

α|Dm| ² + ϕ(m) + 1

2 Dζm − 2f m dx nous allons expliquer chaque terme.

0.3.1 L’´ energie d’´ echange

L’´ energie d’´ echange est due ` a l’existence d’une force responsable ` a aligner les spins voisins des deux atomes. Cette contribution est locale, elle d´ epend des propri´ et´ es microscopiques du mat´ eriaux, cette ´ energie s’´ ecrit:

E e (m) = Z

Ω

α|Dm| ² dx, o` u α est le co´ efficient d’´ echange.

0.3.2 L’´ energie d’anisotropie

L’anisotropie magn´ eto-cristalline tient compte des effets d’anisotropie dus ` a la structure cristalline du mat´ eriau. On en tient compte grˆ ace ` a une fonction paire et continue

ϕ : S ² −→ R ⁺ Nous observons principalement deux cas

• l’anisotropie unixiale: cette anisotropie se trouve dans les cristaux hexag- onaux (Co). L ’expression de cette ´ energie est :

ϕ(m) = −K 1 m ² _z + K 2 m ⁴ _z

o` u m z est la composante selon l’axe z du vecteur m, K 1 et K 2 sont les coefficients d’anisotropie d´ ependant de la temp´ erature, les valeurs de ces coefficients sont tir´ ees de l’exp´ erience (dans les plupart de cas mˆ eme K ₂ est n´ egligeable) par exemple dans le cas du mat´ eriel fer on a K ₁ = 4, 81 × 10 ⁶ J.m

⁻³

et K ₁ = 1, 2 × 10 ⁴ .

• L’anisotropie cubique : Dans le cas des cristaux cubiques (F e, N i), les axes x, y et z ´ etant choisis le long des axes du cristal, l’expression de l’´ energie est la suivante:

ϕ(m) = K ₁ (m ² _x m ² _y + m ² _y m ² _z + m ² _z m ² _x ) + K ₂ m ² _x m ² _y m ² _z

(16)

15 o` u K ₁ et K ₂ sont les coefficients d’anisotropie d´ ependant de la temp´ erature et m _x , m _y et m _z les composantes du vecteur m. ` A temp´ erature ambiante, voici les valeurs calcul´ ees pour certains mat´ eriaux ferromagn´ etique (voir [21])

Mat´ eriaux F e(cc) N i(cf c) N i 80 F e 20

K 1 (J.m

⁻³

) 4, 81 × 10 ⁶ −5, 48 × 10 ⁵ 0

K 2 (J.m

⁻³

) 1, 2 × 10 ⁴ −2, 47 × 10 ⁵ −1, 5 × 10 ³

0.3.3 L’´ energie magn´ etostatique

Le troisi` eme terme de (0.3.1) repr´ esente l’´ energie magn´ etostatique en pr´ esence d’un champ magn´ etique qu’elle produit par elle mˆ eme. En partant des ´ equations de Maxwell sans charge ni courant, on trouve que le champ magn´ etique est d´ etermin´ e ` a partir de l’aimantation comme solution du probl` eme suivant:

(0.3.2)







div(H( ˜ m) + ˜ m) = 0, dans R ³ , rotH( ˜ m) = 0 dans R ³ . Par cons´ equent, on obtient

E mag (m) = 1 2

Z

Ω

Dζmdx = 1 2

Z

R³

|Dζ | ² dx.

Remarquons que l’´ energie magn´ etostatique exprime une interaction non locale.

0.3.4 L’´ energie de Zeeman ou ext´ erieure

L’´ energie de Zeeman, ou l’´ energie du champ externe, est l’´ energie d’un corps aimant´ e dans un champ magn´ etique externe, elle est donn´ ee par:

E ext (m) = −2 Z

Ω

f mdx, o` u f : Ω −→ R ³ est le champ ext´ erieur.

0.4 nD −pD R´ eduction dimentionnelle des structures micromagn´ etiques

0.4.1 Pr´ esentation du probl` eme

Ce travail est publi´ e dans Ricerche di Matematica (2014). Dans ce travail je

g´ eneralise un r´ esultat dˆ u ` a Gioia et James (voir [39]). Ces auteurs ont ´ etudi´ e le

comportement asymptotique d’un film mince ferromagn´ etique de R ³ , d’´ epaisseur

h, h est un param´ etre positif qui tend vers z´ ero. Ce chapitre g´ en´ eralise leur

(17)

16 INTRODUCTION r´ esultat, pr´ ecisement je d´ etermine via une analyse asymptotique l’´ energie libre d’un domaine ferromagn´ etique p-dimensionnel dans R ⁿ , 1 ≤ p < n.

On consid` ere un domaine mince dans R ⁿ , d´ efini par Ω _h = Θ×] − h, h[ ^n−p ⊂ R ⁿ , o` u h est un param` etre qui tend vers z´ ero, Θ est un ouvert born´ e de R ^p . Le but de ce chapitre est d’´ etudier le comportement asymptotique, quand h tend vers z´ ero, du probl` eme suivant:

(0.4.1) 1 h ^n−p

Z

Ω

h

|Dm| ² + ϕ(m) + 1

2 Dzm − 2F h m

dx, m ∈ H ¹ (Ω h , S ⁿ⁻¹ ) avec

(0.4.2)



 

 

 

  z ∈

u ∈ L ¹ _loc ( R ⁿ ) : u ∈ L ² (B), Du ∈ (L ² ( R ⁿ )) ⁿ , Z

B

udx = 0

, Z

Rⁿ

DzDζdx = Z

Rⁿ

˜

mDζdx, ∀ζ ∈ U ,

o` u B est un ouvert contenant Ω _h , ϕ : S ⁿ⁻¹ = {x ∈ R ⁿ : |x| = 1} → [0, +∞[

est une fonction paire continue, F h ∈ L ² (Ω h , R ⁿ ), et m = 0 ` a l’exterieur de Ω h et v´ erifie les propri´ et´ es de base de l’aimantation (voir paragraphe 0.2). La fonction z : R ⁿ → R est le potentiel magn´ etique, il est li´ e ´ a l’aimantation par (0.4.2).

D’apr` es Visintin (voir [57]), le probl` eme (0.4.1) admet au moins une solution.

Afin de travailler sur un domaine fixe, on utilise le changement d’´ echelle suivant (x

⁰

, x

⁰⁰

) ∈ Ω → (x

⁰

, hx

⁰⁰

) ∈ Ω h ,

o` u (x

⁰

, x

⁰⁰

) est un point de R ⁿ , avec x

⁰

= (x ₁ , ..., x _p ) et x

⁰⁰

= (x _p+1 , ..., x _n ).

Posons

f h (x) = F h (x

⁰

, hx

⁰⁰

), x p.p. dans Ω, on va supposer que

(0.4.3) f _h * f faiblement dans L ² (Ω, R ⁿ ) quand h tends vers z´ ero.

0.4.2 Les principaux r´ esultats

En ´ etudiant les comportements asymptotiques de l’´ energie libre on trouve que nos r´ esultats principaux d´ ependent de n − p ∈ N

^∗

.

Soit

(0.4.4) M = {µ ∈ H ¹ (Ω, S ⁿ⁻¹ ) : µ est ind´ ependant de x

⁰⁰

} ' H ¹ (Θ, S ⁿ⁻¹ ).

Dans le cas n − p ≥ 2, on y ´ etablit le r´ esultat suivant:

(18)

17 Th´ eor` eme 0.4.1. Soit m ^(h) est une solution minimisante de (0.4.1) et ζ ^(h) est l’unique solution de (0.4.2) qui correspond ` a m ^(h) . Alors, il existe une sous-suite not´ ee aussi (m ^(h) ) _h et une fonction µ ˆ ∈ M d´ ependant de la sous-suite, tels que

m ^(h) −→ µ ˆ fortement dans H ¹ (Ω, S ⁿ⁻¹ ), 1

h D _x

⁰⁰

m ^(h) −→ 0 fortement dans L ² (Ω, S ⁿ⁻¹ ),

et



 

 

D _x

⁰

ζ ^(h) −→ 0 fortement dans L ² ( R ⁿ ), 1

h D _x

⁰⁰

ζ ^(h) −→ ξ ˆ fortement dans L ² ( R ⁿ ), o` u µ ˆ est une solution de probl` eme suivant:

E 0 (ˆ µ) = min {E 0 (µ), µ ∈ M } , avec

ξ(x) = ˆ



 

 

n

X

i=p+1

ˆ

µ _i (x

⁰

)D _x

⁰⁰

P _i (x

⁰⁰

) p.p. dans Θ × R ^n−p ,

0 p.p. dans R ^p \Θ × R ^n−p ,

de plus on a

h→0 lim E _h ^(h) (m ^(h) ) = E 0 (ˆ µ).

Avec

(0.4.5)

E 0 : µ ∈ M −→

Z

Ω

(α|D x

⁰

µ| ² + ϕ(µ) − 2f µ)dx+

1 2





n

X

i=p+1

Z

R^n−p

|D _x

⁰⁰

P _i | ² Z

Θ

|µ _i | ² dx

⁰

dx

⁰⁰



 +

1 2





n

X

i,j

_i6=j

=p+1

Z

R^n−p

D _x

⁰⁰

P i D _x

⁰⁰

P j

Z

Θ

µ i µ j dx

⁰

dx

⁰⁰



 .

o` u ˆ µ _i , i ∈ {p + 1, ..., n} est le i

^`^eme

composante de ˆ µ, et P _i , i ∈ {p + 1, ..., n}

est l’unique solution du probl` eme suivant:

(0.4.6)



 



 



P i ∈ BL 0 ( R ^n−p ), Z

R^n−p

D _x

⁰⁰

P i D _x

⁰⁰

φdx

⁰⁰

= Z

]−1,1[

^n−p

D x

_i

φdx

⁰⁰

, ∀φ ∈ BL 0 ( R ^n−p ),

(19)

18 INTRODUCTION o` u BL ₀ ( R ^n−p ) est l’espace Beppo-Levi dans R ^n−p , voir [34] pour plus de detail en dimension 3.

La preuve du th´ eor` eme r´ epose sur la proposition suivante:

Proposition 0.4.1. On suppose que n ≥ 3, p ≥ 1 et n − p ≥ 2. Soit (m h ) h ⊂ L ² (Ω, R ⁿ ). Supposons qu’il existe µ ∈ L ² (Ω, R ⁿ ) qui ne d´ epend pas de x

⁰⁰

tel que

m _h −→ µ fortement dans L ² (Ω, R ⁿ ),

quand h tends vers z´ ero. Soit ζ h est l’unique solution du probl` eme (0.4.2) qui correspond ` a m _h . Alors, on a



 

 

D _x

⁰

ζ _h −→ 0 fortement dans (L ² ( R ⁿ )) ^p , 1

h D _x

⁰⁰

ζ _h −→ ξ fortement dans (L ² ( R ⁿ )) ^n−p , quand h tends vers z´ ero, o` u

ξ(x) =



 

 

n

X

i=p+1

µ _i (x

⁰

)D _x

⁰⁰

P _i (x

⁰⁰

), p.p. dans Θ × R ^n−p ,

0, p.p. dans ( R ^p \Θ) × R ^n−p ,

avec P _i , i ∈ {p + 1, ..., n}, l’unique solution de (0.4.6). De plus,

h→0 lim E _h ^mag (m h ) = 1 2

n

X

i=p+1

Z

R^n−p

|D _x

⁰⁰

P i | ² dx

⁰⁰

Z

Θ

|µ i | ² dx

⁰

+

1 2

n

X i, j = p + 1

i 6= j Z

R^n−p

D _x

⁰⁰

P _i D _x

⁰⁰

P _j dx

⁰⁰

Z

Θ

µ _i µ _j dx

⁰

.

Si n − p = 1 on prouve le r´ esultat suivant

Th´ eor` eme 0.4.2. Soit m ^(h) est une solution minimisante de (0.4.1) et ζ ^(h) est l’unique solution de (0.4.2) qui correspond ` a m ^(h) . Alors, il existe une sous- suite de m ^(h) not´ ee aussi (m ^(h) ) h et µ ˆ ∈ M , d´ ependant de la sous-suite tels que, pour tout j = 1, ..., n − 1

m ^(h) −→ µ ˆ fortement dans H ¹ (Ω, S ⁿ⁻¹ ), 1

h D x

_n

m ^(h) −→ 0 fortement dans L ² (Ω, S ⁿ⁻¹ ),

et



 

 

D x

j

ζ ^(h) −→ 0 fortement dans L ² ( R ⁿ ), 1

h D x

n

ζ ^(h) −→ µ ˜ ˆ n fortement dans L ² ( R ⁿ ),

(20)

0.5. PROBL ` EME EN PR ´ ESENCE DE POIDS 19 o` u µ ˜ ˆ _n est le prolongement par z´ ero de µ ˆ _n sur R ⁿ , et µ ˆ est une solution du probl` eme suivant:

E 1 (ˆ µ) = min {E 1 (µ), µ ∈ M } . De plus, on a

lim

h→0 E _h ^(h) (m ^(h) ) = E ₁ (ˆ µ).

O` u

E ₁ : µ ∈ M −→

Z

Ω

(α|D _x

⁰

µ| ² + ϕ(µ) − 2f µ)dx + 1 2 Z

Ω

|µ _n | ² dx.

Comme pr´ ec´ edemment pour d´ emontrer ce th´ eor` eme on commence par prou- ver le r´ esultat de convergence de l’´ energie magn´ etostatique.

0.5 Probl` eme en pr´ esence de poids

Je suis en train de g´ en´ eraliser ces r´ esultats le mˆ eme probl` eme en pr´ esence de poids α ^(h) (x), β ^(h) (x) and γ ^(h) (x) d´ ependant de h

0.6 Problem with weight

Dans ce travail, je reprends le probl` eme pr´ ec` edante en prsence de poids. Plus pr´ ecis´ ement, on ´ etudie les comportements asymptotiques du probl` eme suivant:

(0.6.1) min

1 h ^n−p

Z

Ω

_h

α _h (x)|Dm| ² + ϕ(m) + 1

2 β _h (x)Dζm − 2F h m

dx, m ∈ H ¹ (Ω h , S ⁿ⁻¹ )

`

a condition que

(0.6.2) div − γ

h (x)Dζ + β

h (x)m

!

= 0 dans R ⁿ , o` u

(0.6.3) α _h ∈ L

^∞

(Ω _h ), β

h ∈ L

^∞

(Ω _h ), γ

h ∈ L

^∞

( R ⁿ ),

(0.6.4) 0 ≤ β

h (x), x p.p. dans Ω h , ∀h, il existe une constante c 1 > 0 tels que

(0.6.5) c 1 ≤ α _h (x), x p.p. dans Ω h , ∀h, et

(0.6.6) c ₁ ≤ γ

h (x), x p.p. dans R ⁿ , ∀h.

(21)

20 INTRODUCTION Afin de travailler sur un domaine fixe, posons

α h (x) = α _h (x

⁰

, hx

⁰⁰

), β h (x) = β _h (x

⁰

, hx

⁰⁰

), x p.p. dans Ω, γ h (x) = γ

h (x

⁰

, hx

⁰⁰

), x p.p dans R ⁿ , f h (x) = F h (x

⁰

, hx

⁰⁰

), x p.p. dans Ω, et supposons que

(0.6.7)



 



 



α _h → α fortement dans L

^∞

(Ω), β _h → β fortement dans L

^∞

(Ω), γ h → γ fortement dans L

^∞

( R ⁿ ),

De mˆ eme, notre r´ esultat principal d´ epend de n − p. Pr´ ecis´ ement, si n − p ≥ 2, je prouve que

Theorem 0.6.1. Soit n ≥ 3, p ≥ 1 et n − p ≥ 2. Pour tout h, soit m h est une solution minimisante de (0.6.1) et soit ζ h est l’unique solution de (0.6.2) qui correspond ` a m _h . Supposons (0.6.3)÷(0.6.7). Alors, il existe une sous-suite not´ ee aussi {m h } h , et µ ˆ ∈ M , d´ ependant de la sous-suite, tels que

m h −→ µ ˆ fortement dans H ¹ (Ω, S ⁿ⁻¹ ), 1

h D _x

⁰⁰

m h −→ 0 fortement dans (L ² (Ω)) ^n−p , et



 

 

D _x

⁰

ζ h −→ 0 fortement dans (L ² ( R ⁿ )) ^p , 1

h D _x

⁰⁰

ζ h −→ ξ ˆ fortement dans (L ² ( R ⁿ )) ^n−p , o` u µ ˆ est une solution de probl` eme suivant

E ₀ (ˆ µ) = min {E 0 (µ), µ ∈ M } avec

ξ(x) = ˆ



 

 

n

X

i=p+1

ˆ

µ i (x

⁰

)D _x

⁰⁰

P i (x

⁰⁰

), p.p. dans Θ × R ^n−p ,

0, p.p. dans ( R ^p \Θ) × R ^n−p ,

o` u P i , i ∈ {p + 1, ..., n}, est l’unique solution de (1.2.1). De plus

h→0 lim E h (m h ) = E 0 (ˆ µ).

(22)

0.7. JONCTION DES FILMS MINCES FERROMAGN ´ ETIQUES EN MICROMAGN ´ ETISME21 Avec

(0.6.8)

E 0 : µ ∈ M −→

Z

Ω

(α|D _x

⁰

µ| ² + ϕ(µ) − 2f µ)dx+

1 2

n

X

i=p+1

Z

R^n−p

|D _x

⁰⁰

P _i | ² Z

Θ

γ|µ i | ² dx

⁰

dx

⁰⁰

+

1 2

n

X i, j = p + 1

i 6= j Z

R^n−p

D _x

⁰⁰

P i D _x

⁰⁰

P j

Z

Θ

γµ i µ j dx

⁰

dx

⁰⁰

.

Si n − p = 1, on prouve le r´ esultat suivant

Th´ eor` eme 0.6.1. Soit n ≥ 2 et n − p = 1. Pour tout h, soit m h est une solution minimisante de (0.6.1) et ζ _h est l’unique solution de (0.6.2) correspond

`

a m _h . Supposons (0.6.3)÷(0.6.7). Alors, il existe une sous-suite not´ ee aussi {m _h } _h , et µ ˆ ∈ M , d´ ependant de la sous-suite, tels que

m _h −→ µ ˆ fortement dans H ¹ (Ω, S ⁿ⁻¹ ), 1

h D x

_n

m h −→ 0 fortement dans L ² (Ω), et, pour j = 1, ..., n − 1,



 



 



D _x

_j

ζ _h −→ 0 fortement dans L ² ( R ⁿ ), 1

h D x

_n

ζ h −→ β γ

˜ ˆ

µ n fortement dans L ² ( R ⁿ ), o` u µ ˆ est une solution de probl` eme suivant:

E 1 (ˆ µ) = min {E 1 (µ), µ ∈ M }

et µ ˜ ˆ n est le prolongement par zero ` a l’ext´ erieur de Ω. De plus on a lim

h→0 E _h (m _h ) = E ₁ (ˆ µ).

Avec

E 1 : µ ∈ M −→

Z

Ω

(α|D _x

⁰

µ| ² + ϕ(µ) − 2f µ)dx + 1 2

Z

Ω

β ²

γ |µ n | ² dx.

0.7 Jonction des films minces ferromagn´ etiques en micromagn´ etisme

Le deuxi` eme et le troisi` eme travail est en collaboration avec L. Faella sont con-

sacr´ es ` a ´ etudier le comportement asymptotique d’un mod` ele quasi-stationnaire

(23)

22 INTRODUCTION ferromagn´ etique, compos´ e de deux films minces perpendiculaires, et qui se joint par une condition de jonction sur (h ^a _n x ₁ , x ₂ , 0). D’un point de vue physique, ce mod` ele d´ ecrit les propagations d’ondes ´ electromag´ etiques dans un milieu ferromagn´ etique. Plus pr´ ecisement, pour n ∈ N , on consid` ere Ω _n = Ω ^a _n ∪ Ω ^b _n , avec

Ω ^a _n =

− h ^a _n 2 , h ^a _n

2 ×

− 1 2 , 1

2 × ]0, 1[

Ω ^b _n =

− 1 2 , 1

2 2

×

−h ^b _n , 0

! ,

o` u {h ^a _n } _n∈N , h ^b _n

n∈N ⊂ ]0, 1[ tel que

(0.7.1) lim

n h ^a _n = 0 = lim

n h ^b _n , lim

n

h ^b _n

h ^a _n = q ∈ [0, +∞] .

D’apr` es les propri´ et´ es de base de l’aimantation le moment magn´ etique M induit un champ magn´ etique H (M ) donn´ ee par

(0.7.2)







H(M ) ∈ L ² R ³ ³

curlH(M ) = 0 dans D

⁰

R ³ div H (M ) + M

= 0 dans D

⁰

R ³ .

Le but de ce travail est d’´ etudier le comportement asymptotique, quand n diverge, du probl` eme quasi-stationnaire suivant

(0.7.3)

( ∂M

∂t + M ∧ ∂M

∂t = 2M ∧ (−∆M + DU _M ) in ]0, T [ × Ω _n avec (0.7.2)

Dans ces chapitres l’aimantation M d´ epend du temps t, soit M ₀ l’aimantation au temps t = 0. Pour M 0 (x) ∈ H ¹ (Ω n ), |M 0 (X)| = 1 p.p et div(M 0 ) + M 0 = 0 sous ces hypoth` eses initiales, probl` eme (0.7.3) admet au moins une solution faible M ∈ L

^∞

0, T ; H ¹ (Ω n )

de telle sorte que ∂M

∂t ∈ L ² 0, T ; H ¹ (Ω n ) (voir [14] et [57]). En ´ etudiant le comportement asymptotique du probl` eme (0.7.3), on remarque que notre r´ esultat d´ epend de q ∈ [0, +∞]. Dans le chapitre 2 on traite le cas q ∈]0, +∞[, nous obtenons deux probl` emes 2D coupl´ es par un condition de jonction sur ] − ¹ ₂ , ¹ ₂ [. Soit

M=

ψ = ψ ^a , ψ ^b

∈ H ¹ Ω ^a , S ²

× H ¹ Ω ^b , S ²

: ψ ^a ne d´ epend pas de x 1,

ψ ^b ne d´ epend pas de x 3 , ψ ^a (0, x 2 , 0) = ψ ^b (0, x 2 , 0), pour x 2 p.p. dans

− ¹ ₂ , ¹ ₂

Dans ce chapitre on y ´ etablit le r´ esultat suivant Th´ eor` eme 0.7.1. Soit m _n = m ^a _n , m ^b _n

est une solution du notre probl` eme

(24)

0.7. JONCTION DES FILMS MINCES FERROMAGN ´ ETIQUES EN MICROMAGN ´ ETISME23

(0.7.3) avec ces hypoth` eses initiales:

µ 0 = µ ^a

0 , µ ^b

0 ∈ M, m ^a _n

0

→ µ ^a

0 fortement dans H ¹ Ω ^a , S ² , m ^b _n

₀

→ µ ^b ₀ fortement dans H ¹ Ω ^b , S ²

, 1

h ^a _n D x

₁

m ^a _n

₀

→ 0 fortement dans L ² Ω ^a , R ³ , 1

h ^b _n D x

₃

m ^b _n

₀

→ 0 fortement dans L ² Ω ^b , R ³ . Notons u n = u ^a _n , u ^b _n

l’unique solution du Probl` eme (0.7.2) qui correspond ` a m _n . Alors, il existe une sous-suite (m n ) n et µ= (µ ^a , µ ^b ) =

µ ^a

1 , µ ^a

2 , µ ^a

3 ,

µ ^b

1 , µ ^b

2 , µ ^b

3 ∈ L

^∞

(0, T ; M) , d´ epend de la sous-suite de telle sorte que

m _n * µ faible * dans L

^∞

0, T ; M; S ²

m _n → µ fortement dans L ² 0, T ; L ² (Ω ^a ) × L ² Ω ^b

et p. p. dans [0, T ] × Ω ^a ∪ Ω ^b o` u µ est la solution du probl` eme suivant:



 

 

 

 

µ(t = 0) = µ

0 = (µ ^a

0 , µ ^b

0 ) ∈ M µ = (µ ^a , µ ^b ) ∈ L

^∞

(0, T ; M)

∀t ∈ [0, T ] µ

= 1 pour p.p. x ∈ Ω ^a ∪ Ω ^b

∂µ

∂t ∈ L ²

0, T ; L ²

− ¹ ₂ , ¹ ₂

× ]0, 1[ , S ²

× L ²

− ¹ ₂ , ¹ ₂ ² , S ²

∀ ϕ ∈ D (0, T ) et g = g ^a , g ^b

∈ M

T

Z

0 Z

]

−¹₂

,

¹₂

[

×]0,1[

∂µ ^a

∂t + µ ^a ∧ ∂µ ^a

∂t

ϕg ^a dxdt +

T

Z

0 Z

]

−¹₂

,

¹₂

[

²

∂µ ^b

∂t + µ ^b ∧ ∂µ ^b

∂t

!

ϕg ^b dxdt =

−2

T

Z

0 Z

]

−¹₂

,

¹₂

[

×]0,1[

3 X

i=2

µ ^a ∧ ∂µ ^a

∂x i

∂g ^a

∂x i

ϕ − 2q

T

Z

0 Z

]

−¹₂

,

¹₂

[

²

2 X

i=1

µ ^b ∧ ∂µ ^b

∂x i

∂g ^b

∂x i

ϕ

−2

T

Z

0 Z

]

⁻¹₂

^,

¹₂

[

^×]0,1[

µ ^a ∧ µ ^a , e ₁

e ₁ g ^a ϕ − 2q

T

Z

0 Z

]

−¹₂

,

¹₂

[

²

µ ^b ∧ µ ^b , e ₃ e ₃ g ^b ϕ.

∀ t ∈ [0, T ] E q µ (t, ·)

+

t

Z

0 ∂µ ^a

∂t

2 L

²

(Ω

^a

)

dxdt + q

t

Z

0 ∂µ ^b

∂t

2 L

²

(Ω

^b

)

dxdt ≤ E q µ (0, ·)

o` u

E _q µ (t, ·)

= Z

]

⁻¹₂

^,

¹₂

[

^×]0,1[

Dµ ^a

2 +q Z

]

−¹₂

,

¹₂

[

²

Dµ ^b

2 + 1 2

Z

]

⁻¹₂

^,

¹₂

[

^×]0,1[

µ ^a

1

2 dx ₂ dx ₃ + 1 2 q

Z

]

−¹₂

,

¹₂

[

²

µ ^b

3

2 dx ₁ dx ₂ .

(25)

24 INTRODUCTION Dans le troisi` eme travail, on compl` ete l’´ etude pr´ ec´ edente dans les cas q = 0 et q = +∞, la structure se comporte comme un seul film. Plus pr´ ecisement, lorsque q = 0 (c.` a.d h ^b _n h ^a _n ) nous prouvons que le probl` eme limite se r´ eduit

`

a un film mince verticale 2D et on perd la condition de jonction. Pareillement, pour q = +∞ (c.` a.d h ^a _n h ^b _n ) nous prouvons que le probl` eme limite se r´ eduit

`

a un film mince horizontale 2D et on perd aussi la condition de jonction (voir Chapitre 2).

0.8 Analyse asymptotique de deux films minces obliques ferromagn´ etiques

Ce travail est ´ ecrit en collaboration avec R. Hadiji. Un multi-domaine mince est une structure de deux domaines minces qui sont li´ es par une condition de jonction, et qui sont tr` es fins. Gaudiello et Hadiji ont beaucoup ´ etudi´ e sur ce type de multi-domaine (voir [31], [33],[34]).

0.8.1 Mise en ´ equations du probl` eme

Dans ce chapitre on consid` ere une multi-structure compos´ e de deux films minces ferromagn´ etiques, form´ e de deux films minces ayant un angle θ ∈]0, π[ et sont li´ es par une condition de jonction sur l’axe (h ^a _n x 1 , x 2 , 0), ∀(x 1 , x 2 ) ∈]− ¹ ₂ , ¹ ₂ [×]− ¹ ₂ , ¹ ₂ [.

Plus pr´ ecisement, on consid` ere Ω ^θ _n

⁰

= Ω ^a,θ _n

⁰

∪ Ω ^b _n , avec n ∈ N , Ω ^b _n =]− ¹ ₂ , ¹ ₂ [ ² ×] − h ^b _n , 0[ et

Ω ^a,θ _n

⁰

= n

(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R ³ : |x 1 −cot θ 0 x 3 | < h ^a _n

2 , (x 2 , x 3 ) ∈] − 1 2 , 1

2 [×[0, sin θ 0 [ o , o` u h ^a _n et h ^b _n sont les ´ epaisseurs de Ω ^a,θ _n

⁰

et Ω ^b _n respectivement, tels que

(0.8.1)



 



 



lim n h ^a _n = 0 = lim

n h ^b _n , lim n

h ^b _n

h ^a _n = q ∈ [0, +∞].

Le but de ce chapitre est d’´ etudier le comportement asymptotique quand n diverge du probl` eme suivant:

(0.8.2) min ( Z

Ω

^θ_n⁰

(α|Dm| ² + ϕ(m) + 1

2 Dζm − 2F _n m)dx, m ∈ H ¹ (Ω ^θ _n

⁰

, S ² ) )

avec

(0.8.3)



 

 

 

  z ∈

u ∈ L ¹ _loc ( R ³ ) : u ∈ L ² (B), Du ∈ (L ² ( R ³ )) ³ , Z

B

udx = 0

, Z

R³

DzDζdx = Z

Ω

mDζdx, ∀ζ ∈ U ,

(26)

25 o` u B est un ouvert contenant Ω ^θ _n . Le prob` eme (0.8.2) admet au moins une solution minimisante voir [57]. Afin de travailler sur un domaine fixe, on utilise le changement de variable suivant:



 



 



(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ Ω ^a,θ

⁰

= n

(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ³ : |x ₁ − cot θ ₀ x ₃ | < 1

2 , (x ₂ , x ₃ ) ∈] − 1 2 , 1

2 [×]0, sin θ ₀ [ o

−→ (h ^a _n x 1 + cos θ 0

sin θ 0

(1 − h ^a _n )x 3 , x 2 , x 3 ) ∈ int(Ω ^a,θ _n

⁰

),

(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω ^b =] − 1 2 , 1

2 [ ² ×] − 1, 0[−→ (x 1 , x 2 , h ^b _n x 3 ) ∈ Ω ^b _n .

Cette fois l’estimation de l’´ energie libre du syst` eme est ´ etablie d’une part grˆ ace au r´ esultat de convergence de l’´ energie magn´ etostatique et d’autre part en utilisant le r´ esultat de densit´ e suivant.

Soit M _reg =

(

µ = (µ ^a , µ ^b ) ∈ C ¹ (Ω ^a,θ

⁰

, S ² ) × C(Ω ^b , S ² ) :

µ ^a ne d´ epend pas de x 1 , µ ^b ne d´ epend pas de x 3 , µ ^b / _[−

¹

2

,0]×[−

¹₂

,

¹₂

]×[−1,0] ∈ C ¹ ([− ¹ ₂ , 0] × [− ¹ ₂ , ¹ ₂ ] × [−1, 0], S ² ) , µ ^b / _[0,

1

2

]×[−

¹₂

,

¹₂

]×[−1,0] ∈ C ¹ ([0, ¹ ₂ ] × [− ¹ ₂ , ¹ ₂ ] × [−1, 0], S ² ), µ ^a (x 2 , 0) = µ ^b (0, x 2 ) pour x 2 ∈] − ¹ ₂ , ¹ ₂ [

) , et

M = n

µ = (µ ^a , µ ^b ) ∈ H ¹ (Ω ^a,θ

⁰

, S ² ) × H ¹ (Ω ^b , S ² ) : µ ^a ne d´ epend pas x 1 , µ ^b ne d´ epend pas x 3 ,

µ ^a (x ₂ , 0) = µ ^b (0, x ₂ ), pour x ₂ p.p. dans ] − ¹ ₂ , ¹ ₂ [ o Proposition 0.8.1. M reg dense dans M.

0.8.2 Les principaux r´ esultats

En ´ etudiant le comportement asymptotique de l’´ energie libre on trouve que nos r´ esultats d´ ependent de lim n

h

^b_n

h

^a_n

= q ∈ [0, +∞].

Plus pr´ ecisement, dans le cas q ∈]0, +∞[ on obtient le r´ esultat suivant:

(27)

26 INTRODUCTION Th´ eor` eme 0.8.1. Supposons (0.8.1) avec q ∈]0, +∞[. Pour tout n ∈ N , soit m _n = (m ^a _n , m ^b _n ) est une solution minimisante de (0.8.2) et ζ _n = (ζ _n ^a , ζ _n ^b ) est l’unique solution de (0.8.3) qui correspond ` a m n , soit ξ ⁽¹⁾ n (x 2 , x 3 ) = R

¹₂

−¹₂

m ^a _n (x 1 + cot θ 0 x 3 , x 2 , x 3 )dx 1 . Alors, il existe une sous-suite (m n

_i

) i∈

N

et (ˆ µ ^a , µ ˆ ^b , ξ ˆ ^a ) ∈ M × F d´ ependant de la sous-suite choisie, tel que



 

 

m ^a _n

_i

→ µ ˆ ^a fortement dans H ¹ (Ω ^a,θ

⁰

, S ² ), m ^b _n

_i

→ µ ˆ ^b fortement dans H ¹ (Ω ^b , S ² ),

1 h

^a_ni

(m ^a _n

_i

− ξ n ⁽¹⁾

i

) * ξ ˆ ^a faiblement dans F,



 

 

 

  1

h ^a _n D _x

₁

m ^a _n → D _x

₁

ξ ˆ ^a fortement dans L ² (Ω ^a,θ

⁰

, R ³ ), 1

h ^b _n D x

₃

m ^b _n → 0 fortement dans L ² (Ω ^b , R ³ ), et



 



 

 1 h ^a _n

_i

D _x

₁

ζ _n ^a

i

→ sin ² θ ₀ µ ˜ ˆ ^a ₁ − sin θ ₀ cos θ ₀ µ ˜ ˆ ^a ₃ , D _x

₂

ζ _n ^a

i

→ 0, D _x

₃

ζ _n ^a

i

→ 0 fort. dans L ² ( R ³ + ), D x

1

ζ _n ^b

_i

→ 0, D x

2

ζ _n ^b

_i

→ 0, 1

h ^b _n

_i

D x

3

ζ _n ^b

_i

→ µ ˜ ˆ ^b ₃ fort. dans L ² ( R ³

−

), quand i et n divergent, o` u µ ˜ ˆ â ₁ , µ ˜ ˆ â ₃ et µ ˜ ˆ ^b ₃ sont les prolongements par z´ ero de µ ˆ â ₁ ,

ˆ

µ â ₃ et µ ˆ ^b ₃ dans R ³ respectivement, et (ˆ µ, ξ ˆ â ) est une solution de probl` eme suivant E q (ˆ µ, ξ ˆ â ) = min {E q (µ, ξ â ) : (µ, ξ â ) ∈ M × F } .

De plus, on a

lim n E _n (m _n ) = E _q (ˆ µ ^a , ξ ˆ ^a ), o` u

E q : (µ ^a , µ ^b , ξ ^a ) ∈ M × F −→

Z

Ω

^a,θ0

α|(D x

₁

ξ ^a , D x

₂

µ ^a , D x

₃

µ ^a − cot θ 0 D x

₁

ξ ^a )| ² + ϕ(µ ^a ) + 1

2 | sin θ 0 µ ^a ₁ − cos θ 0 µ ^a ₃ | ²

! dx−

2 Z

Ω

^a,θ0

f ^a (x 1 , x 2 , x 3 )µ ^a dx − 2q Z

Ω

^b

f ^b (x 1 , x 2 , x 3 )µ ^b dx+

q Z

]−

¹₂

,

¹₂

[

²

α|(D x

₁

µ ^b , D x

₂

µ ^b )| ² + ϕ(µ ^b ) + 1 2 |µ ^b ₃ | ²

! dx 1 dx 2 , avec

F =

f ∈ L ² (Ω ^a,θ

⁰

) : D x

₁

f ∈ L ² (Ω ^a,θ

⁰

) .

(28)

27 Pour q = 0 (i.e. h ^b _n h ^a _n ), le probl` eme se r´ eduit ` a un probl` eme en 2D (un

film mince vertical), et on perd la condition de jonction. De mani` ere analogue,

si q = +∞ (i.e. h ^a _n h ^b _n ), le probl` eme se r´ eduit ` a un probl` eme en 2D (un film

mince horizontal), et on perd ainsi la condition de jonction.

(29)

28 INTRODUCTION

(30)

Chapter 1

nD − pD Dimensional

reduction of micromagnetic structures

S. Soueid. n D - p D Dimensional reduction of micromagnetic structures, accept´ e pour publication Ricerchie Mat. Doi: 10.1007/s11587-014-0186-8.

Abstract. Starting from a nD, n ≥ 2, non-convex and nonlocal micromagnetic energy, we determine, via an asymptotic analysis, the free energy of a pD ferromagnetic domain, 1 ≤ p < n.

Mathematics Subject Classification (2000): 78A25, 74G65, 78M35.

Keywords: micromagnetics, variational problem, dimensional reduction.

1.1 Introduction

This paper is devoted to generalize a result due to G. Gioia and R. D. James in [39]. By starting from the classical micromagnetic energy for a bounded domain in R ⁿ , n ≥ 2 (cf. L. D. Landau and E. M. Lifshitz in [50]), we determine via an asymptotic analysis, the free energy of a ferromagnetic p-dimensional domain in R ⁿ , 1 ≤ p < n.

Magnetic thin-film elements are used in many applications: inductive thin films heads, magnetic recording, megnetoresistive sensors, thin films memories, etc. (see [46]).

We consider a thin domain Ω h = Θ×] − h, h[ ^n−p ⊂ R ⁿ with small thickness h, where h is a positive parameter tending to zero, and with cross-section Θ, where Θ is a smooth bounded open subset of R ^p . The aim of this paper is to study the asymptotic behavior, as h vanishes, of the following problem

(1.1.1) min

1 h ^n−p

Z

Ω

_h

|Dm| ² + ϕ(m) + 1

2 Dζm − 2F h m

dx, m ∈ H ¹ (Ω h , S ⁿ⁻¹ )

29

(31)

30 CHAPTER 1. nD − pD Dimensional reduction subjected to

(1.1.2) div −Dζ + m

= 0 in R ⁿ ,

where S ⁿ⁻¹ = {x ∈ R ⁿ : |x| = 1}, ϕ : S ⁿ⁻¹ → [0, +∞[ is a continuous even function and F h ∈ L ² (Ω h , R ⁿ ). In (1.1.2) it is understood m = 0 in R ⁿ \ Ω h .

In the classical theory of micromagnetics, if n = 3, m : Ω h → R ³ denotes the magnetization and the body is always locally magnetized to a saturation magnetization |m(x)| = m _s (T) > 0 unless the local temperature T is greater or equal to Curie temperature depending on the body, in the latter case m _s (T ) = 0.

This model was proposed by Brown in [11]. We suppose that the temperature is constant and lower than Curie temperature and, without loss of generality, we assume that |m| = 1, i.e. m(x) ∈ S ⁿ⁻¹ a.e. in Ω h . The function ζ : R ³ → R denotes the magnetic field potential. The magnetic field potentiel and the magnetization m are connected by equation (1.1.2). The energy in (1.1.1) consists of several contributions. The exchange energy R

Ω

_h

|Dm| ² dx penalizes the spatial variation of m, driving the body to have large regions of uniform magnetization separated by thin transition layers. The magnetostatic energy R

Ω

h

Dζmdx = R

Rⁿ

|Dζ| ² dx favors divm = 0 in Ω _h and m · ν = 0 on ∂Ω _h , where ν denotes the exterior unit normal to ∂Ω h . The anisotropy energy R

Ω

_h

ϕ(m)dx models the existence of preferred directions of magnetization. The external (Zeemann) energy R

Ω

_h

F h mdx favors magnetization parallel to an externally applied field.

In the sequel, following [17], we reformulate our problem on a fixed domain Ω = Θ×] − 1, 1[ ^n−p . Precisely, for describing the limit problem, we set

(1.1.3) f _h (x) = F _h (x

⁰

, hx

⁰⁰

), x a.e. in Ω,

where x = (x

⁰

, x

⁰⁰

) denotes the generic point of R ⁿ , with x

⁰

= (x 1 , ..., x p ) and x

⁰⁰

= (x p+1 , , x n ), and we assume

(1.1.4) f h * f weakly in L ² (Ω, R ⁿ ), as h vanishes.

Our main results depend on n − p. Precisely, if n − p ≥ 2, we prove that the limit problem is given by

(1.1.5) min

( Z

Ω

(|D _x

⁰

µ| ² + ϕ(µ) − 2f (x)µ)dx + 1 2

n

X

i=p+1

Z

R^n−p

|D _x

⁰⁰

P i | ² dx

⁰⁰

Z

Θ

|µ i | ² dx

⁰

+

1 2

n

X i, j = p + 1

i 6= j Z

R^n−p

D _x

⁰⁰

P i D _x

⁰⁰

P j dx

⁰⁰

Z

Θ

µ i µ j dx

⁰

, µ ∈ H ¹ (Θ, S ⁿ⁻¹ ) )

,

(32)

1.1. INTRODUCTION 31 where µ _i , i ∈ {p + 1, ..., n}, is the i ^th component of µ and P _i , i ∈ {p + 1, ..., n}, is the unique solution of the following problem



 



 



P _i ∈ BL ₀ ( R ^n−p ), Z

R^n−p

D _x

⁰⁰

P i D _x

⁰⁰

φdx

⁰⁰

= Z

]−1,1[

^n−p

D x

_i

φdx

⁰⁰

, ∀φ ∈ BL 0 ( R ^n−p ), BL 0 ( R ^n−p ) denoting the Beppo-Levi space on R ^n−p (cf. Section 1.2) and (x p+1 , · · · , x n ) the generic point of R ^n−p .

Remark 1.1.1. If ϕ = 0 and f = 0, the solutions of (1.1.5) are given by constant fields (c ₁ , ..., c _p , 0, ..., 0) with

p

X

i=1

c ² _i = 1. This last claim follows imme- diately from the fact that

(1.1.6)

n

X

i=p+1

Z

R^n−p

|D _x

⁰⁰

P _i | ² dx

⁰⁰

Z

Θ

|µ _i | ² dx

⁰

+

n

X i, j = p + 1

i 6= j Z

R^n−p

D _x

⁰⁰

P i D _x

⁰⁰

P j dx

⁰⁰

Z

Θ

µ i µ j dx

⁰

= Z

Θ×

R^n−p

|

n

X

i=p+1

µ i D _x

⁰⁰

P i | ² dx

and that D _x

⁰⁰

P i , i = p + 1, · · · , n, are linearly independent.

In the case n − p = 1, we prove that the limit problem is given by (1.1.7) min

( Z

Ω

|D _x

⁰

µ| ² + ϕ(µ) + 1

2 |µ n | ² − 2f µ

dx, µ ∈ H ¹ (Θ, S ⁿ⁻¹ ) )

, µ _n denoting the last component of µ.

Remark 1.1.2. If ϕ = 0 and f = 0, the solutions of (1.1.7) are given by constant fields (c ₁ , ..., c _n−1 , 0) with

n−1

X

i=1

c ² _i = 1.

Remark 1.1.3. We point out that the limit problem remains non-convex, but it becomes local and it depends on n − p. Roughly speaking, the limit problem behaves as a ferromagnetic thin film if n − p = 1, while it behaves as a thin wire if n − p ≥ 2.

Several results regarding the study of a single ferromagnetic thin film via

dimensional reduction appear in literature. In [39] the authors proved that the

limit energy becomes local. In [19] and [49], the authors considered also others

regimes. The time dependent case was treated in [5] and in [12]. In [41] and

[42], the authors studied a micromagnetic thin film with degenerate exchange

Micromagnétismes des films minces

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Submitted on 14 Sep 2016

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