Sur la répartition des fonctions $q$-additives

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

-L

OUP

M

AUCLAIRE

Sur la répartition des fonctions q-additives

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

5, n

o

_{1 (1993),}

p. 79-91

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Sur la

_répartition

des

fonctions

_q-additives

par JEAN-LOUP MAUCLAIRE

I. Introduction

Soit N

_{(resp. N*)}

l’ensemble des entiers

_positifs

ou nuls

(resp.

strictement

positifs)

et soit _q un élément de N* strictement

plus grand

_que

_1,

fixé une

fois _pour toutes.

À

tout entier n de

_N,

on

_peut

associer de

façon

_unique

une suite 0

ak(n~

_{q -}

_1,

telle _que l’on ait

Cette

_suite,

dont seul un nombre fini de termes ne sont _pas

_égaux

à

_zéro,

est le

_{développement q-adique}

de n, les

ak(n)

étant les chiffres de n

développé

en base _q. La suite des chiffres d’un entier déterminant de

façon

unique

cet entier et toute suite 0 ak q -

1,

ak = 0 sauf _{pour un} nombre

fini de

_k,

déterminant de même de

_façon

_unique

un

entier,

on en déduit

que N

peut

être identifié à un sous-ensemble de

E,

l’ensemble

produit

d’un

ensemble dénombrable de

_copies

_EQ,

où

_Eq

est défini _par

On a donc :

Si on le munit de la

topologie

produit naturelle,

l’ensemble E est

homéo-morphe

à un anneau

_compact

noté traditionnellement

Z q

et

appelé

l’anneau

des entiers

_q-adiques,

et il n’est _pas difhcile de _{voir que}

_l’image

de N dans E est non seulement

_dense,

mais encore uniformément distribuée dans le

groupe

compact

De

_{façon générale,}

on

appellera

fonction

arithmétique

à valeurs dans un

ensemble A une

application

de N vers A. Les fonctions

arithmétiques

à

Manuscrit _{reçu le} 28 Janvier 1992.

Les résultats contenus dans cet article ont été _exposés au _{colloque "Thémate",}

valeurs réelles définies à

_partir

des chiffres des entiers ont été considérées relativement

_{t ôt ;}

_par

_exemple,

la fonction

_sq(n),

"somme des chiffres en

base _q de

_{n", apparaît déjà}

chez

_Legendre

_[8],

_quand

_{q est}

_premier,

pour

fournir

_l’exposant

de la

_plus

haute

_puissance

_{de q}

divisant n!. Dans le cas

où _q =

_10,

_une estimation _{par M.}

D’Ocagne

de la fonction sommatoire de

c’est-à-dire une estimation de

E

apparaît déjà

en 1886

(in

Jornal de sc. math. e ast. vol. 7 _p.

_117-128).

Par

_définition,

une fonction

arithmétique f

à valeurs dans C est dite

q-additive

(resp. q-multiplicative)

si l’on a

Par

_exemple,

la fonction

_sq(n)

est

_q-additive,

et

_exptitsq(n)l

est

q-multi-plicative.

On attribue

_{généralement}

à Gelfond

_[6]

l’introduction en théorie des

nombres de la notion abstraite de fonction

_q-additive

à valeurs réelles. Un certain nombre de

_{propriétés statistiques}

des fonctions

_q-additives

et

q-multiplicatives

ont été

_exhibées,

_par

_Delange

_[5]

et

_{Coquet [3]}

_par

_exemple.

Les fonctions

_{q-multiplicatives}

de module

_égal

à 1 ainsi _que certaines

ex-tensions ont fait _par ailleurs

_l’objet

de recherches très intéressantes de la

part

de nombreux

_auteurs,

dont

_Coquet

_[2],

Kamae

_[7],

Mendès France

_[4],

Queffélec

[13].

Etant donné un _{groupe abélien}

G,

de loi notée

additivement,

on

_peut

définir une fonction

q-additive

f

à valeurs dans G en disant _que

_f

doit

vérifier

n,

Cette définition

_généralise

la définition

_ordinaire,

et les fonctions

q-multi-plicatives

de module

_égal

à 1 deviennent des fonctions

_q-additives

à valeurs dans

_{R /Z.}

Dans la suite on

remplace

R et T _par un _groupe

G,

abélien,

localement

_compact

et métrisable.

_{L’ob jectii}

de ce travail est l’étude des lois de distribution associées à une fonction

_q-additive

à valeurs dans G.

II. Résultats

Soit donc G un _groupe

abélien,

localement

_compact

et

_métrisable,

dont

nous noterons la loi de _{groupe +. Pour t}

_{dans Zq,}

on écrit son

développe-+00

ment de Hensel t

_{== 2:}

et _{pour y} E

_I~‘1,

son

_{développement tronqué}

~=o

ty == 2:

ak(t)

q kque

l’on identifiera

_{respectivement}

à

On définit

_également

les mesures de

probabilité

Pour toute fonction

_q-additive

~c, on définit _pour

_{tout y}

&#x3E; 0

Etant donné un nombre réel x &#x3E;

_0,

on notera

_~x~

sa

_partie

entière.

Rappelons

que, par

définition,

une somme de variables aléatoires

indé-pendantes

X~

converge essentiellement dans G s’il existe une suite _an telle

que la série

E(~, 2013 an~

converge presque sûrement. Si pour toute suite an

dans G la

_{série £(Xn - an ~}

_diverge

_presque

_sûrement,

la somme de

vari-ables aléatoires

_{indépendantes}

_Xn

est dite

_diverger

essentiellement dans G. On sait que dans un _groupe abélien

métrisable,

seuls les cas de

conver-gence ou de

divergence

essentielles _pour les sommes de variables aléatoires

indépendantes

peuvent avoir

_lieu,

ceci de

_façon

exclusive

_[15].

Si H est un _sous-groupe

_compact

de

_G,

_{+ H} dénotera la

projection canonique

de G sur

G / H.

Enfin,

G étant

_métrisable,

son

dual 9

est dénombrable à

_l’infini,

de

mesure de Haar dm u-finie.

Notre résultat

_principal

est le suivant :

THÉORÈME

1. Soit G un _groupe abélien localement

_compact

métrisable

de loi notée

_{additivement,}

et soit

_f

une fonction

arithmétique

q-additive

à

de Haar dm et _par If le sous ensemble m-mesurable

de 9,

constitué des

caractères X

de G

pour

lesquels il

existe un entier

N(X)

tel _{que :}

Alors H est un _sous-groupe

_{de 9,}

et deux cas seulement _peuvent se

présen-ter :

Premier cas : x n’est _pas

m-négligeable.

Alors,

H est fermé et le dual de

_9/U

est un _sous-groupe

_compact

H de G _pour

_lequel

les

_propositions

suivantes ont lieu simultanément :

1. la suite de variables aléatoires

_{(TH( fy(t)))}

_converge

_{essentiellement,}

2. il existe une suite

An

dans

G/H

et une mesure de

probabilité

v sur

G/H

telle _que la suite des _moyennes de Dirac

où est la mesure sur

G / H

consistant en une masse unité

placée

au

_point

converge

vag u em en t

vers la mesure v.

Deuxième cas : 1t est

_{m-négligeable.}

Dans ce _{cas, pour tout sous-groupe}

_compact

K de

_G,

les

_propositions

sui-vantes ont lieu simultanément :

1. _{pour toute} fonction réelle u continue sur à

_{support compact,}

et pour toute suite

An

dans

_{G / K,}

on a :

2. la suite de variables aléatoires

_{(TK( fy(t)))}

_diverge

essentiellement. On

_peut

affiner

_{l’aspect esthétique}

du théorème et donner des énoncés moins

_généraux,

mais

_plus

_{digestes ;}

_par

_{exemple :}

THÉORÈME

2. Avec les notations

_{précédentes,}

_{supposons que le groupe} G est

_compact.

Alors il existe une suite

An

dans G et une mesure de

probabilité

v sur G telle _{que pour} toute fonction réelle u continue sur G on

ait

1 P

On

_peut

aussi

_donner,

_(la

démonstration étant laissée au

lecteur),

les

conditions nécessaires et suffisantes de continuité de la mesure v

apparais-sant dans le

premier

cas du théorème 1 :

THÉORÈME

3. Si w est une mesure de .Haar sur

G,

_{posons pour} toute fonction réelle F continue sur G à

_{support compact}

et considérons la mesure 0 définie sur G _{par :}

Alors,

0 n’est _pas continue si et seulement si H est un _groupe

fini,

et l’on

a dans ces conditions :

Remarques.

1- La méthode de démonstration _que nous suivrons ici est

_analogue

à celle

développée

dans

_[11].

2- La formulation des résultats connus

déjà

dans le cas ou G = R

[5]

et

G = T

[3], qui

s’exprime

ordinairement _{en termes} de conditions

_portant

_sur

les valeurs des fonctions aux

_points

aqk,

_{0 ~ 1~, 0 a q -1,}

_pourrait

être

récupérée

immédiatement à

_partir

du théorème 1 en

utilisant,

dans le cas

de G =

_R,

le "théorème des trois séries" de

Kolmogorov

[10],

_et dans celui

de G =

7C,

son

_analogue

sur

_T,

un résultat bien connu de P.

_Lévy

[9].

3- La

_suppression

_pure et

_simple

du mot "métrisable" dans l’énoncé du théorème 1 n’est _pas

_possible.

III. Démonstrations

A- Cas du théorème 2.

C’est une

conséquence

immédiate du théorème 1. G étant

_compact

et

métrisable,

son

dual 9

est discret et dénombrable. Le sous _groupe H est de mesure non nulle. On _{remarque que} l’on

_peut

relever

TH( f(n)) -

dans

G en

f (n) -

où doit seulement vérifier = Pour

conclure,

on utilise le fait _{que toute} fonction continue sur G est

_approchée

uniformément _par des

_{polynômes trigonométriques.}

B- Cas du théorème 1.

Première

_{partie :}

est un _groupe.

Soit donc li l’ensemble des

caractères X

de 9

pour

lesquels

il existe un

entier

_positif

_{dépendant de x,}

tel _que

À

un tel _{x, pour} M &#x3E; N &#x3E;

N(X),

on associe la famille de fonctions

définie _par

Pour ~V

_fixé,

_{fN, m}

_{est, par}

_{construction,}

une

martingale,

qui

vérifie

Elle est donc bornée

_{régulière, d’après}

le théorème de Fatou. On en déduit

que la limite lim

fN,

existe y presque

partout,

et _par

_{symétrisation,}

converge

(dJ-l)2

p.s., et comme en fait

et _que le dénominateur de cette

_expression

tend vers une limite non

nulle,

puisque X

est dans

_~C,

on a finalement

Il est clair _que cela revient à dire _que

On notera ~’ cette limite.

Réciproquement

la validité de

_(*)

pour un

caract ère x implique

_{que X}

est dans ?-t. En

_effet,

si l’on définit

_F~-

_par

comme

IFMI == IFI

=

_1,

_on voit

que la forme linéaire continue définie sur

l’espace

des fonctions continues sur

Z~

à valeurs dans

C,

_par

n’est _pas

_{identiquement}

nulle. Par

_conséquent,

il existe un ouvert U tel que

Mais un ouvert de

_{Z2 q}

est une réunion au

plus

dénombrable d’ouverts

Il existe donc un ouvert élémentaire W =

Cy(t)

X

_Cy(u)

_pour

_lequel

on a

Le théorème de convergence dominée donne

La valeur de cette limite se calcule très

facilement,

et l’on a :

Ceci _{montre que X est} dans ?-l.

On

_peut

maintenant démontrer que 7-f est un _{groupe. En}

_effet,

si _{Xl et X2}

sont dans alors par

(*)

et _par

_conséquent,

en effectuant le

produit

des deux

expressions,

on voit que

/1..- JBae ,

existe

_(dp)2

_p.s., ce

_qui

signifie

_{que xl.x2} est un élément de 1i. Par

ailleurs,

si X

est dans

_1i,

_par

_(*)

on voit immédiatement _{que X} E 1i.

Il en résulte _que 1-l est un _sous-groupe de

9,

et on démontre _que si

m(1i)

est non

nulle,

alors 1i est ouvert. En

effet,

il existe alors

K,

un

_compact

que l’on

peut

supposer

symétrique,

tel que

m(x

n

.F~~

&#x3E;

_{0 ;}

on note

_IK

la fonction

_{caractéristique}

de 1i n .K.

_Alors,

le carré de convolution de

IK

est une fonction bien

_{définie, continue,}

et strictement

_positive

en 0. Par

conséquent,

(~ - K)

contient un

_voisinage

de

_0,

et x est ouvert. Il est

donc aussi

_fermé,

_(donc

localement

_compact),

et est discret. Nous noterons H

_{l’orthogonal}

de 1i

_qui

est _compact

_puisque

dual de

_{9 /1i,}

_qui

est

_discret,

_{et par}

_conséquent

_G/H

est localement

_compact.

On a donc la

PROPOSITION 1. 7-l est un sous _groupe de

_9,

et s’il est de mesure non

nulle,

il est ouvert dans

9.

Deuxième

_{partie :}

li est

_supposé

de mesure non nulle.

En conservant les notations de la

_première

_partie,

on a le résultat suivant

(qui

traduit la _convergence essentielle de la suite

_{(TH( fy(t))) :}

PROPOSITION 2. Soit

TH

l’application

canonique

G ~

_G/H.

Il existe une

suite ak dans

G/H

telle que la suite de variables aléatoires

converge M presque sûrement.

Preuve. On commence _{par remarquer que} le fait _{que X est} dans 7-l

équivaut

à la _convergence

_{/-l0 /-l}

_presque sûre de la suite de fonctions

_{x( fy (t) -}

Maintenant,

comme G est métrisable et H

_compact,

_G/H

est métrisable

((1~,

chap.

9,

§3,

prop.

4),

et par

conséquent,

71 est dénombrable à l’infini

([14],

p.

94, 2.3 (ii)).

Alors

l’espace produit

(E

X E x Q9

_m)

est

o-compact.

Par

_application

du théorème de

_Fubini,

_([10],

Part

_1,

_Chap.

2,

§8.2, corollary

p.

186),

on en déduit

_{que Il 0 Il}

_presque sûrement la

X((fy(t) - fy(u~~

converge m-presque

partout,

et par inversion de la transformation de Fourier

_([14],

_{p. 103}

_(iii),

inversion

_theorem),

on en

déduit _que

_{( fy(t) - fy(u))}

_{converge p presque sûrement.} De

_même,

le même théorème de Fubini

_appliqué

sur

((E

_qui

est

_compact,

donne _que

_du

_{presque sûrement} en _u, la suite

(f (ty) -

_converge

_dy

preque sûrement en t. Par

_conséquent,

il existe un u tel _que

converge

dg

presque sûrement en t. On choisit donc ce u =

(uk)

et ak =

modulo H. La

_proposition

2 est donc démontrée.

Troisième

_{partie :}

Fin de la démonstration du théorème 1.

Rappelons

les résultats suivants dus

_{respectivement}

à Mendès France

[12]

et

_Delange

_{[5] :}

R2- si r est une fonction

q-multiplicative

de module

1,

et s’il existe

M &#x3E; 0 tel que

alors

1 ~/

cas où Tl n’est _pas

négligeable.

La

_proposition

2 établie dans la deuxième

_partie

donne la

_propriété

1 du

premier

cas du théorème 1. Pour ce

_qui

est de la

_propriété

_2,

il suffit de

remarquer que

si X

est dans

1t,

il existe par définition M tel que

et _par

_R2,

Si est une suite de

_G/H

_pour

_laquelle

la conclusion de la

_proposition

2 est

_vérifiée,

en

_posant

ona:

la limite à droite existant bien

_puisque

X est dans

7t,

et l’on voit que

(par

la

_proposition

2 et

_{intégration)}

1

existe,

et,

comme transformée de Fourier d’une mesure de

probabilité,

est

continue sur Un théorème

classique

de P.

Lévy

permet

alors de conclure en disant _que la suite de mesures

où est la mesure sur consistant en une masse unité

placée

au

point

converge

vaguement

vers une mesure de

probabilité

v.

2 /

cas où 1t est

_{négligeable.}

Etant donné un _sous-groupe

compact K

de

G,

si lC dénote le dual de

G/K,

il est l’annulateur de K

_compact,

_{et par}

_conséquent,

IC est

_ouvert,

donc de mesure Haar non nulle. Si

TK(fy(t))

_converge

essentiellement,

il

existe une suite

_Ay

telle _{que pour}

_{tout X}

de

_JC,

la suite

x(( fy(t)) - Ay)

converge

dy

p.s., i.e.

Or,

on a montré dans la

première

partie

_que cette relation

_(*)

_implique

que X est dans

H,

ce

_qui

nous donne _que IC C

_1-l,

et donc _que

_m(H)

&#x3E; 0 contrairement à

_{l’hypothèse.}

Par

_conséquent,

il ne

_peut

_pas exister un

sous-groupe

compact K

de G tel que

TK( fy(t)~

converge

essentiellement,

et comme G est métrisable et

que K

est

_compact,

G/K

est métrisable et

par

conséquent,

TK( fy(t~~

diverge

essentiellement

[15].

La

propriété

2 du

cas où li est

_négligeable

est donc établie. Démontrons la

_propriété

1.

On _suppose

_qu’il

existe un _sous-groupe

_{compact K}

de

_G,

une fonction u

continue,

réelle et à

_{support compact}

telle _{que, pour} une suite

(A.~)

dans

G/K,

on ait :

On

_peut

_toujours

trouver une fonction réelle a telle _que l’on ait a &#x3E; u et de

transformée de Fourier Î

_intégrable.

On a

alors,

en

_supposant

les mesures

normalisées,

et en

majorant

le dernier _{terme par}

tenant

_compte

du fait _{que X} est un caractère de K et _{que par}

_conséquent

1 1 1 1

on obtient

l’inégalité

On en

déduit,

_par un théorème de

_Fatou,

_que

Comme

on en déduit _que sur un ensemble de mesure strictement

_positive,

on a

et par

RI,

on obtient _que la mesure de 1t n’est _pas nulle.

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