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Induction et r´ ecursion

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

R´ ecursion

D´edou

Mars 2012

(2)

Induction et r´ ecursion

L’induction permet de prouver qu’un ´enonc´e est vrai pour toutn.

La r´ecursion permet de d´efinir une suite (pour toutn). R´ecursion est le mot savant pour “construction par r´ecurrence”.

(3)

La recette

Pour d´efinir une applicationu deNvers E,

il suffit de pr´eciser

la valeur deu0 et de donner, pour toutn,

une formule pourun+1 en fonction deun et n.

Exemple

On sp´ecifie une suite u par les deux conditions i)u0= 1

ii) Pour toutn,un+1= 2un.

(4)

Exemple

Exemple

On sp´ecifie la suite factorielle par les deux conditions i) 0! = 1

ii) Pour toutn, (n+ 1)! =n!(n+ 1).

(5)

Le principe de r´ ecursion

Th´eor`eme

Etant donn´e un ensemble E, un ´el´ement adeE et une application r:N×E →E, il existe une unique suite u:N→E v´erifiant les deux conditions :

i)u0=a

ii) Pour toutn,un+1=r(n,un).

Et ¸ca se prouve !

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