Séance 24/10/06

(1)

S´ EANCE DU 24 OCTOBRE

6. Groupe de Weyl et classification des systèmes de racines (suite) Dans le paragraphe 5.3 (séances des 17 et 23 octobre), on a donné la liste des diagrammes de Dynkin, anticipant la fin de la classification des systèmes de racines. Pour terminer cette classification, il reste à voir les points suivants.

(1) Soit R un système de racines. Le diagramme de Dynkin D(R) (ainsi que le graphe de CoxeterC(R)) ne dépend pas de la base de R choisie. Pour cela, on introduit le groupe de Weyl de R et l’on montre que toutes les bases de R sont conjuguées par W. Ceci est l’objet de cette section, dans laquelle on montre également que R est déterminé, à isomorphisme près, par son diagramme de Dynkin.

(2) D’autre part, d’après la classification des graphes admissibles obtenue en 5.2, les seuls diagrammes de Dynkin possibles sont ceux listés en 5.3. Il reste donc à montrer que chacun de ces diagrammes est effectivement le diagramme d’un système de racines R (nécessairement unique, d’après (1) ci-dessus).

Plutôt que de construire abstraitement les systèmes de racines, on construira dans la section suivante les C-algèbres de Lie simples«classiques», dont les systèmes de racines sont A_n, B_n, C_n, D_n, et l’on énoncera l’existence des cinq algèbres exceptionnelles de type E₆,E₇,E₈, F₄ et G₂.

Pour plus de d´etails sur les syst`emes de racines, on renvoie au livre de Serre [Se, Ch. V, § §10–11 & 16] ou celui de Humphreys [Hu,§ §10–12], voir aussi [BL4-6, Planches I–IX].

6.1. Groupe de Weyl et conjugaison des bases. — Soit A(R) le groupe des automorphismes de R, c.-`a-d.,

A(R) ={g∈GL(V)|gR = R}.

(0)version du 27/10/06

(2)

Comme R engendre V, alors A(R) s’identifie `a un sous-groupe du groupe des permutations de R ; c’est donc un groupe fini. D’apr`es l’axiome (R2), on a s_α∈A(R) pour toutα∈R.

Définition 6.1. — On appelle groupe de Weyl de R et on note W(R) ou simplement W, le sous-groupe de A(R) engendr´e par les r´eflexions s_α, pour α∈R.

On fixe une base ∆ de R ; on note R⁺l’ensemble des racines qui sont somme d’éléments de ∆, et R⁻ = −R⁺. Les éléments de ∆ sont appelés les racines simples, ceux de R⁺et R⁻les racinespositivesetnégatives. Siαest une racine, on écriraα >0 pour dire queα ∈R⁺, et de mêmeα <0 pour dire queα∈R⁻. On pose

ρ= 1 2

X

β∈R⁺

β.

Lemme 6.2. — Soitα ∈∆. Alors :1)s_α laisse stable R⁺\ {α}.

2)On a s_α(ρ) =ρ−α, et donc (ρ, α^∨) = 1.

D´emonstration. — 1) Soit γ ∈ R⁺ \ {α}. On a γ = P

β∈∆ m_ββ, avec les m_β ∈N, et commeγ 6=α, il existeβ 6=α tel quem_β >1. Comme

s_α(γ) =γ−(γ, α^∨),

le coefficient de β dans s_α(γ) est inchangé, donc égal à m_β >1. Donc s_α(γ) est une racine positive, distincte deα. Ceci prouve le point 1), et le point 2) en résulte.

On pose

C ={y∈V_r´eg |(y, α)>0, ∀α∈∆}.

On l’appelle lachambre de Weylassociée à ∆. Pour touty∈C, on a ∆(y) = ∆ (notation de 4.8). On rappelle que toute base de R est de la forme ∆(y), avec y∈V_rég.

Théorème 6.3(Les bases deRsont conjugées). — (1) Pour tout t ∈ V_r´eg, il existe w ∈ W tel que w(t) ∈ C. Donc W agit transitivement sur l’ensemble des bases de R.

(2) Pour tout α∈R, il existe w∈W tel quew(α)∈∆.

(3) W est engendr´e par les r´eflexions s_α, α∈∆.

D´emonstration. — Soit W⁰ le sous-groupe de W engendr´e par les s_α,α ∈∆.

Nous allons d’abord d´emontrer (1)–(2) pour W⁰, puis en d´eduire que W⁰ = W.

(3)

Soit t∈V_r´eg, et soit w∈W tel que (w(t), ρ) soit maximum (c’est possible puisque W est fini). Alors, pour tout α∈∆ on a

(w(t), ρ)>(s_αw(t), ρ) = (w(t), s_αρ) = (w(t), ρ)−(w(t), α).

On en d´eduit que (w(t), α) est> 0, et en fait >0 puisque w(t) est r´egulier.

Donc w(t)∈C. Alors, ∆(w(t)) = ∆, et l’on en d´eduit que

∆(t) =w⁻¹∆ ={w⁻¹(α)|α ∈∆}.

Ceci prouve (1).

Prouvons (2). Soitβ ∈R⁺, alorsβ =P

α∈∆n_αα, avec lesn_α ∈N. Montrons par r´ecurrence sur

X

α

n_α, appel´e la hauteurde β,

qu’il existe w ∈ W⁰ tel que w⁰(β) ∈ ∆. D’abord, il existe α₀ ∈ ∆ tel que (β, α^∨₀)>0, car sinon on aurait (β, β)60, impossible. Siβ =α₀, c’est gagn´e ; sinon

s_α₀(β) =β−(β, α^∨₀)α₀

est une racine positive de hauteur < à celle de β, et donc par hypothèse de récurrence il existe w⁰ ∈W⁰ tel quew⁰s_α₀(β)∈∆. L’assertion (2) en découle.

(3) Montrons que W⁰ = W. Par définition, W est engendré par less_β, pour β ∈R. Comme s_β =s_−β, on peut se limiter à β ∈R⁺. D’après (2), il existe w ∈ W⁰ tel que w(β) = α ∈ ∆. Or, pour tout σ ∈ A(R), on voit facilement que

σs_βσ⁻¹=s_σ(β).

Par conséquent, s_β égale w⁻¹s_αw donc appartient à W⁰. Il en résulte que W = W⁰. Le théorème est démontré.

Corollaire 6.4. — Le graphe de CoxeterC(R)et le diagramme de DynkinD(R) ne d´ependent que deR.

Démonstration. — Soit ∆⁰ une autre base de R. D’après le théorème précé- dent, il existe w ∈ W tel que ∆⁰ = w(∆). Comme w préserve le produit scalaire, on a

w(α^∨) =w(α)^∨ et (w(β), w(α)^∨) = (β, α^∨), ∀α, β∈∆.

Il en résulte que ∆ et ∆⁰définissent les mêmes graphe de Coxeter et diagramme de Dynkin.

(4)

6.2. Isomorphismes de systèmes de racines. — Dans ce paragraphe, on va montrer qu’un système de racines R est entièremement déterminé par son diagramme de Dynkin. Plus précisément, on a le théorème suivant.

Théorème 6.5. — Soit R⁰ un syst`eme de racines dans un espace euclidien V⁰, soit ∆⁰ une base de R⁰, et supposons donn´ee une bijection φ : ∆ → ∆⁰ telle que

(φ(α), φ(β)^∨) = (α, β^∨) ∀α, β ∈∆;

(c.-`a-d., φ est un isomorphisme entre les diagrammes de Dynkin).

Comme ∆, resp.∆⁰ est une base de V, resp.V⁰, alorsφ se prolonge en un isomorphisme lin´eaire V−→^∼ V⁰, encore not´e φ. Alors

φ(R) = R⁰ et donc R et R⁰ sont isomorphes.

D´emonstration. — Soient α, β∈∆. Alors

(s_φ(α)◦φ)(β) =s_φ(α)(φ(β)) =φ(β)−(φ(β), φ(α)^∨)φ(α), et

(φ◦s_α)(β) =φ(β−(β, α^∨)α) =φ(β)−(β, α^∨)φ(α).

Comme (φ(β), φ(α)^∨) = (β, α^∨), ces deux expressions sont ´egales, et comme

∆ engendre V on en d´eduit que

s_φ(α)=φ◦s_α◦φ⁻¹, ∀α∈∆.

Comme, d’après 6.3, W (resp. W⁰) est engendré par less_α (resp.s_φ(α)), pour α∈∆, il en résulte que l’application

w7→φ◦w◦φ⁻¹

induit un isomorphisme W −→^∼ W⁰. Enfin, comme R = W∆ et R⁰ = W⁰∆⁰, d’après 6.3 à nouveau, on en tire queφ(R) = R⁰. Ceci prouve le théorème.

6.3. Fin de la classification des systèmes de racines. — Soit R un système de racines. On a vu que le diagramme de Dynkin D(R) est bien défini (c.-à-d., indépendant du choix d’une base) et détermine R. D’autre part, on a la proposition suivante.

Proposition 6.6. — SoientRetR⁰ des systèmes de racines dansVetV⁰. Alors RtR⁰ (réunion disjointe) est un système de racine dans la somme directe orthogonale

VL^⊥ V⁰,

et son diagramme de Dynkin est la r´eunion disjointe de D(R) et D(R⁰).

(5)

Démonstration. — On vérifie facilement que RtR⁰ est un système de racines et que, si ∆, resp. ∆⁰ est une base de R, resp. R⁰, alors

∆t∆⁰ est une base de RtR⁰.

Comme (α, β) = 0 pour tout α ∈∆, β ∈ ∆⁰, il en r´esulte que le diagramme de Dynkin de RtR⁰ est la r´eunion disjointe de D(R) et D(R⁰).

Notation 6.7. — On dit que RtR⁰ est la somme directe de R et R⁰. Pour plus de d´etails, voir [BL4-6, VI.1.2 ] ou [Hu, 10.4 & 11.3].

Par conséquent, pour terminer la classification des systèmes de racines, il suffit de montrer que chacun des diagrammes connexes énumérés en 5.3 est effectivement le diagramme de Dynkin d’un système de racines.

Pour A_n, B_n, C_n, D_n, on va voir cela dans la section suivante. D’autre part, on a déjà vu (séances du 17 et 23 octobre, 4.2) le système de racines G₂ de rang 2. Avec les notations de 4.2, les racines suivantes

α= 1, β =√

3 exp(i5π/6) = −3 2 +i

√3 2 forment une base de G₂. On a

(β, α^∨) = 2(β, α) =−3,

et donc le diagramme de Dynkin associ´e est bien celui de type G₂.

Enfin, pour les syst`emes de racines de type E₆,E₇,E₈ et F₄, on renvoie `a [BL4-6, Planches I–IX].

7. Classification des C-alg`ebres de Lie semi-simples

7.1. Le système de racines de g. — Soit g une C-algèbre de Lie semi- simple, et soit hune sous-algèbre de Cartan de g. On a vu (séances du 16 et 17 octobre, §3.6) que les poids non nuls de h dans g forment un système de racines R(g,h) dansh^∗.

A isomorphisme près, ce système de racines ne dépend pas du choix de` h, d’après la proposition suivante. Soit G le groupe des automorphismes d’algèbre de Lie de g; c’est un sous-groupe fermé de GL(g). On rappelle que toutes les sous-algèbres de Cartan degsont conjuguées par G (Thm. 2.26, séances du 9 et 10 octobre).

Proposition 7.1. — R(g,h) ne dépend pas, à isomorphisme près, du choix de h. On dira que c’est le système de racines deg.

Démonstration. — Soit h⁰ une autre sous-algèbre de Cartan de g. D’après le théorème 2.26 (séances du 9 et 10 octobre), il existe un automorphisme g de g tel queg(h) =h⁰.

(6)

Soit α∈R(g,h) et soit x∈g_α non nul. Alors, pour touth⁰ =g(h)∈h⁰ on a :

[h⁰, g(x)] =g([h, x]) =α(h)g(x) = (α◦^tg⁻¹)(h⁰)g(x).

Ceci montre que α◦^tg⁻¹ est un poids, non nul, deh⁰ dans g. On montre de même que, pour toutα⁰ ∈R(g,h⁰),α⁰◦^tg est un poids non nul dehdansg. Il en résulte que l’isomorphisme linéaire

tg⁻¹ :h^∗−→^∼ h^0∗

applique bijectivement R := R(g,h) sur R⁰ := R(g,h⁰). Ceci montre que les syst`emes de racines R et R⁰ sont isomorphes (cf. 4.3).

7.2. Théorème d’existence et d’unicité. — Soient g une C-algèbre de Lie semi-simple, h une sous-algèbre de Cartan, R = R(g,h) le système de racines deg. Soit

∆ ={α₁, . . . , α_n}

une base de R. Pour i= 1, . . . , n, soite_i 6= 0 dans g_α_i, et soit h_i l’élément de hcorrespondant àα^∨_i, c.-à-d., l’unique élémenth_i ∈htel que

α_j(h_i) = (α_j, α^∨_i), ∀j= 1, . . . , n.

Enfin, soit f_i l’unique ´el´ement de g_−α_i tel que [e_i, f_i] = h_i (cf. 3.10). Alors, (h₁, . . . , h_n) est une base de h, et l’on a les relations suivantes, pour touti, j : (1) [h_i, h_j] = 0, [h_i, e_j] = (α_j, α^∨_i)e_j, [h_i, f_j] =−(α_j, α^∨_i)f_j,

(2) [e_i, f_j] =δ_i,jh_i,

(3) (ade_i)^−(α^j^,α^∨ⁱ⁾⁺¹(e_j) = 0 = (adf_i)^−(α^j^,α^∨ⁱ⁾⁺¹(f_j).

Théorème 7.2. — 1) g est isomorphe à la C-algèbre de Lie définie par 3n gé- nérateurs (h_i, e_i, f_i)_i=1,...,n soumis aux relations (1)–(3) ci-dessus. Par consé- quent, g est déterminée, à isomorphisme près, par son système de racines R.

2)Réciproquement, soientRun système de racines arbitraire et∆une base de R. Alors la C-algèbre de Lie g définie par 3n générateurs (h_i, e_i, f_i)_i=1,...,n soumis aux relations (1)–(3) est semi-simple ; les h_i forment une base d’une sous-algèbre de Cartanh, et l’on aR(g,h) = R.

3)De plus, les idéaux simples de gcorrespondent aux composantes connexes de D(R). Par conséquent, lesC-algèbres de Lie simples sont en bijection avec les diagrammes de Dynkin connexes, à savoir :

A_n, B_n, C_n, D_n, E₆, E₇, E₈, F₄, G₂.

Démonstration. — Pour la démonstration, on renvoie à [Se, Chap. VI] ou [Hu,§18].

(7)

On va d´ecrire plus bas les C-alg`ebres de Lie simples «classiques», correspondant aux diagrammes de type A–D.

7.3. Type A_n−1 =sl_n(C). — Les matrices

E_i,j pouri6=j et H_i = E_i,i−E_i+1,i+1, pour i= 1, . . . , n−1 forment une base de g = sl_n; les secondes forment une base de h, la sous- alg`ebre des matrices diagonales desl_n. Introduisons aussibh, l’alg`ebre des matrices diagonales dansgl_n. Alors (E_1,1, . . . ,E_n,n) est une base debh; soit

(bε₁, . . . ,εb_n)

la base duale, c.-à-d., chaqueεb_iest la forme linéaire qui associe à toute matrice diagonale son i-ème coefficient diagonal. Pour toutbh∈bhet tout i6=j, on a

[bh,E_i,j] = (bε_i−bε_j)(bh) E_i,j.

Notonsε_i la restriction deεb_i `ah. Alors, de la d´ecomposition

(1) g=hL M

i6=j

CE_i,j

on d´eduit quehest une sous-alg`ebre de Cartan et que les racines sont les ε_i−ε_j, pour 16i6=j 6n.

On munit bh^∗ du produit scalaire pour lequel (bε₁, . . . ,εb_n) est une base ortho- normale. Alors, pour touti6=j, la réflexion orthogonales_i,j associée à εb_i−bε_j

échange εb_i et εb_j, et vérifie s_i,j(ε_k) = ε_k pour k 6= i, j, et le groupe engendré est le groupe symétrique W = S_n, agissant par permutation desεb_i.

Alors,h^∗ s’identifie `a l’orthogonal deεb₁+· · ·+εb_n(qui est stable par W) et R ={ε_i−ε_j |i6=j}

est un syst`eme de racines dansh^∗. Posons

α_i =ε_i−ε_i+1 pour i= 1, . . . , n−1.

Alors ∆ ={α₁, . . . , α_n−1}est une base de R, pour laquelle les racines positives sont lesε_i−ε_j, aveci < j. En effet, c’est une base deh^∗, et pouri < j l’on a :

ε_i−ε_j = Xj−1

k=i

α_k. Chaque β∈R est de norme √

2 , donc ´egale `a β^∨, et pour i < j l’on a (α_i, α^∨_j) = (α_i, α_j) =

(

−1 sij=i+ 1;

0 sinon.

Ceci montre que le diagramme de Dynkin associ´e est de type A_n−1.

(8)

Enfin, `a titre de v´erification, il y an(n−1)/2 racines positives, et (1) redonne bien la dimension connue :

dimg=n−1 + 2n(n−1)

2 = (n−1)(n+ 1) =n²−1,

7.4. TypesBetD: groupes orthogonaux. — Soitφune forme bilinéaire symétriquenon dégénérée surC^Net soit J sa matrice dans la base standard (e₁, . . . , e_N). Alors, pour

X = XN

i=1

x_ie_i, Y = XN

i=1

x_ie_i, on a, en notation matricielle,

φ(X,Y) =^tXJY et φ(AX,AY) =^tX (^tAJA) Y

pour tout A ∈ GL_N(C). Alors le groupe orthogonal de φ, formé des A ∈ GL_N(C) qui préserventφ, est égal à :

(∗) O(φ) ={A∈GL_N(C)|^tAJA = J}.

Comme dans la séance du 2 octobre, théorème 7.39 (qui était le cas particulier où J = id), on montre que l’algèbre de Lie de O(φ) est

(∗∗) so(φ) =so(J) ={A∈M_n(C)|^tAJ + JA = 0}.

Comme J est symétrique, ceci équivaut à dire que la matrice JA est antisy- métrique, et comme J est inversible on obtient que so(φ) = J⁻¹AS_N(C), où AS_N(C) désigne le sous-espace des matrices antisymétriques. Donc

(∗∗∗). dimso(φ) = N(N−1)

2 .

De plus, les ´egalit´es A =−J⁻¹(^tA)J et Tr(^tA) = Tr(A) entraˆınent que

∀A∈so(φ), Tr(A) = 0, et donc so(φ)⊆sl_N(C),

ce qui justifie la notation so(φ). Enfin, comme C est algébriquement clos, toutes les formes bilinéaires symétriques non dégénérées sont équivalentes. Les algèbres de Lie so(φ) obtenues sont donc toutes isomorphes, et par abus de notation l’on désignera par

so_N=so_N(C)

l’une quelconque d’entre elles, correspondant `a un J arbitrairement choisi.

On pourrait prendre

J = id, qui correspond `a φ(X,Y) = XN

i=1

X_iY_i,

(9)

c.-`a-d., `a la forme quadratique Q(X) = φ(X,X) = P_N

i=1X²_i. Mais il est plus commode de prendre pour J la matrice ayant des 1 sur la 2`eme diagonale et des 0 partout ailleurs, c.-`a-d.,

J :=







0· · · 0 1 0· · · 1 0 ... ... 1 0 · · ·0





.

Alors J⁻¹= J et pour tout A∈GL(2n,C), l’on a :

(†) J^tA J est la«symétrique de A par rapport à la 2ème diagonale».

Ecrivons N = 2n´ ou 2n+1, selon la parit´e de N. (Explicitement,nest le plus petit entier > (N−1)/2.) Il est commode d’introduire la notation suivante.

On pose, pour tout entier i6n:

i= N + 1−i.

Avec cette notation, la base standard deC^N est not´ee : (e₁, . . . , e_n, e_n, . . . , e₁) si N = 2n;

(e₁, . . . , e_n, e_n+1, e_n, . . . , e₁) si N = 2n+ 1.

Posons g = so_N et soit h la sous-alg`ebre des matrices diagonales dans g. On d´eduit de (†) que les matrices :

(1) H_i= E_i,i−E_{i, i}, i= 1, . . . , n;

forment une base deh. Notons

(ε₁, . . . , ε_n) la base duale deh^∗, c.-`a-d.,

(?) ∀h=

Xn

i=1

x_iH_i ∈h, ε_i(h) =x_i.

De plus, on d´eduit de (†) que, avec les H_i, les matrices suivantes forment une base deg :

(2)

½ X_ε_i_−ε_j := E_i,j−E_{j, i},

Y_−(ε_i_−ε_j₎:= E_j,i−E_{i, j}, 16i < j 6n;

(3)

½ X_ε_i_+ε_j := E_{i, j}−E_{j, i},

Y_−(ε_i_+ε_j₎:= E_{j, i}−E_{i, j}, 16i < j 6n;

(4) et, si N = 2n+ 1,

½ X_ε_i := E_i,n+1−E_{n+1, i},

Y_−ε_i := E_n+1,i−E_{i, n+1}, i= 1, . . . , n.

(10)

On v´erifie que chaque X_α, resp. Y_−α, est de poidsα, resp.−α, par exemple : [h,E_i,j−E_{j, i}] = (x_i−x_j)E_i,j+ (x_j −x_i)E_{j, i}= (x_i−x_j)

³

E_i,j−E_{j, i}

´ . Désignant parn⁺, resp.n⁻, le sous-espace des matrices A∈g qui sont triangulaires supérieures (resp. inférieures) avec des 0 sur la diagonale, on obtient que les X_α, resp. les Y_−α, forment une base de n⁺, resp.n⁻, et que cette dé- composition

R = R⁺tR⁻ correspond au choix de la base de R suivante.

7.4.1. Cas de so_2n(C). — Dans ce cas, on pose

α_i =ε_i−ε_i+1 pour i= 1, . . . , n−1;

α_n=ε_n−1+ε_n.

Alors, ∆ = {α₁, . . . , α_n} est une base de R ; les racines positives correspon- dantes sont les :

ε_i−ε_j =P_j−1

k=iα_k, pour 16i < j6n;

ε_i+ε_n=α_n+P_n−2

k=i α_k, pour 16i6n−1;

ε_i+ε_j =α_n+α_n−1+ 2P_n−2

k=j α_k+P_j−1

k=iα_k, pour 16i < j6n−1.

Comme en type A, chaqueβ ∈R est de norme√

2 , donc ´egale `aβ^∨, et pour i < j l’on a

(α_i, α^∨_j) = (α_i, α_j) = (

−1 sij=i+ 1 ou sij=n eti=n−2;

0 sinon.

Ceci montre que le diagramme de Dynkin associ´e est de type D_n.

Enfin, à titre de vérification, il y a n(n−1) racines positives, et la base donnée par (1)–(3) redonne bien la dimension déjà calculée :

dimg=n+ 2n(n−1) =n(2n−1) = 2n(2n−1)

2 .

7.4.2. Cas de so_2n+1(C). — Dans ce cas, on pose

α_i =ε_i−ε_i+1 pour i= 1, . . . , n−1;

α_n=ε_n.

k=iα_k, pour 16i < j 6n;

ε_i =P_n

k=iα_k, pour 16i6n;

ε_i+ε_j =P_j−1

k=iα_k+ 2P_n

k=jα_k, pour 16i < j 6n.

(11)

Cette fois, chaque racine β =ε_i±ε_j est de norme√

2 , donc égale à β^∨; par contre, pour α=ε_i on a α^∨ = 2α. Il en résulte que l’on a, pouri < j :

(α_i, α^∨_j) =







−2 sij =neti=j−1;

−1 sij < n eti=j−1;

0 sinon.

Ceci montre que le diagramme de Dynkin associ´e est de type B_n.

Enfin, à titre de vérification, il y a n(n−1) +n=n² racines positives, et la base donnée par (1)–(4) redonne bien la dimension déjà calculée :

dimg=n+ 2n² =n(2n+ 1) = (2n+ 1)2n

2 .

7.5. Type C : groupes symplectiques. — Soit φ une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée sur C^N. Alors, nécessairement, N = 2n et, comme toutes les formes symplectiques sont équivalentes, on peut supposer que la matrice de φdans la base (e₁, . . . , e_2n) est

J =

µ0−S S 0

¶ ,

où S ∈ GL_n(C) est la matrice ayant des 1 sur la 2ème diagonale et des 0 partout ailleurs. C.-à-d., pour i= 1, . . . , n, posanti= 2n+ 1−i, on a :

φ(e_i, e_i) = 1 =−φ(e_i, e_i)

etφ(e_i, e_j) = 0 sij6=i. Alors le groupe symplectique, formé des A∈GL_2n(C) qui préservent φ, est égal à :

(∗) SP(2n) ={A∈GL_2n(C)|^tAJA = J}.

Comme pour les groupes orthogonaux, on montre que son alg`ebre de Lie est (∗∗) sp_2n={a∈M_2n(C)|^taJ + Ja= 0}.

Comme J est antisymétrique, ceci équivaut à dire que la matrice Ja est sy- métrique, et comme J est inversible on obtient que sp_2n = J⁻¹Sym_2n(C), où Sym_2n(C) désigne le sous-espace des matrices symétriques. Donc

(∗∗∗) dimsp_2n=n(2n+ 1).

De plus, les ´egalit´esa=−J⁻¹(^ta)J et Tr(^ta) = Tr(a) entraˆınent que

∀a∈sp_2n, Tr(a) = 0, et donc sp_2n⊆sl_2n, ce qui justifie la notationsp_2n.

Ecrivant´ a = µA B

C D

¶

, o`u A,B,C,D ∈ M_n(C), on voit que la condition

taJ + Ja= 0 est ´equivalente aux conditions suivantes :

(‡) D =−S^tAS, B = S^tBS, C = S^tCS.

(12)

Donc A est arbitraire et, d’après (†) vu dans le cas orthogonal, B et C sont symétriques par rapport à la 2ème diagonale et−D est le symétrique de A par rapport à la 2ème diagonale.

Soit h la sous-alg`ebre des matrices diagonales dans sp_2n. On d´eduit de (‡) que les matrices :

(1) H_i= E_i,i−E_{i, i}, i= 1, . . . , n;

forment une base deh. Notons

(ε₁, . . . , ε_n) la base duale deh^∗, c.-`a-d.,

(?) ∀h=

Xn

i=1

x_iH_i ∈h, ε_i(h) =x_i.

De plus, on d´eduit de (‡) que, avec les H_i, les matrices suivantes forment une base deg :

(2)

½ X_ε_i_−ε_j := E_i,j−E_{j, i},

Y_−(ε_i_−ε_j₎:= E_j,i−E_{i, j}, 16i < j 6n;

(3)

½ X_ε_i_+ε_j := E_{i, j}+ E_{j, i},

Y_−(ε_i_+ε_j₎:= E_{j, i}+ E_{i, j}, 16i < j 6n;

(4)

½ X_2ε_i := E_{i, i},

Y_−2ε_i := E_{i, i}, i= 1, . . . , n.

On vérifie que chaque X_α, resp. Y_−α, est de poids α, resp.−α. Désignant par n⁺, resp.n⁻, le sous-espace des matrices A ∈sp_2n qui sont triangulaires supérieures (resp. inférieures) avec des 0 sur la diagonale, on obtient que les X_α, resp. les Y_−α, forment une base den⁺, resp.n⁻, et que cette décomposition

R = R⁺tR⁻

correspond au choix de la base de R suivante. Posons α_i =ε_i−ε_i+1 pour i= 1, . . . , n−1;

α_n= 2ε_n.

k=iα_k, pour 16i < j 6n;

2ε_i =α_n+ 2P_n−1

k=i α_k, pour 16i6n;

ε_i+ε_j =α_n+ 2P_n−1

k=j α_k+P_j−1

k=iα_k, pour 16i < j 6n.

(13)

Chaque racine β=ε_i±ε_j est de norme√

2 , donc égale à la coracineβ^∨; par contre, pour α= 2ε_i on a α^∨ =α/2. Il en résulte que l’on a, pour i < j :

(α_j, α^∨_i ) =







−2 sij=neti=j−1;

−1 sij < n eti=j−1;

0 sinon.

Ceci montre que le diagramme de Dynkin associ´e est de type C_n.

Enfin, à titre de vérification, il y a n(n−1) +n=n² racines positives, et la base donnée par (1)–(4) redonne bien la dimension déjà calculée :

dimsp_2n=n+ 2n² =n(2n+ 1).

(14)

(15)

S´eance du 18/9 . . . 1

1. Groupes topologiques . . . 1

2. Interlude sur les repr´esentations de groupes finis . . . 3

3. Mesure de Haar sur un groupe compact . . . 5

3.1. Représentations régulières gauche et droite . . . 5

3.2. Int´egration invariante . . . 6

3.3. Th´eor`eme du point fixe de Kakutani . . . 6

S´eance du 19/9 . . . 9

3. Mesure de Haar sur un groupe compact (suite) . . . 9

3.4. Mesures de Radon . . . 11

3.5. Mesure de Haar sur un groupe compact . . . 12

4. Représentations unitaires et théorème de Peter-Weyl . . . 16

4.1. Repr´esentations continues . . . 16

4.2. Repr´esentations unitaires . . . 17

4.3. Op´erateurs compacts . . . 18

4.4. Op´erateurs `a noyaux . . . 19

S´eance du 25/9 . . . 21

5. L’alg`ebre des «fonctions repr´esentatives» . . . 21

5.1. Coefficients matriciels . . . 21

5.2. Fonctions repr´esentatives . . . 23

5.3. Cas des groupes compacts . . . 24

5.4. Schur, Burnside et produits tensoriels . . . 25

5.5. R´esultats sur les modules semi-simples . . . 26

5.6. Appendice : preuve du th´eor`eme de Burnside . . . 28

4. Th´eor`eme de Peter-Weyl (suite) . . . 29

4.4. Op´erateurs `a noyaux . . . 29

(16)

S´eance du 26/9 . . . 35

4.5. Une conséquence du théorème de Peter-Weyl . . . 35

6. Sous-groupes ferm´es de GL_n(R) . . . 36

6.1. Alg`ebres de Lie . . . 36

6.2. Propri´et´es de l’exponentielle . . . 36

6.3. L’alg`ebre de Lie d’un sous-groupe ferm´e de GL_n(R) . . . 39

6.4. Composante connexe d’un groupe topologique . . . 40

7. Groupes de Lie . . . 42

7.1. Variétés différentiables . . . 42

S´eance du 2 octobre . . . 45

7. Groupes de Lie (suite) . . . 45

7.1. Variétés différentiables (suite) . . . 45

7.2. «Rappels»de calcul diff´erentiel . . . 47

7.3. Espace tangent en un point à une sous-variété deR^N . . . 50

7.4. Sous-variétés définies par des équations de rang constant . . . 52

S´eance du 3 octobre . . . 55

7. Groupes de Lie (suite) . . . 55

7.5. D´erivations et champs de vecteurs . . . 55

7.6. Alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie . . . 63

7.7. Retour aux sous-groupes ferm´es de GL_n(R) . . . 65

7.8. Morphismes de groupes et d’alg`ebres de Lie . . . 69

7.9. Repr´esentations . . . 73

Partie II : Alg`ebres de Lie S´eances du 9 et 10 octobre . . . 75

1. Algèbres de Lie : définitions et premières propriétés . . . 75

1.1. Alg`ebres de Lie, id´eaux, modules . . . 75

1.2. Alg`ebres de Lie r´esolubles ou nilpotentes . . . 80

1.3. Formes invariantes et forme de Killing . . . 82

1.4. Th´eor`eme d’Engel et applications . . . 85

2. Théorème de Lie et critère de Cartan . . . 87

2.1. Théorème de Lie et conséquences . . . 87

2.2. Poids des alg`ebres de Lie nilpotentes . . . 90

2.3. Sous-alg`ebres de Cartan . . . 93

2.4. Crit`ere de Cartan . . . 97

3. Racines d’uneC-alg`ebre de Lie semi-simple . . . 99

3.1. Racines dehdansg . . . 99

3.2. Alg`ebre enveloppante d’unek-alg`ebre de Lie . . . 102

(17)

3.3. Repr´esentations de sl₂(C) . . . 104

3.4. Retour à la preuve du théorème d’intégralité . . . 105

3.5. Passage `a unR-espace euclidien . . . 106

3.6. Le syst`eme de racines R⊂h^∗_R . . . 107

3. Racines d’uneC-alg`ebre de Lie semi-simple (suite) . . . 109

3.7. Le cas desl₂(C) . . . 109

4. Syst`emes de racines . . . 109

4.1. D´efinitions . . . 109

4.2. Syst`emes de racines de rang 2 . . . 110

4.3. Bases d’un syst`eme de racines . . . 113

4.4. Matrices de Cartan, graphes de Coxeter, diagrammes de Dynkin 115 5. Classification des graphes admissibles . . . 116

5.1. Premi`eres r´eductions . . . 116

5.2. Fin de la classification des graphes admissibles . . . 118

5.3. Classification des diagrammes de Dynkin connexes . . . 121

6. Groupe de Weyl et classification des syst`emes de racines . . . 122

Partie II : Alg`ebres de Lie S´eance du 24 octobre . . . 125

6. Groupe de Weyl et classification des syst`emes de racines (suite) . . . 125

6.1. Groupe de Weyl et conjugaison des bases . . . 125

6.2. Isomorphismes de syst`emes de racines . . . 128

6.3. Fin de la classification des syst`emes de racines . . . 128

7. Classification des C-alg`ebres de Lie semi-simples . . . 129

7.1. Le syst`eme de racines deg . . . 129

7.2. Théorème d’existence et d’unicité . . . 130

7.3. Type A_n−1 =sl_n(C) . . . 131

7.4. Types B et D : groupes orthogonaux . . . 132

7.5. Type C : groupes symplectiques . . . 135

Bibliographie . . . i

(18)

(19)

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