,.
Chapitre 6 – INFILTRATION
6.1 Introduction
6.2 Le milieu non saturé 6.2.1 Définitions
6.2.2 Relations entre le volume et la masse des constituants 6.2.3 La pression capillaire
6.3 Ecoulements en milieu non saturé 6.3.1 Equation de continuité
6.3.2 Loi de Darcy et perméabilité relative
6.4 Infiltration dans un sol nu sous charge hydraulique constante 6.4.1 Modèle de Green et Ampt (1911) et modèles dérivés 6.4.2 L’infiltration des crues des oueds
6.5 Infiltration de la pluie dans un sol nu
6.5.1 Modèle de Mein et Larson (1973) et modèles dérivés 6.5.2 Modèles d’infiltration d’une averse d’intensité variable 6.6 Le rôle de la végétation
6.6.1 La circulation de l’eau dans les plantes
6.6.2 Prélèvement d’eau par les racines et la transpiration des plantes 6.6.3 L’évapotranspiration
6.7 Variabilité spatiale des propriétés du sol 6.7.1 Essais d’infiltration
6.7.2 Théorie de la similitude
6.7.3 Caractérisation statistique de la variabilité 6.7.4 Approches stochastiques
6.8 Modèles empiriques d’infiltration et recharge 6.8.1 Bases conceptuelles
6.8.2 Transformation de l’infiltration nette en recharge 6.9 Conclusion
Bibliographie
6.1 1ntroduction
Le terme "infiltration" désigne communément le passage de l'eau à travers la surface du sol et son mouvement descendant. L'eau n'étant pas le seul fluide susceptible de pénétrer dans le sol, il est préférable d'identifier l'infiltration à toute pénétration d'un fluide mouillant dans un sol, à travers sa surface, sans intervention de forces autres que la capillarité et la pesanteur. Nous négligerons donc les écoulements liés à des gradients de concentration ou à des gradients thermiques. L'eau et l'air sont les deux fluides intervenant en permanence dans les processus naturels d'infiltration.
Pour l'hydrologue, l'infiltration, l'évaporation et le ruissellement sont des processus interactifs contrôlés par les apports extérieurs de matière (eau, air) et d'énergie. Ils dépendent de l'état du sol et de l'état de la végétation. Il serait donc logique de traiter le problème de la redistribution .des précipitations, à différentes échelles de temps et d'espace, à partir d'une analyse détaillée des transferts de masse et d'énergie dans le système sol-végétation- atmosphère. Si ce point de vue n'a été suivi que par un petit nombre d'auteurs, c'est probablement parce que les très nombreux travaux consacrés aux diverses facettes de cette question donnent l'impression que, dans son ensemble, le problème est d'une insurmontable difficulté. On a donc cherché à le simplifier, d'abord en se plaçant dans des conditions particulières où chacun des processus évoqués plus haut peut être analysé indépendamment des autres, ensuite en s'attachant à résoudre les problèmes les plus simples. Ainsi, la "théorie de l'infiltration" se réduit actuellement à l'analyse de certains écoulements en milieu poreux non saturé dans des conditions que l'on rencontre rarement en dehors du laboratoire. Malgré d'évidentes limitations, elle permet de résoudre certains problèmes d'hydrologie en s'appuyant sur des bases physiques relativement solides.
6.2 Le milieu non saturé 6.2.1 Définitions
La zone non saturée englobe tout l'espace poreux compris entre la surface du sol et la surface libre d'un aquifère phréatique. Trois phases sont en présence:
- une phase solide ou matrice;
- une phase liquide correspondant à l'eau d'imbibition, laquelle contient toujours des substances dissoutes;
- une phase gazeuse: l'air.
Le sol correspond à la tranche superficielle de la zone non saturée. Il se distingue par une intense activité biologique et biochimique.
6.2.2 Relations entre le volume et la masse des constituants
On définit les grandeurs suivantes en se référant aux notations de la figure 6.1.
𝑃𝑜𝑟𝑜𝑠𝑖𝑡é 𝑇𝑒𝑛𝑒𝑢𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑎𝑢
𝑛 = 𝑉𝑓/𝑉𝑡 𝜃𝑤 = 𝑉𝑤/𝑉𝑡
(6.1) (6.2) 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑎𝑢 𝑆𝑤 = 𝑉𝑤/𝑉𝑓 (6.3) 𝑇𝑒𝑛𝑒𝑢𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑎𝑢 𝜃𝑎 = 𝑉𝑎/𝑉𝑡 (6.4) Ces grandeurs sont liées par les relations :
𝜃𝑤 = 𝑛 𝑆𝑤 𝜃𝑤 = 𝑛 − 𝜃𝑎 6.2.3 La pression capillaire
Deux fluides qui ne se mélangent pas lorsqu'on les met en présence sont dits immiscibles. Chacun garde son identité propre et développe avec l'autre un ou plusieurs interfaces, sièges de tensions interfaciales encore appelées tensions de surface.
La différence de pression entre deux fluides, de part et d'autre de leur interface, est la
"pression capillaire". C'est une grandeur non négative. Pour le système eau (indice w) - air (indice a), la pression capillaire pc est définie par :
𝑝𝑐 = 𝑝𝑎− 𝑝𝑤 (6.7)
Les hydrologues ont l'habitude d'exprimer cette pression en hauteur d'eau :
ℎ𝑐 = 𝑝𝑐
(𝜌𝑤𝑔)= ℎ𝑎− ℎ𝑤 (6.8)
hc est la hauteur de pression capillaire, g l'accélération due à la pesanteur.
La figure 6.2 représente un élément d'interface. Sa courbure au point P est définie par:
𝜒 = 1 𝑟′+ 1
𝑟′′ = 2
𝑅 (6.9)
r' et r" sont des rayons de courbure de l'interface selon deux directions orthogonales; R est le rayon de courbure moyen.
La loi de Laplace permet d'exprimer la pression capillaire en fonction de la courbure de l'interface. Dans le cas du système eau-air :
𝑝𝑐 = 𝜎𝑤𝑎 𝜒 =2 𝜎𝑤𝑎
𝑅 (6.10) σwa est 1a tension interfaciale eau-air que 1’on notera simplement a.
On peut se représenter un milieu non saturé comme un assemblage de conduits capillaires, les pores, contenant de l'eau et de l'air. Ces deux fluides non miscibles sont séparés par des interfaces. La courbure de ces "ménisques", et donc la pression capillaire, dépendraient seulement de la teneur en eau. Ce schéma est en défaut pour les faibles teneurs et les milieux de texture fine. Un mince film d'eau adsorbée épouse alors le contour des éléments solides de la matrice. La forme de l'interface eau-air est dans ce cas insuffisante à rendre compte de la pression capillaire. Il faut faire intervenir d'autres forces que la capillarité.
La relation teneur en eau-pression capillaire, souvent appelée "courbe de rétention" est caractéristique de chaque sol. Elle est influencée par la structure et la texture du milieu ainsi
que par les propriétés du fluide. Elle détermine les conditions d'utilisation de l'eau du sol par les plantes (figure 6.3).
Différents auteurs (Gupta et Larson, 1979; Arya et Paris, 1982; Haverkamp et Parlange, 1983) ont proposé des modèles physico-empiriques de prédiction de la courbe de rétention à partir de la distribution granulométrique du milieu et d'autres paramètres aisément accessibles à la mesure.
La relation pression capillaire-teneur en eau diffère selon que l'humidité du sol augmente ou décroît (figure 6.4). Une théorie de l'hystérésis a été développée à partir du concept de domaines indépendants. Mualem et Dagan (1975) décrivent plusieurs méthodes de simulation de cet effet.
6.3 Écoulements en milieu non saturé
L'eau et l'air se déplacent simultanément dans l'espace poral non saturé: l'entrée d'eau dans le sol s'accompagne nécessairement d'une sortie d'air. JI peut également se produire un mouvement de vapeur d'eau, mais nous le négligerons.
6.3.1 Équation de continuité
Les équations de conservation de la masse pour l'eau supposée incompressible et pour l'air, dans un écoulement unidirectionnel orienté selon xj sont respectivement:
𝜕𝑣𝑤
𝜕𝑥𝑗 +𝜕𝜃𝑤
𝜕𝑡 = 0 (6.11)
𝜕𝑣𝑎
𝜕𝑥𝑗 +𝜕𝜃𝑎
𝜕𝑡 = 0 (6.12)
va et vw sont les vitesses de l'air et de l'eau, au sens de Darcy (quotient du débit par l'aire apparente de la surface traversée).
6.3.2 Loi de Darcy et perméabilité relative
La loi de Darcy peut être étendue aux écoulements de fluides immiscibles en milieu non saturé. L'écoulement de l'eau est décrit par :
𝑞𝑖𝑤 = −𝑘𝑖 𝑗𝑤(𝜃𝑤) 𝜇𝑤 (𝜕𝑝𝑤
𝜕𝑥𝑗 + 𝜌𝑤𝑔 𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑗) = −𝑘𝑖 𝑗𝑘𝑟𝑤(𝜃𝑤) 𝜇𝑤 (𝜕𝑝𝑤
𝜕𝑥𝑗 + 𝜌𝑤𝑔 𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑗) (6.13)
L'écoulement de l'air est régi par une expression analogue :
𝑞𝑗𝑎 = −𝑘𝑖 𝑗𝑎(𝜃𝑎) 𝜇𝑎 (𝜕𝑝𝑎
𝜕𝑥𝑗 + 𝜌𝑎𝑔 𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑗) = −𝑘𝑖𝑗𝑘𝑟𝑎(𝜃𝑎) 𝜇𝑎 (𝜕𝑝𝑎
𝜕𝑥𝑗 + 𝜌𝑎𝑔 𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑗) (6.14)
où:
qi : ième composante du vecteur débit surfacique, équivalent de la vitesse de Darcy pour l'eau ou l'air;
kij(θ) : perméabilité effective à l'eau ou à l'air, fonction de la teneur en eau ou en air;
kr(θ) : perméabilité relative, quotient de la perméabilité effective par la perméabilité intrinsèque. C'est une fonction de la teneur en eau.
On admet toujours que la relation liant la perméabilité relative à la teneur en eau est indépendante de la composante considérée. La vitesse de Darcy équivalant au débit surfacique apparent, on écrit pour le fluide i :
𝑣𝑖 =𝑘𝑖(𝜃𝑖)
𝜇𝑖 (𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜌𝑖 + 𝜌𝑖𝑔 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧) (6.15)
Tout comme la pression capillaire, les perméabilités relatives dépendent de la répartition microscopique des fluides dans l'espace poral (figure 6.5). On constate donc un effet d'hystérésis dans la relation kri(θi).
Différents modèles physico-empiriques s'efforcent de rattacher la perméabilité relative à des caractéristiques aisément mesurables du milieu poreux considéré.
Marle fait remarquer, au sujet des relations pression capillaire-teneur en eau et perméabilité relative-teneur en eau, qu'il n'existe a priori aucune raison pour qu'elles soient les mêmes selon que les fluides sont à l'équilibre ou en repos. C'est pourtant ce que l'on suppose implicitement puisque ces relations sont déterminées expérimentalement dans des conditions proches de l'équilibre.
6.4 Infiltration dans un sol nu sous charge hydraulique constante 6.4.1 Modèle de Green et Ampt (1911) et modèles dérivés
Ces auteurs analysent l'infiltration dans une colonne de sol verticale, semi-infinie, homogène, dont l'extrémité supérieure est submergée à partir de l'instant t = 0 par une lame d'eau d'épaisseur constante H (figure 6.6). Les hypothèses retenues sont les suivantes :
• Il existe un interface abrupt, appelé "front d'infiltration", entre une zone saturée ( θ = θs ) progressant vers le bas au cours du temps et une zone où la teneur en eau est égale à sa valeur initiale ( θ = θi ).
• Le front est caractérisé par une "hauteur de pression capillaire" Hf. Pour les autres notations, se référer à la figure 6.6.
La loi de Darcy, appliquée entre la surface du sol et le front d'infiltration situé à la profondeur zf permet de calculer le débit infiltré :
𝐼 = 𝐾𝑠𝐻 + 𝐻𝑓+ 𝑧𝑓
𝑧𝑓 = 𝐾𝑠+𝐾𝑠(𝐻 + 𝐻𝑓)
𝑧𝑓 = 𝐴 + 𝐵
𝑧𝑓 (6.16)
Ks est la perméabilité à saturation effective, laquelle est toujours inférieure à 1 en raison du piégeage d'air dans certains pores.
La vitesse d'avancée du front d'infiltration est:
𝑉𝑓 =𝑑𝑧𝑓
𝑑𝑡 = 𝐾𝑠(𝐻 + 𝐻𝑓+ 𝑧𝑓)
𝑧𝑓(𝜃𝑠− 𝜃𝑖) = 𝐾𝑠(𝐻 + 𝐻𝑓+ 𝑧𝑓
𝑊 ) (6.17)
où W est l'infiltration cumulée, exprimée en hauteur d'eau.
En intégrant (6.17), on obtient:
𝐾𝑠𝑡
(𝜃𝑠− 𝜃𝑖)= 𝑧𝑓− (𝐻 + 𝐻𝑓) 𝐿𝑛 [1 + 𝑧𝑓
𝐻 + 𝐻𝑓] (6.18) ou encore:
𝐾𝑠𝑡 = 𝑊 − (𝐻 + 𝐻𝑓)(𝜃𝑠 − 𝜃𝑖) 𝐿𝑛 [1 + 𝑊
(𝐻 + 𝐻𝑓)(𝜃𝑠− 𝜃𝑖)] (6.19)
Tous les paramètres de ce modèle sont bien définis, à l'exception de Hf que l'on interprète comme une valeur représentative de la hauteur de pression capillaire pour le front d'infiltration réel. Bouwer (1961) suggère de relier Hf à une caractéristique mesurable du sol, la perméabilité relative à l'eau, par la relation de pondération suivante :
𝐻𝑓 = ∫ 𝑘𝑟𝑤(ℎ𝑐) 𝑑ℎ𝑐
ℎ𝑐(𝜃𝑖) 0
(6.20)
Bien qu'arbitraire, cette estimation de Hf a permis d'obtenir de bonnes prédictions de l'infiltration.
Morel-Seytoux et Khanji (1974), ont établi une solution complète du problème en tenant compte de la présence d'air dans le sol. Le débit infiltré est donné par :
𝐼 =
𝐾𝑠(𝐻 + 𝐻𝑐 + 𝑊 𝜃𝑠 − 𝜃𝑖) 𝛽 ( 𝑊
𝜃𝑠− 𝜃𝑖)
(6.21)
où β est une facteur de correction visqueuse, sans dimension, caractéristique du sol et du fluide. Il est défini par :
𝛽 = (𝜃𝑠− 𝜃𝑖) ∫ −𝜇𝑟𝑡(𝜃)
𝜃𝑠 𝜃𝑖
𝑑2𝑓𝑤
𝑑𝜃2 𝑑𝜃 (6.22)
Le volume W infiltré au temps t est donné par (6 .23), expression presque identique au résultat (6.19) de Green et Ampt.
𝐾𝑠𝑡
𝛽 = 𝑊 − (𝐻 + 𝐻𝑐)(𝜃𝑠− 𝜃𝑖) 𝐿𝑛 [1 + 𝑊
(𝐻 + 𝐻𝑐)(𝜃𝑠− 𝜃𝑖)] (6.23)
Le terme ambigu Hf de (6.19) est remplacé par une quantité bien définie: la « poussée capillaire effective":
𝐻𝑐 = ∫ 𝑓𝑤 𝑑ℎ𝑐
ℎ𝑐𝑖 0
(6.24)
Les fonctions fw et μrt sont définies par : 𝑓𝑤 = 𝑘𝑟𝑤
𝑘𝑟𝑤 +𝜇𝑤
𝜇𝑎𝑘𝑟𝑎 (6.25)
𝜇𝑟𝑇 = 1 𝑘𝑟𝑤+𝜇𝑤
𝜇𝑎𝑘𝑟𝑎 (6.26)
est la viscosité relative totale.
Morel-Seytoux et Khanji ont complété ces résultats en 1975 par une analyse des effets de l'air sur l'infiltration, dans le cas d'une colonne de sol limitée en profondeur par une couche imperméable ou une surface libre.
Le modèle d'infiltration dans un sol submergé par une lame d'eau d'épaisseur peu variable peut être appliqué à la résolution de divers problèmes pratiques: évaluation des fuites des canaux et des retenues d'eau, conduite de l'irrigation, infiltration des crues des oueds, etc.
Nous développerons ce dernier point en raison de son importance pour les zones arides.
6.4.2 L'infiltration des crues des oueds
Les aquifères des régions arides chaudes sont parfois rechargés par l'infiltration de crues produites par des averses de forte intensité. Nous considérons un tronçon de lit d'oued de largeur 2L, initialement sec, que nous supposons être instantanément submergé par une lame d'eau ruisselante de hauteur H.
Le processus d'infiltration comporte deux phases :
• Dès la submersion du lit de l'oued, le sol commence à se saturer par la surface. Cette zone saturée tend à se développer vers le bas tout en s'élargissant (figure 6.8a). Comme en général le lit de l'oued est assez large, on peut admettre que l'écoulement d'infiltration est vertical. On se trouve donc, pourvu que la hauteur H ne soit ni trop faible ni trop variable dans le temps, dans les conditions d'application du modèle de Green et Ampt. Après qu'un certain temps se soit écoulé depuis le début de la submersion du lit, le front d'infiltration atteint la surface libre de l'aquifère (figure 6.8b). Un débit 2q0 par unité de longueur d'oued est alors infiltré et il s'établit une continuité du modèle saturé entre l'oued et l'aquifère. À cet instant, on pose t = 0.
La réponse de la surface libre de l'aquifère à une injection d'eau à travers le plan x = 0 peut être déterminée en résolvant l'équation de Boussinesq pour un écoulement unidirectionnel :
𝜕ℎ
𝜕𝑡 = 𝑇 𝑆
𝜕2ℎ
𝜕𝑥2 = 𝜒𝜕2ℎ
𝜕𝑥2 (6.27)
Abdulrazzak et Morel-Seytoux(1983) obtiennent la solution suivante :
ℎ(𝑥, 𝑡) = (𝐷 + 𝐻) [𝑒𝑟𝑓𝑐 ( 𝜒 2√𝐾𝑡)
− 𝑒𝑥𝑝 [ 𝑞0𝜒
𝑇(𝐷 + 𝐻)] 𝑒𝑥𝑝 [ 𝑞02𝐾𝑡
(𝑇(𝐷 + 𝐻))2] 𝑒𝑟𝑓𝑐 ( 𝑞0√𝑘𝑡
𝑇(𝐷 + 𝐻)+ 𝜒
2√𝐾𝑡)] (6.28)
𝑞(𝑡) = 𝑞0 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑞02𝜒𝑡
[𝑇(𝐻 + 𝐷)]2) 𝑒𝑟𝑓𝑐 ( 𝑞0√𝜒𝑡
𝑇(𝐷 + 𝐻)) (6.29)
où erfc (•) est la fonction erreur complémentaire, liée à la fonction erreur erf (•) par:
𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑧) = 1 − 𝑒𝑟𝑓(𝑧)
Abramowitz et Stegun (1970) donnent une approximation rationnelle simple de la fonction erreur, dont la précision est largement suffisante pour les calculs pratiques.
6.5 Infiltration de la pluie dans un sol nu
6.5.1 Modèle de Mein et Larson (197 3) et modèles dérivés
Considérons une averse d'intensité constante P et de durée t, sur un sol initialement sec (figure 6. 9). Depuis le début de la pluie (t = 0) jusqu'à l'instant tp , le débit infiltré 1 est égal à l'intensité de la pluie si du moins la capacité d'infiltration du sol est au moins égale à P, ce que nous supposons être. La surface du sol tend vers l'état saturé, atteint au temps tp appelé "temps de saturation". Au-delà de cet instant, l'excès d'eau qui apparaît est d'abord retenu dans les petits creux de la surface du sol. Puis, dès l'instant tr, le ruissellement se déclenche et son intensité va en augmentant jusqu'au temps tm, selon une courbe caractéristique d' un régime transitoire durant lequel se superposent trois phénomènes: diminution continue du débit infiltré, augmentation de la rétention superficielle mobilisable et, dans une moindre mesure, du stockage définitif. Au-delà du temps tm, l'infiltration atteint une valeur minimale-limite et le ruissellement est maximal. Dès l'instant ti auquel l'averse cesse, le ruissellement décroît pour s'annuler au temps tf.
Naturellement, si l'intensité P est inférieure à la capacité d'infiltration du sol, toute la pluie s'infiltre et le débit ruisselé est nul.
De nombreux auteurs ont proposé des expressions de l'infiltration cumulée en fonction du temps, applicables seulement lorsque la surface du sol est saturée. On retient généralement que le débit infiltré varie comme l'inverse de la racine carrée du temps (Philip, 1957).
Mein et Larson (1973) étendent l'approche de Green et Ampt au cas de l'infiltration d'une averse d'intensité constante P supérieure à la capacité d'infiltration du sol fp. La teneur en eau initiale θi de la colonne verticale de sol homogène est supposée constante, de l'ordre de la teneur en eau irréductible θr. Des profils caractéristiques de la teneur en eau en fonction de la profondeur, aux temps t = tp et t ≥ tp sont représentés sur la figure 6.10.
Au temps de saturation tp, le débit infiltré est égal à l'intensité P de la pluie. Le débit est donné par la loi de Darcy :
𝐼 = 𝐾𝑠𝐿𝑠+ 𝐻𝑓
𝐿𝑠 = 𝑃 (6.30) où Hf a la même signification que dans le modèle de Green et Ampt.
D'après la figure 6.10a, on a par construction:
𝐹𝑠 = 𝐿𝑠(𝜃𝑠− 𝜃𝑖) (6.31) d'où, en combinant (6.30) et (6.31) , on obtient:
𝐹𝑠 = 𝐻𝑓(𝜃𝑠− 𝜃𝑖) 𝑃
𝐾𝑠− 1
(6.32)
Cette relation permet de calculer la lame d'eau Infiltrée depuis le début de l'averse jusqu'au déclenchement du ruissellement. Le temps de saturation est donné par:
𝑡𝑝 =𝐹𝑠
𝑃 =𝐻𝑓(𝜃𝑠− 𝜃𝑖) 𝑃 (𝑃
𝐾𝑠− 1)
(6.33)
Hf peut en pratique· être évalué par la formule de Bouwer (6.20).
Après saturation de la surface du sol, (t ≥ tp), la capacité d'infiltration fp peut être évaluée en appliquant la loi de Darcy. Avec les notations de la figure 6.10b, on obtient :
𝑓𝑝 = 𝐾𝑠(𝐻𝑓+ 𝐿𝑠+ 𝐿
𝐿𝑠+ 𝐿 ) (6.34) Or par construction :
𝐿𝑠 = 𝐹𝑠
(𝜃𝑠− 𝜃𝑖) (6.35) 𝐿 = 𝐹 − 𝐹𝑠
𝜃𝑠− 𝜃𝑖 (6.36)
𝐿𝑠+ 𝐿 = 𝐹
𝜃𝑠− 𝜃𝑖 (6.37)
Naturellement l'infiltration est équivalente à la capacité d'infiltration du sol:
𝑓𝑝 = 𝐾𝑠(1 +𝐻𝑓(𝜃𝑠− 𝜃𝑖)
𝐹 ) (6.38)
Morel-Seytoux (1976) a établi une solution plus rigoureuse de ce problème en tenant compte de la présence d'air dans le sol. Le débit infiltré au temps t ≥ tp est:
𝐼 =𝑑𝑊 𝑑𝑡 =
𝐾𝑠
𝛽 [𝐻𝑐(𝜃𝑠, 𝜃𝑖) +(1 − 𝑓𝑊(𝜃𝑖))𝑊 𝜃𝑠− 𝜃𝑖 ] 𝑊(1 − 𝑓𝑊(𝜃𝑖))
𝜃𝑠− 𝜃𝑖 −𝑊𝑝(1 − 𝑓𝑊(𝜃𝑖))
𝜃𝑠 − 𝜃𝑖 (1 −1 𝛽)
(6.39)
où:
𝐻𝑐(𝜃𝑠, 𝜃𝑖) = ∫ 𝑓𝑊𝑑ℎ𝑐
ℎ𝑐𝑖 ℎ𝑐𝑠
(6.40)
W représente l'infiltration cumulée au temps de saturation. B est défini en (6.22). β est défini en (6.22).
Sous une forme intégrée (6.39) devient : 𝐾𝑠
𝛽 = (𝑡 − 𝑡𝑝) = 𝑊 − 𝑊𝑝[− (𝜃𝑠− 𝜃𝑖)
1 − 𝑓𝑊(𝜃𝑖)𝐻𝑐(𝜃𝑠, 𝜃𝑖) + 𝑊𝑝(1 −1
𝛽)] (6.41)
𝐿𝑛 [
1 + (1 − 𝑓𝑊(𝜃𝑖))𝐻 (𝜃𝑠− 𝜃𝑖)𝐻𝑐(𝜃𝑠, 𝜃𝑖) 1 + (1 − 𝑓𝑊(𝜃𝑖))𝑊𝑝
(𝜃𝑠− 𝜃𝑖)𝐻𝑐(𝜃𝑠, 𝜃𝑖)]
Le temps de la première apparition de la teneur en eau θ a la surface du sol est donné par :
𝑇(𝜃) = (𝜃𝑠− 𝜃𝑖) 𝐻𝑐(𝜃𝑠, 𝜃𝑖) (1 − 𝑓𝑊(𝜃𝑖))𝑃 𝑒
𝐾𝑠
𝛽̅𝑃−𝐾𝑠 𝜃−𝜃𝑖
𝜃𝑠−𝜃𝑖− 1 (6.42)
Le temps de saturation tp = T(θs) sera :
𝑡𝑝 = (𝜃𝑠− 𝜃𝑖) 𝐻𝑐(𝜃𝑠, 𝜃𝑖) (1 − 𝑓𝑊(𝜃𝑖))𝑃 𝑒
𝐾𝑠
𝛽̅𝑃−𝐾𝑠 − 1 (6.43) où 𝛽̅ = 1 +𝛽
2
6.5.2 Modèles d'infiltration d'une averse d'intensité variable
Dans le prolongement des travaux qui viennent d'être passés en revue, différentes analyses de l'infiltration d'une averse d'intensité variable dans une colonne de sol homogène dépourvue de végétation ont été développées par Morel-Seytoux (1978), Smith et Parlange (1978), etc. L'intérêt principal de ces modèles pour l'hydrologue réside dans la description qu'ils proposent de l'évolution de la teneur en eau à la surface du sol. Nous renvoyons le lecteur intéressé aux articles cités en bibliographie.
6.6 Le rôle de la végétation
Le sol, la végétation et l'atmosphère formant un continuum, il est clair que les conditions d'infiltration vont être directement affectées par le prélèvement racinaire, lui-même contrôlé par le degré d'ouverture des stomates.
6.6.1 La circulation de l'eau dans les plantes
La plus grande partie de l'énergie solaire absorbée par la végétation est ensuite perdue sous forme de chaleur sensible et surtout de chaleur latente. Ce dernier flux induit un transfert de sève brute des racines vers les feuilles à travers la plante. Le flux d'eau qui transite journalièrement dans la plante est plusieurs dizaines de fois plus important que la réserve d'eau emmagasinée, notamment celle qui est mobilisable pour la transpiration.
L'eau du sol est absorbée par les racines, souvent munies de poils absorbants. Elle suit ensuite un parcours soit pariétal, soit intracellulaire avant de déboucher dans le xylème, ensemble de vaisseaux conducteurs d'un diamètre compris entre 10 et 50 μm. Les nervures, parties terminales du système conducteur, amènent dans la feuille l'eau qui doit traverser un massif cellulaire non vascularisé avant d'aboutir dans la zone d'évaporation. Les échanges gazeux sont assurés par une série de pores, les stomates, qui perforent l'épiderme des feuilles.
La densité de pores varie de 50 à 500 par mm2, leur longueur est de 10 à 50 μm, leur largeur varie de 0 à 10 μm, selon qu'ils sont fermés ou ouverts. La porosité superficielle d'une feuille est comprise entre 0,3 et 1 %.
Du degré d'ouverture des stomates dépend l'intensité des échanges de gaz carbonique et de vapeur d'eau entre la plante et l'atmosphère. Il existe une grande variété de modèles du comportement des stomates en réponse à des variations de facteurs externes : lumière, température, humidité de l'air, . . . ou internes: teneur en CO2 des méats foliaires, état hydrique, balance hormonale, . . .
6.6.2 Prélèvement d’eau par les racines et la transpiration des plantes
I.R. Cowan (1965) a proposé un modèle simple de prélèvement de 1’eau du sol par les racines. Celles-ci sont supposées être toutes de même dimension et uniformément réparties dans la rhizosphère.
Le prélèvement d’eau par unité d'aire serait donné par : 𝐸𝑠′ = 𝐾𝐷𝛹𝑠− 𝛹𝑟
ℎ𝛼 (6.45)
'l's est le potentiel de 1’eau du sol; Ψ le potentiel de l'eau à la surface de la racine; D, l'épaisseur du sol (rhizosphère), K la perméabilité du sol correspondant à la moyenne géométrique √𝛹𝑠𝛹𝑟, h est un facteur de conversion des hauteurs d’eau en pression (h = 9,81 kPa m-1), α dépend de la dimension des racines et de leur distribution :
𝛼 = (1/8𝜋) [𝛿 − 3 − 2 𝐿𝑛 𝛿 /(1 − 𝛿)] (6.46)
L est la longueur de racine par unité de volume de sol, δ étant le volume de racine par unité de volume de sol.
La relation (6.46) suppose un espacement uniforme entre racines, de telle sorte que :
𝐿 = 1
𝜋𝑅22 (6.47) et
𝛿 = 𝜋𝑅12𝐿 = 𝑅12⁄𝑅22 (6.48)
R1 est le rayon moyen des racines, R2 la demi-distance moyenne entre racines. Le flux Esi est souvent normalisé par la longueur totale de racines par unité d'aire LD. On définit ainsi une résistance interne de la plante par unité de longueur de racine rr.
Le mouvement de l'eau dans la plante serait décrit par :
𝐸𝑠′ = 𝐿𝐷 (𝛹𝑟− 𝛹 − ℎ𝑑) ℎ𝑟⁄ 𝑟
Ψ est le potentiel de l'eau dans la plante, d une "hauteur de déplacement" dont nous précisons rapidement la signification (figure 6.8).
En l'absence de végétation, la vitesse du vent u(z) s'annule à une hauteur zo dépendant de la rugosité du sol. Pour cette raison, z0 est appelé "paramètre de rugosité". Dans le cas d'une végétation de hauteur uniforme H, l'annulation intervient à une hauteur d + z0 (figure 6.11).
Szeicz propose les relations empiriques suivantes:
log z0 = 0, 997 log H - 0,883 (6.50) log d = 0,979 log H - 0,154 (6.51)
Federer (1969) divise le sol en une série de couches horizontales d'épaisseur D; afin de tenir compte du fait que la distribution verticale des racines n'est pas uniforme. En combinant (6.45) et (6.49), on obtient :
𝐸𝑠′= ∑ 𝐸𝑠𝑖′
𝑖
= ∑ −𝐷𝑖(𝛹𝑠𝑖− 𝛹 − ℎ𝑑) ℎ⁄ (𝑟𝑟⁄ ) + (𝛼𝐿𝑖 𝑖⁄ )𝑘𝑖
𝑖
(6.52)
Ceci suppose qu'une même valeur du potentiel de l'eau du sol f s'applique aux différentes couches du sol.
L'équation de continuité pour la plante s'écrit : 𝐸𝑠′− 𝐸′ = 𝑞′ (6.53)
où E' est le débit transpiré, q' la variation instantanée du stock d'eau emmagasiné dans la plante. Ce terme serait donné par :
𝑞′= (Ψ𝑞− Ψ) 𝑟⁄ (6.54) 𝑞
Ψq ne dépendant que de la réserve en eau de la plante Q. Federer utilise la relation linéaire : Ψ𝑞 = Ψ𝑐(1 − 𝑄 𝑄⁄ 0) (6.55)
Ψc est la valeur critique de Ψ pour laquelle les stomates se ferment complètement; Qo est la valeur maximale de Q.
Le transfert d'eau d'un couche à l'autre serait donné par :
𝐹𝑖 = √𝐾𝑖𝐾𝑖+1 [1 + (Ψ𝑠𝑖+ Ψ𝑠𝑖+1) (0,5 ℎ (𝐷⁄ 𝑖 + 𝐷𝑖+1))] (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1) (6.56)
F0 représente les précipitations; Fn = Kn l'écoulement gravitationnel. Ki et Ψsi peuvent être déterminés empiriquement en fonction de la teneur en eau de chaque couche.
6.6.3 L'évapotranspiration
En combinant une approche aérodynamique avec les principes de conservation de l'énergie, Penman (1918) a établi une équation qui permet, à partir de mesures effectuées à un seul niveau au-dessus de la surface concernée, de décrire l'évaporation d'une surface d'eau libre ou d'une végétation dense et rase où aucune restriction physiologique à la transpiration n'est censée se produire. Une équation générale a été établie par Monteith (1964) en incluant des paramètres d'état du couvert végétal. Thom (1972) a donné une version plus rigoureuse de l'équation de Monteith. Récapitulons, d'après Thom (1975), les relations utiles à l'établissement de ces équations.
Le bilan d'énergie s'écrit :
𝐶 + 𝜆 𝐸 = 𝐻 (6.57)
C: flux de chaleur sensible (W m-2), E: évaporation (kg m-2 s-1) , λ: chaleur latente de vaporisation de l'eau liquide, H: flux de chaleur totale.
Dans le cas d'une plante, le flux de chaleur latente λE doit traverser deux résistances en série : la résistance stomatale rst et la résistance aérodynamique rav (figure 6.12). Thom établit :
𝜌0𝐻 = 𝜌𝐶𝑝(𝑇(0) − 𝑇(𝑧))
𝐶 (6.58)
𝑟𝑎𝑣 =𝜌𝐶𝑝(𝑒(0) − 𝑒(𝑧))
𝜆 𝐸 (6.59)
𝑟𝑠𝑡 =𝜌𝐶𝑝 𝑇
(𝑒𝑊(𝑇(0)) − 𝑒(0))
𝜆 𝐸 (6.60)
ρ: masse volumique de l'air. C: chaleur spécifique de l'air à pression constante, e (·): pression de vapeur, eW(T) pression de vapeur saturante à la température T, T: valeur thermodynamique de la constante psychrométrique.
On élimine e(o) en additionnant (6.59) et (6.60):
𝑟𝑎𝑣+𝑟𝑠𝑡 =𝜌𝐶𝑝 𝑇
𝑒𝑊(𝑇(0)) − 𝑒(𝑧)
𝜆 𝐸 (6.61)
Pour éliminer T(o), on doit d'abord poser:
𝑒𝑊(𝑇(0)) = 𝑒𝑊(𝑇(𝑧)) + Δ(𝑇(0) − 𝑇(𝑧)) (6.62)
où Δ est la pente de la courbe de pression de vapeur saturante en fonction de la température de l'eau, évaluée à T = 0,5 (T(o) + T(z)) ou simplement à T(z) si T(o) est inconnu.
Les équations (6.57) et (6.58) sont ensuite utilisées pour remplacer la différence
(T(o) - T(z)) par le produit (H - λE) rah / (ρCp ). En substituant (6.62) dans (6 .61) on obtient :
𝜆𝐸 =Δ𝐻 + 𝜌𝐶𝑝 [𝑒𝑤(𝑇(𝑧) − 𝑒(𝑧))] 𝑟⁄ 𝑎ℎ
Δ + 𝑇(𝑟𝑎𝑣+ 𝑟𝑠𝑡) 𝑟⁄ 𝑎𝐻 (6.63)
Le rapport de Bowen est défini par:
𝛽 = 𝐶 (𝜆 𝐸)⁄ (6.64) On pose:
𝛼 = 𝜆 𝐸 𝐻⁄ = 1
1 + 𝛽 (6.65) Si on introduit la "quasi-résistance":
𝑟𝑖 = 𝜌𝐶𝑝 𝑇
(𝑒𝑊(𝑇(𝑧) − 𝑒(𝑧)))
𝐻 =𝜌𝐶𝑝
𝑇 𝛿𝑒
𝐻 (6.66)
et si on remarque qu'en général rav et raH ne diffèrent pas significativement:
𝑟𝑎𝑣 = 𝑟𝑎𝐻= 𝑟𝑎 (6.67)
on établit aisément d'après (6.63):
𝛼 =𝜆𝐸
𝐻 = Δ𝑟𝑎+ 𝛾𝑟𝑖
Δ𝑟𝑎+ 𝛾𝑟𝑎+ 𝛾𝑟𝑠𝑡 (6.68)
𝛽 = 𝐶
𝜆𝐸= 𝑟𝑠𝑡+ 𝑟𝑎− 𝑟𝑖
(Δ 𝛾⁄ )𝑟𝑎+ 𝑟𝑖 (6.69) 6.7 Variabilité spatiale des propriétés du sol
L'analyse de l'infiltration, déjà passablement compliquée dans le cas d'un sol homogène, est rendue encore plus difficile par la très grande variabilité spatiale des propriétés physico-chimiques des sols naturels. Un nombre considérable d'observation montre que cette variabilité est une caractéristique essentielle des milieux naturels. On est donc conduit à se poser plusieurs questions
• Quelles sont les techniques de mesure bien adaptées à l'étude de cette variabilité ?
• Comment la caractériser statistiquement ?
• Comment introduire cette variabilité des propriétés du sol dans les modèles d'infiltration ?
6.7.1 Essais d'infiltration
Ces essais, très courants en géotechnique, permettent une évaluation rapide et peu coûteuse de la perméabilité Ks d'un sol non saturé. Ils sont pratiqués in situ, dans un trou généralement cylindrique, tubé ou simplement rempli de gravier grossier. On injecte un débit d'eau suffisant pour que le niveau statique reste constant au cours de l'essai. Les différentes solutions analytiques approchées qui permettent d'évaluer Ks sont toutes fondées sur l'hypothèse que l'écoulement est confiné dans une zone saturée séparée du reste du sol par une enveloppe dite ''surface libre" qui est simplement une surface de courant (figure 6.13). Une des formules les plus utilisées dans le cas du trou libre est celle de Glover:
𝐾𝑠 = 𝑄
𝐶𝑢𝑟𝐻 ; 𝐶𝑢 = 2𝜋(𝐻 𝑟⁄ )
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛ℎ (𝐻 𝑟⁄ )−1 𝑒𝑡 (𝐻 𝑟⁄ ) ≥ 20 (6.70, 6.71)
Q est le débit injecté lorsque le "régime permanent" est atteint. Une formule plus élaborée a été établie par Nasberg et Terletskata :
𝐾𝑠 = 0,0423 𝑄
𝐻2 𝑙𝑜𝑔2𝐻
𝑟 50 ≤ 𝐻 𝑟⁄ ≤ 200 (6.72)
Stephens et Neuman (1980) montrent par une série de simulations que les conditions réelles d'écoulement sont bien différentes de celles qui sont représentées sur la figure 6.10.
Une proportion non négligeable du débit total s'écoule à l'extérieur de la surface libre. Il existe bien une zone saturée en contact direct du trou, mais le sol reste non saturé ailleurs. Chaque ligne de courant passe allègrement d'une zone à l'autre ce qui contredit l'hypothèse classique.
Stephens propose la relation:
log 𝐶𝑢 = 0, 658 log(𝐻 𝑟⁄ ) − 0,238 √∝− 0,398 log 𝐻 + 1,343 (6.73)
α représente la pente moyenne de la courbe kr (Ψ) dans l'intervalle 0,5 ≤ Kr ≤ 1., exprimée en mètre à la puissance moins un. H est en mètre.
Connaissant Hr et α, on détermine Cu par (6.73). La valeur de Ks est ensuite tirée de (6.70). D'autres grandeurs caractéristiques des milieux non saturés peuvent être déduites d'analyses granulométriques, en faisant intervenir divers modèles physico-empiriques.
6.7.2 Théorie de la similitude
Deux milieux poreux sont dits semblables si leur géométrie interne ne diffère que par une longueur caractéristique. Autrement dit, il suffit de multiplier toutes les caractéristiques géométriques de l'un par une constate pour obtenir les caractéristiques géométriques de l'autre.
Deux milieux poreux semblables ont une porosité égale et les mêmes distributions relatives de la dimension des grains et des pores. Si λj et λr sont des longueurs microscopiques caractéristiques du j-ième sol et d’un sol de référence, on définit un "facteur d'échelle" sans dimension:
𝛼𝑗 = 𝜆𝑗⁄𝜆𝑟 (6.74)
En général, on choisit comme terme de référence le sol moyen (λr = 𝜆̅). La connaissance du seul facteur α permet, si la théorie s'applique, de déduire les propriétés hydrodynamiques d'un sol quelconque de celles du sol de référence.
Les relations de passage pour la pression capillaire et la perméabilité sont:
ℎ𝑗(𝜃)𝜆𝑗 = ℎ𝑟(𝜃)𝜆𝑟 (6.75) 𝐾𝑗(𝜃) 𝜆⁄ 𝑗2 = 𝐾𝑟(𝜃) 𝜆⁄ 2𝑟 (6.76)
h est la hauteur capillaire, K la perméabilité, fonctions de la teneur en eau θ.
L'analyse dimensionnelle permet de généraliser les relations (6.75) ou (6.76) à d'autres propriétés hydrodynamiques W selon l'expression:
𝑊𝑟 = 𝛼𝑊,𝑗𝑝 𝑊𝑗 (6.77)
αW,j est le facteur d'échelle relatif à la grandeur Wj; la valeur de l'exposant p dépend de celle- ci.
L'hypothèse de similitude implique que tous les facteurs αW,j doivent être identiques pour un même sol.
Plusieurs applications de cette théorie à des problèmes d'infiltration et de drainage ont été présentées dans la littérature.
6.7.3 Caractérisation statistique de la variabilité
La théorie des variables régionalisées, développée par G. Matheron et introduite dans les sciences de l'eau par J.P. Delhomme (1976 et 1978) permet de rendre compte, sous une
forme mathématiquement appropriée, des caractéristiques structurales de la variable étudiée et de résoudre les problèmes d'estimation qui se posent à partir d'un échantillonnage fragmentaire. Il existe dans la littérature de très nombreux exemples de caractérisation de la variabilité spatiale et/ou temporelle des propriétés du sol, à l'aide de grandeurs statistiques classiques: moyenne, variance, coefficient de corrélation, ou à l'aide d'outils géostatistiques.
6.7.4 Approches stochastiques
Bien qu'étant conscients des effets de la variabilité spatiale des sols sur l'infiltration, la plupart des modélistes admettent - au moins implicitement - l'existence d'un milieu homogène équivalent dont les propriétés peuvent être dé terminées à partir d'un échantillonnage limité, en utilisant une procédure appropriée de prise de moyenne. Depuis quelques années, se développe une analyse stochastique des écoulements en milieu poreux. On interprète le milieu poreux réel comme résultant d'un tirage du sort dans un ensemble de fonctions, c'est-à-dire comme une réalisation d'une fonction aléatoire. Si cette fonction est stationnaire et si une hypothèse dite d'ergodicité est satisfaite, les moyennes statistiques et spatiales peuvent être commutées: l'espérance d'une variable est égale à sa moyenne arithmétique spatiale. Dans ce cadre, on cherche à évaluer les moments des variables hydrodynamiques (teneurs en eau, flux, etc.) en fonction des propriétés du milieu, pour des conditions initiales et aux limites données.
La connaissance de ces moments épuise l'information utile pour les calculs pratiques. Ainsi, dans la plupart des applications, il sera suffisant d'estimer, en fonction de la profondeur et du temps, la valeur moyenne d'une variable (teneur en eau, flux, etc …) pour une section horizontale d'un milieu hétérogène.
Dagan et Bresler (1983) assimilent un sol hétérogène à une collection de colonnes verticales homogènes sans interaction, ce qui implique l'indépendance statistique des propriétés hydrodynamiques dans un plan horizontal. Ils montrent que l'on est fondé à utiliser des modèles d'infiltration simplifiés, particulièrement dans Je cas d'une grande variabilité spatiale, dans la mesure où les erreurs dues aux approximations du modèle lui-même sont beaucoup moins importantes que celles commises en négligeant l'hétérogénéité du milieu.
Cette conclusion encourageante doit être acceptée avec réserve dans la mesure où les structures stratifiées se remontrent très fréquemment et dans ce cas, la plus grande variabilité s'observe dans la direction verticale.
6.8 Modèles empiriques d'infiltration et de recharge 6.8.1 Bases conceptuelles
L'aspect purement scientifique du problème de l'infiltration dans les milieux naturels ne doit pas faire oublier la nécessité pour le modéliste de disposer d'outils opérationnels suffisamment simples et économiques pour pouvoir être utilisés de façon quasi routinière, et n'utilisant qu'un nombre restreint de paramètres. Dans ces conditions, aucun modèle ne peut prétendre à l'universalité et il n'est pas étonnant que les facilités de calcul actuelles aient été exploitées par les hydrologues, chacun s'efforçant de réaliser l’outil le mieux adapté aux circonstances particulières qu’il dsoit traiter. D'où une floraison de modèles dont l'apparente variété dissimule un assez large consensus sur les principes méthodologiques.
On peut considérer comme commune à tous les modèles empiriques l'idée que la variabilité des teneurs en eau du sol est beaucoup plus importante dans la zone d'enracinement des végétaux qu'à plus grande profondeur. C'est donc dans la tranche superficielle du sol que
seraient concentrés l'essentiel des processus fortement non linéaires. Au-delà d'une certaine profondeur, l'eau aurait définitivement échappé au pompage de la rhizosphère et finirait tôt ou tard, par un processus approximativement linéaire, pour atteindre la surface libre d'un aquifère.
Une seconde simplification consiste à introduire les non-linéarités sous forme d'effets tout ou rien, d'effets de seuil, etc.
En général, les modèles empiriques d'infiltration sont présentés sous la forme d'un système de réservoirs linéaires et/ou non linéaires soumis aux précipitations naturelles et à la demande atmosphérique en vapeur d'eau. Le ruissellement est assimilé au refus d’un réservoir superficiel de faible capacité. Pour simuler les conditions d'écoulement dans la rhizosphère, on fait appel aux concepts un peu vagues de réserve facilement utilisable (RFU), point de flétrissement . . . censés traduire la disponibilité de l'eau du sol pour les plantes. La mobilité de l'eau dans ce système est définie par des coefficients de transfert entre éléments du système, généralement dépourvus de signification physique.
6.8.2 Transformation de l'infiltration nette en recharge
Au-delà d'une certaine profondeur critique pc on admet que le pompage de la rhizosphère devient nul. Le flux à la profondeur pc est appelé infiltration nette. Après retard et étalement dans le temps, il se transformerait intégralement en recharge de l'aquifère. On admet souvent que ce processus est linéaire, invariant dans le temps. La relation infiltration nette-recharge s'écrit alors :
𝑅(𝑡) = ∫ 𝑘(𝑡 − 𝜏) 𝜏
𝑡 0
𝑑𝜏 (6.78)
où k(•) est la réponse impulsionnelle.
Dès lors que l'excitation 1(t) et la réponse R(t) sont connues, le plus souvent sous forme discrétisée, il est aisé d'identifier la réponse impulsionnelle k(•).
Le débit de recharge R(t) peut être estimé à partir des enregistrements des fluctuations de la surface libre de l'aquifère. Pour ce faire, on interprète les fluctuations piézométriques observées comme résultant des effets simultanés mais opposés du tarissement et de la recharge. Lorsque celle-ci est nulle, la courbe de tarissement pur doit avoir l'allure d'une exponentielle décroissante. Réciproquement, on admet que si cette évolution est observée, la recharge est nulle. Pour évaluer la recharge, il suffit donc de filtrer les effets du tarissement.
En remarquant qu'au cours d'un cycle complet d'alimentation de l'aquifère, le volume d'infiltration nette est égal au volume de recharge, on calcule la valeur d'un coefficient d'emmagasinement permettant de convertir les fluctuations piézométriques filtrées du tarissement en débits de recharge R(t). La méthode est illustrée sur la figure 6.14. Levassor (1976) analyse ainsi plusieurs cycles de recharge des aquifères du bassin de l'Orne, séparés les uns des autres par des épisodes d'une durée d'environ six mois, au cours desquels aucune recharge ne semble se produire. Une réponse impulsionnelle étant identifiée pour chaque cycle, l'auteur constate que:
• pour chaque cycle de recharge, la relation de convolution (6.78) permet une excellente reconstitution de variations piézométriques observées;
• la réponse impulsionnelle associée aux différents cycles sont significativement différentes les unes des autres;
• l'utilisation de la réponse impulsionnelle calculée pour l'ensemble des cycles donne une reconstitution toujours inférieure.
Ces résultats suggèrent que la transformation de l'infiltration nette en recharge est un processus approximativement linéaire, mais non invariant dans le temps. Cette déduction rejoint l'analyse de Morel-Seytoux (1984).
Cet auteur étudie la transformation de l'infiltration nette en recharge, à partir des équations de l'écoulement biphasique en milieu saturé. Il cherche à identifier la réponse indicielle K(t) à un palier unique d'infiltration nette. L'expression proposée par Morel-Seytoux est:
𝐾(𝑡) =(𝐶 + 𝑙𝑡)𝑡𝑎𝑛ℎ(𝛼 𝑡⁄ )
𝜌 + 𝑙𝑡 (6.79)
où C est un paramètre capillaire et d'emmagasinement, ayant la dimension d'une longueur, défini par:
𝐶 = (𝜃1− 𝜃𝑟)𝐻𝑏
3 (6.80)
θ1 étant la teneur en eau à la profondeur critique pc, Hb la valeur maximale de Hb(θ, θr) , ρ est un paramètre de résistance visqueuse et d' emmagasinement ayant également la dimension d'un longueur:
𝜌 =𝜃1− 𝜃𝑟
𝜇𝑟𝑙 [𝐻𝑏+ 0,02(𝐷 − 300)] (6.81)
D est la distance, en centimètres, entre la profondeur critique pc et la surface libre de l'aquifère.
Cette distance est supposée constante. α est un paramètre composite de dimension [L-1].
𝛼 = 6
(𝜃1− 𝜃𝑟)𝐻𝑏𝑙∗1/8 (6.82) 𝑜ù 𝐼∗ = 𝐼 𝐾⁄ 𝑠 (6.83) La teneur en eau à la profondeur pc est 'donnée par :
𝜃1 = 𝜃𝑟 + (𝜃𝑠 − 𝜃𝑟) ( 𝐼 𝐾𝑠)
1 𝑛⁄
(6.84)
Manifestement, le système n'est pas linéaire. Cependant, pour une valeur constante de l'excitation I (t), la fonction K(t) possède toutes les caractéristiques d'une réponse indicielle caractérisant un système linéaire. On peut toujours écrire la recharge au n-ième pas de temps:
𝑅(𝑛) = ∑ Δ (𝑛 − 𝜈 + 1, 𝜈)𝑙(𝜈) (6.85)
𝑛
𝜈=1
R(n) est une fonction des deux paramètres n et ν. Si M est la mémoire du système, on aura à identifier n X ν coefficients. Le problème serait considérablement simplifié si on connaissait une expression analytique du noyau discret Δ. Or, il est facile de déduire une telle formule de
(6.79). Le nombre de paramètres à identifier est considérablement réduit et ces paramètres Ks, Hb, n, θs, θr et D ont tous une signification physique.
6.9 Conclusion
L'infiltration est un phénomène fortement non linéaire, induit par une excitation (les précipitations) très variable dans le temps et dans l'espace, affectant un milieu généralement hétérogène, soumis à un contrôle biologique de la végétation. De plus, différentes échelles de temps et d'espace doivent être considérées. Cette accumulation de difficultés situe le problème de l'infiltration hors de portée d'une théorie générale. Malgré cela, des progrès considérables ont été accomplis dans la compréhension et la modélisation du phénomène. Il reste encore de vastes zones d'ombres, très préjudiciables à la crédibilité de nombreux modèles hydrologiques.
Ainsi l'estimation de la recharge des aquifères à l'échelle infra-régionale n'a pas reçu une attention suffisante. L'analyse de transferts de masse et d'énergie dans le système sol- végétation-atmosphère apparaît comme la clef de la compréhension de ces processus interactifs que sont l'évaporation, le ruissellement et l'infiltration.
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