Un exemple d’enseignement de la logique en DEUG scientifique Viviane Durand-Guerrier
Centre Scientifique Joseph Fourier-Université Grenoble 1 et UMR-GRIC, équipe COAST-Université Lyon 2
I- Le cadre institutionnel
Dans le cadre de la réforme des Deug scientifique, apparaît à la rentrée 1995 l’introduction d’un module d’ouverture non disciplinaire de cinquante heures annuelles. Bien qu’il soit principalement prévu de faire appel à des enseignants de disciplines non scientifiques, les enseignants de l’université sont sollicités pour soumettre des projets. Au centre scientifique Joseph Fourier de Valence (Dröme), qui dépend de l’université Grenoble 1, seront proposés, outre celui que je présente ici, les modules suivants : astronomie, aéronautique, environnement, démographie, économie, Métiers de l’éducation (en seconde année) et à partir de 1996, français.
Les modules sont présentés aux étudiants qui émettent des voeux en classant les modules par ordre d’intérêt décroissant. En plus de leurs quatre modules disciplinaires annuels, ils doivent obligatoirement suivre un tel module qui a un coefficient 2 sur un total d’environ 25. En 1995 et 1996, une trentaine d’étudiants ont choisi Logique et raisonnement mathématique ; ils sont seulement 16 à l’avoir choisi en 1997.
II- Description du module II-1 Le sujet choisi
La logique est une discipline au carrefour de la philosophie et des mathématiques. Elle ne fait pas l’objet d’un enseignement explicite, mais apparaît de manière plus ou moins appuyée selon les enseignants dans les cours de mathématiques en Deug. Le travail épistémologique que j’ai mené dans le cadre de ma thèse m’a convaincu qu’on pouvait aborder certains textes fondateurs avec le bagage d’un étudiant arrivant en Deug scientifique ; en particulier, ces textes ne requièrent pas de connaissances philosophiques générales. A la suite de l’étude de quelques uns de ces textes, on peut présenter les deux systèmes fondamentaux de logique (calcul des propositions et calcul des prédicats) comme l’aboutissements des efforts des précurseurs de la logique pour une clarification des questions relatives à l’inférence, à la vérité et à la validité. Le travail sur ces textes philosophiques permet d’initier une réflexion sur les textes mathématiques fréquentés par les étudiants.
II-2 Les contenus
1- Les précurseurs : La logique dans l’Antiquité ( Aristote et les Stoïciens). La logique de Boole: Les lois de la pensée
2- Le calcul des propositions : Russell -Wittgenstein - Quine -.Construction du système Lien avec les modes de raisonnement classique
3- Le calcul des prédicats, la quantification : Russell- Quine .Construction du système Vérité-Validité ; règles de déduction
4- Eléments de théorie axiomatique des entiers : Peano- Hoffstadter . Le raisonnement par récurrence
5 - Analyse de textes mathématiques
Ce module d’ouverture n’est pas un cours de logique. Son objectif est d’une part de donner aux étudiants les éléments de logique qui leur permettront de saisir les différentes notions logiques en jeu dans le raisonnement mathématique tel qu’ils le pratiquent à l’université ; d’autre part de leur faire entrevoir la richesse d’une discipline au carrefour des mathématiques et de la philosophie.
II-3 Le dispositif
L’intérêt de ce projet tient à l’espace de liberté qu’il offre du point de vue des moyens didactiques employés. Le dispositif est adapté à la nature des contenus proposés et aux objectifs didactiques. Une part importante du travail consiste en l’étude de courts textes philosophiques, guidés par des questions. Pour ceci, les étudiants sont invités à former des groupes de quatre qui vont travailler ensemble tout au long de l’année. A l’issue de chaque séance, chaque groupe remet un document correspondant au travail effectué. L’étude de ces textes donne lieu à des discussions souvent âpres entre les étudiants. La stabilité des groupes permet d’améliorer la qualité des discussions et prépare à la rédaction collective d’un mémoire, dont le sujet est choisi au début du second semestre. L’enseignement est découpé en séquences
; à l’issue de chaque séquence, une ou deux séances de cours sont consacrées au bilan de la séquence et donne lieu à la présentation des systèmes logiques. En fin d’année, les étudiants commencent à travailler sur des textes mathématiques qu’ils rencontrent à l’université.
III- Bilan
III-1 Les difficultés
Pour l’enseignant : la subtilité des notions abordées suscitent de nombreuses discussions dans les groupes, ce qui induit la nécessité de faire des synthèses tout en laissant ouvertes d’autres pistes : par exemple, il n’est pas question dans ce module d’aborder vraiment les logiques non standard (c’est un choix délibéré), mais néanmoins, il faut accepter que certaines des questions soulevées par les étudiants y renvoient. En outre certains étudiants abordent des domaines philosophiques plus larges que ceux proposés dans les textes, débordant le champ de compétence délimité a priori. Ceci est d’ailleurs inhérent à toute forme d’enseignement qui laisse émerger un questionnement authentique.
Pour les étudiants : vu l’aridité a priori du sujet, et le dispositif d’enseignement proposé, les étudiants suivant ce module doivent être très motivés et des résistances apparaissent parfois chez des étudiants désarçonnés par l’investissement personnel nécessaire ; certains d’entre eux éprouvent de réelles difficultés à comprendre les textes proposés, et donc à les analyser et les discuter ; d’autre part, des difficultés techniques apparaissent assez vite, notamment dans les calcul des prédicats.
III- 2 Les points positifs
Conformément à ce que l’on attendait, le travail sur les textes est un levier pour aborder les notions logiques ; en particulier la complexité de ces notions est bien perçue par les étudiants qui mettent en rapport le questionnement des différents auteurs avec leurs propres difficultés ; il s’opère une sorte de démystification des systèmes logiques qui apparaissent comme l’aboutissement d’un travail de réflexion mené sur une durée très longue et non pas comme posés a priori ; en particulier, la fonction de modélisation du raisonnement remplie par ses systèmes permet de comprendre pourquoi certains aspects ne sont pas pris en compte et permet de relativiser le caractère normatif et dogmatique souvent attribué à la logique classique. D’autre part , la rédaction collective de mémoires montre pour certains groupes un réel réinvestissement du travail de l’année et donne lieu le plus souvent à un travail de qualité.
V Conclusion
Bien qu’un enseignement de ce type ne puisse pas être proposé tel quel pour un enseignement obligatoire, il est cependant tout à fait clair que :
- les besoins en logique des étudiants de Deug scientifique ne se limitent pas à la connaissance des tables de vérité et à la manipulation automatique des quantificateurs.
- on ne peut pas faire l’économie, dans une approche de la logique à l’université, de la clarification des notions d’implication, de négation et de quantification et des relations entre
ces notions. Il est indispensable de se déprendre de l’illusion de transparence de ces notions ; la plupart des étudiants ayant suivi cet enseignement déclarent avoir découvert que l’antécédent d’un énoncé conditionnel n’est pas nécessairement vrai.
- il est nécessaire de faire un double travail sur la syntaxe (règles de formation des énoncés) d’une part, et la sémantique (vérité versus validité universelle) d’autre part, en reconnaissant un statut aux phrases ouvertes correspondant à des énoncés sans valeur de vérité, la logique de référence pour les mathématiques de ce niveau étant le calcul des prédicats.
- tout ce travail peut se faire sur des énoncés mathématiques rencontrés en cours ; de plus la structuration logique globale des démonstrations (et pas seulement l’étude des pas de déduction type modus ponens) apparaît comme un objectif raisonnable.
- il apparaît en outre tout à fait souhaitable de ne pas occulter les difficultés auxquelles se sont heurté les fondateurs de la logique moderne, et donc de prendre en compte la dimension épistémologique.
Annexe 1
Séquence 1 : la logique dans l’antiquité
L’objectif de cette séquence est de vous présenter quelques textes mettant en lumière les préoccupations des fondateurs de la logique et certaines des réponses qu’ils ont apporté. Leurs doctrines soulèvent de nombreuses questions philosophiques que nous n’aborderons pas. Nous nous intéresserons essentiellement aux outils qu’ils ont développés pour garantir la correction des raisonnements. Ceci est d’autant plus important pour nous que la logique contemporaine, celle que nous utilisons en mathématique, est d’une certaine manière un prolongement et un achèvement de la logique des anciens, et que d’autre part, elle nous permet en retour de mieux la comprendre (...).Vous allez avoir à travailler sur ces textes, qui sont des traductions du Grec ancien. Il faudra faire un effort pour s’approprier ce langage. Vous devrez essayez de mettre ce que vous lirez en relation avec des choses connues, en particulier des exemples pris dans le domaine mathématique. Il ne s’agit évidement pas de devenir des spécialistes de la logique antique, mais de voir en quoi les textes proposés éclairent les questions que vous pouvez vous poser aujourd’hui sur le raisonnement mathématique.
Doc. 1 : Aristote-L’organon II-De l’Interprétation Les propositions Texte 1: Ce qu’est une proposition
“ (....) tout discours n’est pas une proposition mais seulement le discours dans lequel réside le vrai ou le faux ce qui n’arrive pas dans tous les cas: ainsi la prière est un discours, mais elle n’est ni vraie, ni fausse.
(....) une espèce de proposition est simple: par exemple affirmer quelque chose de quelque chose; ou nier quelque chose de quelque chose. L’autre espèce comprend les propositions formées de propositions simples : c’est le cas par exemple d’un discours déjà composé. ”(pp 84-86)
Question 1: Après avoir lu soigneusement ce texte, donner des exemples de “ discours ” qui sont des propositions (simples ou non) au sens d’Aristote, et d’autres qui n’en sont pas.
Donner si possible des exemples en mathématiques.
Texte 2: termes généraux (universels) et singuliers
“ Puisqu’il y a des choses universelles et des choses singulières (j’appelle universel ce dont la nature est d’être affirmée de plusieurs sujets et singulier ce qui ne le peut: exemple homme est un terme universel et Callias un terme singulier) nécessairement la proposition que telle chose appartient ou n’appartient à un sujet s’applique tantôt à un universel, tantôt à un singulier. ” (pp 87-88)
Texte 3 : l’opposition des propositions ; contradictoires et contraires.
“ L’opposition que j’appelle de contradiction est celle d’une affirmation exprimant un sujet universel pris universellement à une négation exprimant le même sujet non pris universellement.
Par exemple:
Tout homme est blanc Quelque homme n’est pas blanc Nul homme n’est blanc Quelque homme est blanc
L’opposition que j’appelle de contrariété est celle de l’affirmation d’un sujet universel à la négation d’un sujet universel.
Par exemple:
Tout homme est blanc Nul homme n’est blanc
On voit que ces dernières propositions ne peuvent être vraies ensembles, tandis que leurs opposées peuvent être parfois vraies en même temps du même sujet: par exemple, quelque homme n’est pas blanc et quelque homme est blanc. Dans tout couple de contradictoires portant sur des universels < telles que l’une est universelle et l’autre particulière>, < nécessairement> l’une est vraie et l’autre fausse. Et c’est aussi le cas de celles qui portent sur le singulier: par exemple Socrate est blanc, Socrate n’est pas blanc. ” (pp 90-91)
Conformément à la tradition classique, on notera par la suite les propositions portant sur des sujets universels par les lettres A,E,I,O:
A universelle affirmative: Tout homme est blanc
E universelle négative: Nul homme n’est blanc (tout homme est non-blanc) I particulière affirmative: Quelqu’homme est blanc.
O particulière négative: Quelqu’homme n’est pas blanc
Question 2: On s’intéresse ici aux paires de propositions dans lesquels l’attribut est une fois affirmé, une fois nié. Dresser la liste des ces paires; puis pour chaque paire, préciser s’il s’agit
de contradictoires ou de contraires et examiner les possibilités de vérité et de fausseté simultanées.
Question 3: Pour chacune des phrases suivantes, dire si elle est de l’un des type A, E, I, O ou non, puis en donner la négation. Pouvez-vous dire lesquelles de ces propositions sont vraies?
1-Tout nombre est pair
2- Toute fonction numérique est continue 3- Nul nombre n’est premier
4- Quelque fonction n’est pas périodique 5- Quelque fonction est croissante 6- Nul nombre rationnel n’est égal à 2 7- π est un nombre réel
8- La somme des angles d’un triangle est égal à π.
Annexe 2
Plan du cours sur le calcul des prédicats I Insuffisance du calcul des propositions
a) Pour les mathématiques
b) Pour le syllogisme aristotélicien.
II- Construction du système
II-1 Les innovations par rapport au calcul des propositions.
II-2 L’alphabet II-3 La syntaxe
a) Les termes du langage b) Les atomes du langage c) Les formules du langage
d) Application : arbre de décomposition d’une formule e) Variables libres et variables liées
f) Substitution dans les formules III La sémantique
III-1 les structures
III-2 Interprétation des formules dans une structure a) Interprétation des termes
b) Interprétation des formules
III-3 Satisfaction des formules dans une structure
a) Satisfaction d’une formule atomique ayant k variables libres.
b) Satisfaction d’une formule complexe ayant k variables libres x1,x2, ....xk c) Satisfaction d’une formule sans variable libre
III-4 Validité et vérité
a) Formule consistante, inconsistante, universellement valide.
b) Formules logiquement équivalentes c) Notion de conséquence logique.
III-5 Construction de formules universellement valides
Annexe 3
Exemple de texte mathématique à analyser
Soit u une suite numérique telle que les suites extraites des termes de rang pair et de rang impair convergent vers la même limite; notons v la suite extraite des termes de rang pair ; w la suite extraite des termes de rang impair et l leur limite commune.
Soit εε un réel positif strictement v converge vers l donc :
il existe un entier N tel que pour tout n supérieur à N, on ait |vn -l| <εε w converge vers l donc :
il existe un entier N tel que pour tout n inférieur à N, on ait |wn -l| <εε Tout entier est soit pair soit impair ; soit n un entier supérieur à N
si n est pair, un = wn donc |un -l| <εε si n est impair, un = vn donc |un -l| <εε
On a donc prouvé qu’il existe un entier N tel que pour tout n supérieur à N, on ait |un -l| <εε On en déduit que u converge vers l.
Question : Analyser ce texte du point de vue de sa structure logique. La démonstration vous semble-t-elle correcte ? Si non , indiquer les points de désaccord en précisant s’il s’agit selon vous plutôt d’erreurs de type logique ou de type mathématique, et modifier la démonstration pour la rendre correcte.
Annexe 4
Analyse d’un raisonnement (partiel de Février 97)
Dans une lettre en date du 29 octobre 1647, le philosophe Pascal analyse le raisonnement suivant :
“ Présupposons que cette pierre ait été mise dans un grand feu, dont on l’ait retirée depuis peu de temps ; donc cette pierre doit être encore chaude : or elle est chaude ; par conséquent elle a été mise au feu. ”
Pascal, lettre du 29 Octobre 1647 au R.P. Noël
Nous nous intéressons à la possibilité d’analyser ce raisonnement à l’aide des systèmes logiques que vous avez étudiés afin de décider s’il est recevable ou non :
1) Peut-on interpréter ce raisonnement dans la théorie du syllogisme formel d’Aristote?
Précisez vos arguments.
2) Que pensez vous de l’usage du mot “ donc ” dans la première partie de l’argument?
3) Réécrivez l’argument en utilisant l’expression “si, alors ”.
4) Associez à l’argument ainsi réécrit un trope à la manière des Stoïciens. Le trope obtenu fait- il partie des cinq tropes fondamentaux considérés par les Stoïciens?
5) Associez au trope précédent un schéma du calcul des propositions; est-ce une tautologie?
6) Concluez quant à la recevabilité de l’argument.
Annexe 5
Rédaction d’un mémoire
Modalités : Chaque groupe rédige un mémoire d’une dizaine de pages environ sur un sujet choisi parmi la liste ci-dessous ou éventuellement choisi librement sous réserve que cela rentre dans le cadre de ce module.
Chaque étudiant sera ensuite interrogé sur l’un des points traité dans le mémoire. Il s’agit d’une rédaction collective, chaque membre du groupe doit donc être capable de présenter n’importe quelle partie du mémoire et de répondre à toute question en relevant. A l’issue de la séquence orale, chaque étudiant se verra attribuer une note prenant en compte la production écrite et la prestation orale et qui comptera pour moitié dans la note d’examen.
Objectif : Le mémoire est le prolongement du travail fait dans le groupe tout au long de l’année; il permet de valoriser le travail de réflexion mené sur les différentes questions abordées au cours des séances. Il doit vous permettre aussi de mettre à l’épreuve les capacités d’analyses procurées par les connaissances que vous avez acquises.
Les sujets proposés se divisent en quatre catégories :
Sujets de synthèses, analyse des textes de logiciens, analyse de textes mathématiques, divers.
Exemples de sujets choisis
Analyse d’un ouvrage : La logique de Gilles Dowek
Le raisonnement par l’absurde à travers l’irrationalité de racine carrée de deux.
De la logique de Boole à la machine de Pascal. De la théorie à la pratique L’objet de la logique chez différents auteurs
Archimède et π
Les lois de la pensée. Etude du chapitre 15
La logique sans peine. Présentation des diagrammes;
La règle, le compas et la théorie des corps La logique floue
Vérité et validité
Le traitement logique des paradoxes
L’évolution de la logique de l’enfance à l’âge adulte
