0 2 sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre C et de direction sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre A et de direction appui plan de normale O

(1)

Corrigé Exercice 1 : CENTRALE HYDRAULIQUE.

Question 1 : Compte tenu de la nature du contact, donner le nom des liaisons L^LA_2/0, L^LC_2/0 et L_2/0^LD .

2/0

LLA et L^LC_2/0 : pivot glissant d'axe ( , )A z

2/0

LLD : appui plan de normale z

Question 2 : La nature du contact des liaisons en A et C est supposée maintenant comme « cylindrique courte ». Donner le nouveau nom de la modélisation de chacune des liaisons suivantes : L_2/0^LA et L^LC_2/0.

LA2/0

L : sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre A et de direction z

LC2/0

L : sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre C et de direction z

Question 3 : Dessiner le graphe de structure, puis le schéma d’architecture 3D de ces trois liaisons.

2 0

sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre C et de

direction z

sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre A et de

direction z appui plan de

normale z

y z

x

O

(2)

Question 4 : Donner la liaison équivalente entre le bâti 0 et l’arbre 2.

2/0

LLA : sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre A et de direction z :

 

^2/0 ^,2/0^,2/0

, 2/0

,2/0 ( , , )

0 0 LA

x

LA LA

y LA LA z z A

A v _ x y z

 

 

  

 

 

 

V

2/0

LLC : sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre C et de direction z :

 

^2/0 ^,2/0^,2/0

, 2/0

,2/0 ( , , )

0 0 LC

x

LC LC

y LC LC z z C

C v _ x y z

 

 

  

 

 

 

V

2/0

LLD : appui plan de normale z :

 

^2/0 ^,^, ^2/0^2/0

,2/0 ( , , )

0 0

0 LD x P

LD LD

y P LD

P z x y z

v v





 

 

  

 

 

 

V

NB : le torseur cinématique de la liaison appui plan a sa forme générale valable pour tout point de l'espace.

Le changement de point (transfert au point A) pour la liaison en C donne :

2/0 2/0 2/0

LC LC LC

A C

V _ V _ AC 

2/0 , 2/0. . ( ,2/0. ,2/0. ,2/0. )

LC LC LC LC LC

A z C x y z

V _ v _ z L z  x  y  z

2/0 , 2/0. . ,2/0. . ,2/0.

LC LC LC LC

A z C x y

V _ v _ z  L y L x

Donc

 

^2/0 ^,2/0^,2/0 ^,2/0^,2/0 ^,2/0^,2/0

, 2/0 , 2/0

,2/0 ( , , ) ,2/0 ( , , )

0 .

LC LC LC

x x y

LC LC LC LC

y y x

LC LC

z C z C

z z

C x y z A x y z

L L

v _ v _

 

     

 

   

      

   

 

   

   

V

Or, comme les liaisons sont en parallèle :

 ^V

^2/0^Leq

      

^

^V

^2/0^LA ^

^V

^2/0^LC ^

^V

^2/0^LD

donc :



^2/0



^,2/0^,2/0 ^,2/0^,2/0 ^,2/0^,2/0 ^,^, ^2/0^2/0

, 2/0 ,2/0

,2/0 ( , , ) ,2/0 , 2/0 ( , , ) (

0 . 0

0

LC LC

LA LD

y

x x x A

Leq LA LC LC LD

y y x y A

LA LD

LAz z A LCz z CLC A z x

A x y z A x y z

L v

v v



 

   

     

   

     

         

     

 

     

   

V

, , )y z

 

,2/0 ,2/0

,2/0 ,2/0 ,2/0

2/0 , 2/0

,2/0 ,2/0 ( , , )

, 2/0 ,2/0

, 2/0 , 2/0

0 0

0 . 0

0 .

0

LA LC

x x

LA LC

y y

LA LC LD

z z z Leq

LC LD

y x A A z x y z

LC LD

x y A

LA LC

z A z C

L v

v v



 

    

    

      

    

  

   

  

   

  



V

On reconnait ici la forme générale du torseur cinématique correspondant à une liaison pivot d’axe ( , )A z .

(3)

Corrigé Exercice 2 : GALET TENDEUR DE COURROIE.

Question 1 : Dessiner le graphe de structure.

Pivot glissant 1 d’axe (Q,z)

3 2

4

Pivot glissant d’axe (P,z)

Pivot glissant

d’axe (Q,y) Pivot glissant d’axe (Q,y)

Question 2 : Donner la forme du torseur cinématique de la liaison L_2/1.

Liaison pivot glissant d’axe ( , )P z :

 

^2/1

,2 1 , 2 1

( , ) ( , , )

0 0

/ /

z z M

M P z v _ x y z

 

 

 

  

 

 

V

Liaison pivot glissant d’axe ( , )Q z :

 

^3/1

, 3/1

( , ) ,3 1 ( , , )

0 0

/ ^{z M}

M Q z z v _ x y z

 

 

 

  

 

 

V

Liaison pivot glissant d’axe ( , )Q y :

 

^2/3 ^{,2 3} ^, ^{2 3}

( , ) ( , , )

0 0

/ /

0 0

y y M

M Q y x y z

v _

 

 

 

  

 

 

V

Question 5 : Déterminer la forme du torseur cinématique, au point Q , de la liaison équivalente L_eq entre 2 et 1. Préciser son nom.

Seul le graphe des liaisons nous permet de voir clairement si les liaisons sont en parallèle ou en série.

La liaison 2/1L est en parallèle avec les 2 liaisons en série L_2/3 et L_{3 1}/ , donc :

 ^V

^2/1^Leq

      

^

^V

^2/1 ^

^V

^2/3 ^

^V

^3/1

Attention : pour écrire l’égalité et/ou la somme des éléments de réduction des torseurs, il faut impérativement qu’ils soient exprimés au même point !

(4)

Nous allons donc exprimer tous les torseurs au point Q.

Le changement de point (transfert au point Q) pour la liaison L_2/1 donne :

Q 2/1 P 2/1 2/1 , 2/1 ,2/1 ,2/1 , 2/1

V _  V_ QP  v_{z P}_ .z b y.  _z .z  b. _z .xv_{z P}_ .z

Donc

 

^2/1 ^,2/1

,2/1 , 2/1

,2 1 , 2 1 ( , , )

( , ) ( , , )

0 0 0 .

0 0 0 0

/ /

z

z z P

z z M Q x y z

M P z x y z

b

v _ v _

 

    

   

     

   

 

V

Les 2 autres torseurs sont déjà écrits au point Q.

Il est très important de bien connaître les zones de validité de la forme des torseurs cinématiques des liaisons usuelles afin d’éviter de faire des calculs inutiles lorsque l’on « déplace » ces torseurs d’un point à un autre.

Donc :

 

^3/1

, 3/1

,3 1 ( , , )

0 0

/ ^{z Q}

Q z v _ x y z

 

 

  

 

 

V

et

 

^2/3 ^{,2 3} ^, ^{2 3}

( , , )

0 0

/ /

0 0

y y Q

Q x y z

v _

 

 

  

 

 

V

Donc comme

 ^V

^2/1^Leq

      

^

^V

^2/1 ^

^V

^2/3 ^

^V

^3/1 ^:



^2/1



^,2/1 ^{,2 3} ^, ^{2 3}

,2/1 , 2/1 ( , , ) ( , , ) ,3 1 , 3/1 ( , , )

0 . 0 0 0 0

0 0 / / 0 0

0 0 /

z Leq

y y Q

z z P z z Q

Q x y z Q x y z Q x y z

b

v

v v



 

   

  

   

 

        

     

     

V



^2/1



^,2/1 ^{,2 3} ^, ^{2 3}

,2/1 , 2/1 ( , , ) ,3 1 , 3/1 ( , , )

0 . 0 0

0 0 / /

/

z Leq

y y Q

z z P

Q x y z Q z z Q x y z

b

v

v v



 

 

    

   

     

   

   

V



^2/1



, 2/1 , 3/1 ( , , )

0 0

0

Leq

z P z Q

Q v _ v _ x y z

 

 

   

  

 

V

On reconnait ici la forme générale du torseur cinématique correspondant à une liaison glissière de direction z.

Question 6 : En déduire le schéma cinématique « minimal » 3D en prenant la même orientation que le schéma d’architecture donné ci-dessus.

y z

x

O

(5)

Corrigé Exercice 3 : MACHINE DE TRACTION-TORSION.

Question 1 : Donner le graphe de structure entre le galet 11a et le support 14a. Puis, donner sans démonstration le graphe de liaison entre ces deux clases d’équivalence.

Question 2 : Compléter le graphe partiel de liaison ci-dessous, en indiquant le nom des trois liaisons.

Question 3 : Donner (sans justification) le nom de la liaison équivalente entre 11a et le bâti 0.

Liaison équivalente entre 11a et le bâti 0 : liaison sphérique à doigt de centre P_a et de rotation interdite (P X_a, ₀).

Question 4 : Déterminer (en le justifiant) la liaison équivalente entre la plaque 12 et le bâti 0.



^0/14

 

^{14 /11}



^{,14 /11}

,0/14

( , ) ( , , ) ( , ) ( , , )

0 0 0 0

0 0 0

a a a y a a

z a

M Pa Zo Xo Yo Zo M Pa Yo Xo Yo Zo

   

 

 

     

   

   

V V



^{11 /12}



^{,11 /12}^{,11 /12} ^, ^{11 /12}

, 11 /12

( , , ) ( , , )

0 0

x a

a y a y M a

z M a

M Ia Xo Yo Xo Yo Zo

v v



  

 

 

  

 

 

V

NB : Ces 3 torseurs sont déjà écrits au point A !

Or, comme les 3 liaisons sont en série :

 ^V

^0/12^Leq

 

^

^V

^0/14^a

 

^

^V

^{14 /11}^a ^a

 

^

^V

^{11 /12}^a



donc :



^0/12



^{,14 /11}^{,11 /12}^{,11 /12} ^, ^{11 /12}

,0/14 , 11 /12 ( , , )

x a 0

Leq

y a a y a y Pa a

z a z Pa a

Pa Xo Yo Zo

v v



  

 

    

  

 

 

V

On reconnait ici la forme générale du torseur cinématique correspondant à une liaison sphère-plan (ou ponctuelle) de normale (P X_a, ₀).

Pivot d’axe (P Z_a, 0)

14a 11a 12

Pivot d’axe (P Y_a, 0)

Cylindre-Plan (ou linéaire rectiligne) de ligne de contact( ,I Y_a ₀) et de normale X₀ 0

Pivot d’axe (P Y_a, 0) Sphérique de

centre ? Sphérique de

centre ?

11a

14a

11a

14a Graphe de

structure

Graphe de liaison

(6)

Question 5 : Tracer le graphe de structure entre la plaque 12 et le bâti 0.

Question 6 : Déterminer alors (en le justifiant) la liaison équivalente entre la plaque 12 et le bâti 0.



^0/12



^,0/12^,0/12 ^, ^0/12

,0/12 , 0/12

( , ) ( , , )

La 0

x

La La La

y y M

La La

z z M

M Pa Xo Xo Yo Zo

v v



  

 

 

  

 

 

 

V



^0/12



^,0/12^,0/12 ^, ^0/12

,0/12 , 0/12

( , ) ( , , )

Lb 0

x

Lb Lb Lb

y y M

Lb Lb

z z M

M Pb Xo Xo Yo Zo

v v



  

 

 

  

 

 

 

V

Le changement de point (transfert au point Pa) pour la liaison en Pb donne :

  ^{ }  

Lb Lb

Pa 0/12 Pb 0/12 0/12 , 0/12 , 0/12 ,0/12 ,0/12 ,0/12

V _  V _ Pa bP  ^Lb  v_{y Pb}^Lb _ .Yov^Lb_{z Pb}_ .Zo  r Yo.  ^Lb_x .Xo ^Lb_y .Yo ^Lb_z .Zo Lb

Pa 0/12 ,0/12 , 0/12 , 0/12 ,0/12

V _  .r^Lb_z .Xov^Lb_{y Pb}_ .Yo(v^Lb_{z Pb}_  r. ^Lb_x ).Zo

Donc



^0/12



^,0/12^,0/12 ^, ^0/12 ^,0/12^,0/12 ^, ^,0/12^0/12

,0/12 , 0/12 ,0/12 , 0/12 ,0/12

( , ) ( , , ) (

0 .

.

Lb Lb Lb

x x z

Lb Lb Lb Lb Lb

y y M y y Pb

Lb Lb Lb Lb Lb

z z M z z Pb x

M Pb Xo Xo Yo Zo Pa

r

v v

v v r

 

 

    

   

     

   

     

   

V

, , ) Xo Yo Zo

L’autre torseur est déjà écrit au point Pa.

Comme ces 2 liaisons sont en parallèle :

 ^V

^0/12^Leq

 

^

^V

^0/12^La

 

^

^V

^0/12^Lb



Donc



^0/12



^,0/12^,0/12 ^, ^0/12 ^,0/12^,0/12 ^, ^,0/12^0/12

,0/12 , 0/12 ( , , ) ,0/12 , 0/1 ,0/12 ( ,

0 .

.

La Lb Lb

x x z

Leq La La Lb Lb

y y Pa y y Pb

La La Lb Lb Lb

z z Pa z z Pb x

Pa Xo Yo Zo Pa Xo Yo

r

v v

v v r

 

    

   

     

   

     

   

V

,Zo)

Ce qui impose ^b_z_,0/12 0 et



^0/12



^,0/12^,0/12 ^, ^0/12

, 0/12 ( , , ) 0

0 x Leq

y y Pa

Pa z Pa Xo Yo Zo

v v



 

 

  

 

 

V

On reconnait ici la forme générale du torseur cinématique correspondant à une liaison cylindre-plan (ou linéaire rectiligne) de ligne de contact (P Y_a, ₀) et de normale X₀.

Question 7 : Justifier finalement l'appellation "dispositif anti-rotation du vérin".

Cette liaison interdit la rotation autour de l’axe vertical Z₀ du corps de vérin 1 (solidaire de 12) par rapport au bâti 0.

0 12

Sphère-plan (ou ponctuelle) de normale (P X_a, ₀)

Sphère-plan (ou ponctuelle) de normale (P X_b, ₀)

0 2 sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre C et de direction sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre A et de direction appui plan de normale O

Corrigé Exercice 1 : CENTRALE HYDRAULIQUE.

2 0

 

V

 

V

 

V

 

V

 V

      

V

V

V





V

 

V

Corrigé Exercice 2 : GALET TENDEUR DE COURROIE.

 

V

 

V

 

V

 V

      

V

V

V

 

V

 

V

 

V

 V

      

V

V

V





V





V





V

Corrigé Exercice 3 : MACHINE DE TRACTION-TORSION.



 



V V





V

 V

 

V

 

V

 

V







V





V





V

     



 ^V

^V

^V

^V

 ^V

^V

^V

^V

 ^V

^V

^V

^V

 ^V

^V

^V

^V

  ^{ }  

 ^V

^V

^V