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On considère dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct le plan P d’équation: et la sphère (S) de centre (1,-1,-1) et de rayon √ .
1. a) calculer d( (P)) et déduire que le plan P est tangent à la sphère (S).
b) vérifier que (0,-2,-2)est le point d’intersection du plan P et la sphère(S).
2. on considère les points A(2,1,1) et B(1,0,1) a) vérifier que :
et déduire que : est une équation cartésienne du plan(OAB) b) donner une représentation paramétrique de la droite ( qui passe par et
qui est perpendiculaire au plan (OAB).
c) déterminer les coordonnées des points de contact de la droite ( ) et la sphère (S).
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
2. On considère dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct
O e e les points A, B,C et d’affixes respectifs ; ;1 2
, ,et .
a) montrer que :
b) déduire la nature du triangle AB
3. soit D l’image de C par la translation T de vecteur ⃗ d’affixe . a) montrer que l’affixe de D est
b) montrer que :b d 2
a d
, en déduire que A est le milieu du segment [ ].
Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher de couleurs différentes (3 Rouges ,3Vertes, 2Blanches)
O i j k; ; ;
4 0 x y z
OA OB i j k 0
x y z
2 10 26 0
z z
2 2
a i b 5 i 5
c i 3
b i
a
6 4i
1 3 d i
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On tire de façon aléatoire successivement et sans remise deux boules de l’urne.
1. On considère les événements :
A « obtenir au moins une boule Blanche »
B « les deux boules tirées sont de même couleur » Montrer que : et
1. Soit X la variable aléatoire liée au « nombre de boules Blanches tirées » a) Montrer que : .
b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et calculer l’espérance mathématique E(X).
I - Soit g la fonction définie sur IR par :
1. Calculer pour tout x dans IR, puis déduire que g est croissante sur
ln 2;
et décroissante sur l’intervalle
;ln 2
.2. Vérifier que : , puis déterminer le signe deg ln
2 .3. Déduire que g x
0 pour tout x dans IR.II - Soit f la fonction définie sur IR par :
et ( sa courbe dans un repère orthonormé (unité 1cm).
1. a) montrer que :
(on remarquera que : pour tout x dans IR) b) donner une interprétation géométrique aux deux résultats obtenus 2. a) Montrer que : ( ) (1 ) 2
( 2 )
x x
f x x e
e x
pour tout x dans IR.
b) Etudier le signe de f'(x) sur IR puis dresser le tableau de variation de f sur IR.
c) montrer que y= x est l’équation de la droite (T) tangente à au point O origine du repère .
3. construire dans un même repère (o, ) la courbe et la droite (T).
13
P A 28
1P B 4
2 1
P X 28
( ) x 2
g x e x
g x
(ln 2) 2 1 ln 2
g
( ) x 2
f x x
e x
Cf
o i j; ;lim ( ) 0 lim ( ) 1 2
x f x x f x
et
2 2
x
x e
e x x
x
Cf
o i j, ,
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(on prendra
1,4 et on accepte que admet deux points d’inflexion une d’abscisse dans l’intervalle
0;1 et l’autre d’abscisse supérieure à 32).
4. a) Montrer que : 1
2 2
x x
xe x
e x e
pour tout x dans0;. b) En utilisant une intégration par partie montrer que :
1 0
1 2 xe dxx
e
c) Soit en A(E) l’air de la partie du plan délimitée par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=0.
Montrer que :
III- Soit h la fonction définie sur par : h(x)=f(x).
a) montrer que h admet une fonction réciproqueh1définie sur un intervalle J qu’on déterminera.
b) construire dans le même repère (o, ) la courbe représentative de la fonction .
- Soit la suite
Un définie sur IN par:01
2 (
n n
U
U h U n IN
1. Montrer par récurrence que : pour tout n de IN.
2. Montrer que la suite
Un est croissante (on remarquera graphiquement que h(x) x pour tout x dans; 0)
Déduire que la suite est convergente et préciser sa limite.
Cf
Cf2 1
1 ( )
A E 2
e e
;0
Ch1V
n 0 U
