Unitarisabilité des modules de Harish-Chandra et produits tensoriels de <span class="mathjax-formula">$\mathfrak {k}$</span>-modules. le cas de <span class="mathjax-formula">$\mathfrak {So}(p,q)$</span>

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L ^YON

E. A NGELOPOULOS

Unitarisabilité des modules de Harish-Chandra et produits tensoriels de k-modules. le cas de So( p, q)

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1982, fascicule 4B

« Journées d’analyse harmonique », , p. 1-4

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UNI T A R I S ABI L I T E DES MODULES DE H A R I S H - C H A N D R A ET PRODUITS T E N S O R I E L S DE fc-MODULES. LE C A S DE 3 o ( p , q )

par E. ANCELOPOULOS ( U n i v e r s i t é d e D i j o n )

On d é c r i t Les p r i n c i p a u x o u t i l s u t i l i s é s d a n s une a p p r o c h e a l g é b r i q u e d u p r o b l è m e de la d é t e r m i n a t i o n d u d u a l u n i t a i r e d'une a l g è b r e d e L i e s e m i - s i m p l e (ou r é d u c t i v e ) réelle ; l'étude d e s p r o p r i é t é s d e s o b j e t s i n t r o d u i t s ici conduit à d e s r é s u l t a t s (encore p a r t i e l s ) pour le cas d e

> S

^ ( p

/

q ) .

I.Soit g une algèbre de Lie réductive réelle, & sa sous-algèbre compacte maximale, °U{ g ) et °U ( & ) les algèbres enveloppantes, Z( fi) et Z( 6 ) les centres, C ^ le commutant de & dans ^ ( fi), 8 = & © p la décomposition de Cartan, Jk le dual unitaire de 6 (on identifiera un élément de k et son poids dominant) .

Soit ê - . ® e. (somme algébrique, I dénombrable) un fi -module simple î ç I i

muni dTu n e forme sesquilinéaire non dégénérée fi -invariante : (X<j> | ^ ) + ((j> ] X\jj) = 0 pour tout X € fi . O n dira que S est un module de Hari sh-Chandra unitarisable ssi la f.s. est définie positive

(o) ((f)|(f)) > o v <|>e g - { 0 }

(définition qui évacue toute considération non a l g é b r i q u e ) . On a la condition équivalente :

PROPOSITION 0. - g est métrisable, ssi toute combinaison linéaire à coefficients positifs d'éléments de la forme X*X (X £ ^ÛU { fi )) est (représentée par)

REMARQUE. On peut se restreindre à X € g (alors X * = - X ) .

2 . Soit S ~ ç £ ^ la réduction sur 6 de S , la composante isotypique ^

étant isomorphe à c / ^ ® , , y # ^ multiplicité, représentant de À . On notera

Rt i ^ ^{ou R} rr (h) 9 I^e rang de À (c.à.d. <M £ { o } ). L'étude de la positivité de la f.s. se ramène à

PROPOSITION 1. - ê est unitarisable ssi tout élément de E est une application linéaire positive de $ dans $ , avec, indifféremment :

a) E = {X*X ; X £ p } ,

b) E = {X*zX ; X G P , z G Z( k ) , z > 0} .

En considérant p comme un ^-module unitaire grace à la forme de Killing, introduisons une base {X } orthonormée : on peut affirmer :

n ' r

PROPOSITION 2. - Soit, VA E S , Z* le sous-ensemble de Z( 6 ) représenté par des a.l. positives sur le ^-module p ® . Supposons que tout facteur simple de p ® est de multiplicité 1. (Hypothèse pas trop restrictive en pratique et techniquement agréable). Alors $ est métrisable, ssi VA G R (A) V z G , l'élément ^ (-X^ z X^) est une application linéaire positive de

M

sur

Jù

COROLLAIRE. - Soit © V = p 8 V. la décomposition du produit tensoriel en

• y c M ]i À

modules simples, et soit V Gfi, z . £ Z( ) tel gue z , V ^ {o} , u uA J J À J J

z V ^T = {0} pour u^TG , u^T ^ u . Alors ê est unitarisable ssi tous

U À u

les z* \ ^ ) sont des a.l. positives.

3. Pour réaliser la réduction du produit tensoriel on introduit les polynômes caractéristiques de lo-.

DEFINITION. - Soit W le groupe de Weyl de n une sous-algèbre de Cartari H E fi H = {HT € k ; 3 w, HT = H w } = {H,,...,H } e t , V, € h , X. = À(H. ) ;

1 n À 1 1

Soit P(t) = ^(t-À^ - 6 ^ ) , avec 8 € V . L'image réciproque C(t) de P ( t ) dans Z(fo[t] par 1 'isomorphisme de Harish-Chandra sera appelée un polynôme caractéristique (à une variable, relatif à H ,8) de &.

Par des choix appropriés de ô, de H, et de la variable, t, on peur construire des éléments du corollaire.

4 . En utilisant des formules du type

(1) lhXhC(t)Xh^ Z avec T£ > € # < ( * ) ,

(2) ^

^{I X h}

, x

^A

] T £ > e z ( f c ) ,

on aboutit à des relations linéaires entre des éléments de C (plus exactement leurs images dans

J£{M^M

^r

^)} .

Lorsque 8 = So(p,q) la connaissance de ces relations permet une caractérisation complète des g-modules unitarisables pour q = 1 (où l'on retrouve les résultats de Thieleker, [1]) et q = 2, déjà amorcée dans [2] ; pour q > h il semble nécessaire de considérer des produits tensoriels de R - m o d u l e s de la forme p % . Bien que l'étude des propriétés des éléments de C x correspondants ne soit pas encore suffisamment approfondie, on peut espérer aboutir à des résultats du type suivant :

a) Il existe une relation d'ordre partiel sur 6 , suffisamment fine, telle

b ) Les racines du polynôme caractéristique de 8 (défini à l!a i d e de celui d< ta forme jumelle compacte de g ) se trouvent dans une partie algébrique de

rang! g ) .. . , „ . . L entièrement déterminée par la donnée des A minimaux.

REFERENCES.

[1] E. THIELEKER, Trans. Amer. Math. Soc. 179, 1973, p. 465.

199, 1974, p. 327.

2 3 0 , 1977, p. 1.

[2] E. ANGELOPOULOS, C. R. Acad. Sc. P a r i s , I, 192, 1981, p . 469.