Générateurs de l’algèbre <span class="mathjax-formula">$\mathcal {U}(G)^K$</span> avec <span class="mathjax-formula">$G=SO(m)$</span> ou <span class="mathjax-formula">$SO_o({1,m}-1)$</span> et <span class="mathjax-formula">$K=SO(m-1)$</span>

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L ^YON

A BDEL -I LAH B ENABDALLAH

Générateurs de l’algèbre U ^(G)

^{avec G = SO(m) ou}

SO

(1, m − 1) et K = SO(m − 1)

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1982, fascicule 4B

« Journées d’analyse harmonique », , p. 1-2

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3-1

GENERATEURS DE L'ALGEBRE ^ ( G )^K

A V E C G = SO(m) OU S O^o( 1 , m - 1) ET K = SO(m - 1}

Par Abdel-llah BENABDALLAH

(Université Claude Bernard - Lyon-I)

Soient G un groupe de Lie connexe, K un sous-groupe compact de G, TT une représentation irréductible de K d'espace V, E le fibre homogène

00

associé à la représentation TT, T(E) l^Tespace des sections C de ce fibre,

00 Tf 00 , . .

C (G,V) 1 espace des applications C de G dans V vérifiant :

f(gk) = TT(k )f(g), (g £ G, k E K ) , et enfin &i l'algèbre complexe des opérateurs différentiels sur E invariants par V action naturelle de G sur T(E). Rappelons que F(E) est en correspondance bijective avec l'espace C°°(G,V). Cette correspondance sera notée ~ dans la suite.

Soient aussi ^ ( G ) (resp. ^ ( K ) ) lfalgèbre réelle des opérateurs différentiels sur G (resp. sur K) invariants par les translations à gauche de G, (resp. de K) et °ti(G) la sous-algèbre de %(G) formée des éléments de ^ ( G ) qui sont invariants par les translations à droite de K. On note

°l/(G) 0 (C (resp. ^ ( K ) 0 (C) la complexifiée de 1^T algèbre de °ll(G) (resp. ^ ( K ) ) , (^(G) 0 <C)K le commutant de ^ ( K ) 0 C dans °U{Q) 0 C et enfin dïï la représentation infinitésimale de TT, J le noyau de dïï dans

^ ( K ) 0 Œ et J* = S*(J) où S* est 1^f anti-automorphisme principal de

^ ( K ) 0 (C.

K Minemura [2] a démontré le résultat suivant : pour D £ °l/(G) 0 C) , soit u(D) l'élément de Q)^ défini par

uO))u = Du (u G T(E)).

Alors Ker u = (%(G) 0 <E)^K fl (^ (G) 0 (E)J* et 1^Tapplication u^R définie à partir de u par passage au quotient est un isomorphisme dTalgèbres.

3-2

Ce résultat nous montre que l^f étude de Q) se ramène à celle de

(^(G) ® <C) . Nous calculons explicitement les générateurs de l'algèbre K ^ réelle ^ ( G ) dans le cas où G est le groupe SO(m) ou S 0^o( 1 , m - 1) et K le sous-groupe SO(m - 1 ) , (m > 3 ) . Ces générateurs sont des générateurs de l^falgèbre complexe (G) ® C )^K.

Le résultat obtenu est le suivant :

THEOREME. - Pour G = SO(m) ou SO (1, m - 1) et K = SO(m - 1 ) , l'algèbre

°U{Q) admet (m-1) générateurs constitués par les générateurs du centre de °U (G) et les générateurs du centre de ^ ( K ) . En par- ticulier cette algèbre est commutâtive.