A602 - Les nombres ennemis . Solution
Le sous-ensemble des 2004 premiers nombres entiers qui ne contient aucun terme double d’un autre terme quelconque a au maximum 1337 termes.
Pour déterminer ce maximum, le plus simple est de considérer la séquence décroissante des entiers 2004,2003,2002,….On définit un premier sous-ensemble d’entiers compris dans l’intervalle [2004-1003], bornes incluses.
Puis on obtient une deuxième séquence d’entiers décroissants dont le 1er terme est égal à Ent[1003/2]=501 et le dernier terme Ent[501/2]+1=251 avec Ent[ ] désignant la partie entière par défaut. On continue le processus jusqu’à rencontrer le nombre 1. Le sous-ensemble recherché est donc constitué par l’union de tous les intervalles :[2004-1003] [501,251] [125,63] [31,16] [7,4] [1]. Au total on dénombre bien 1337 termes.
Sans terme triple d’un autre terme quelconque appartenant au même sous-ensemble, le maximum est de 1502 termes. Cette valeur est établie à partir des intervalles [2004,669] [222,75] [24,9] [2,1] dont les bornes sont déterminées comme précédemment.
Sans élément ni double ni triple d’un quelconque terme, le maximum est de 1203 et correspond à la réunion des intervalles suivants : [2004,1003] [334,168] [55,28] [9,5] [1].
