A = n2020 + 4 est premier uniquement pour n=1 qui donne A = 5

(1)

A380. A la manière de Sophie **

Pour quelles valeurs de l’entier n positif, les cinq expressions suivantes donnent-elles des nombres premiers : n²⁰²⁰ + 4, n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1, n⁴⁰⁴⁰ + n³⁰³⁰ +n²⁰²⁰ + 4, n²⁰²⁰ +n¹⁵¹⁵ + n⁵⁰⁵ + 1 et n⁷⁰⁷⁰+ n²⁰²⁰ + 1 ? Prouver sans l’aide d’un automate que les nombres :

163 840 001 601, 50 629,

656 829 000 901, 216 145 087,

99 960 005 999 600 009 999 et son jumeau 99 960 005 999 600 010 001 sont des nombres composés.

(1)Nota : Sophie Germain, mathématicienne, (1776-1831).

PROPOSITION Th Eveilleau

.A= n²⁰²⁰ + 4 premier ?

Il faut que n soit impair de façon évidente.

Avec p = n⁵⁰⁵

A = n²⁰²⁰ + 4 = p⁴ + 4 = (p²+ 2)² - 4p² = (p²+2p+2)(p²-2p+2)

Ce nombre ne peut donc être premier que pour p=1 donc pour n=1, sinon l’un des facteurs précédents sera forcément plus grand que 1 et le nombre sera composé.

 A = n²⁰²⁰ + 4 est premier uniquement pour n=1 qui donne A = 5 --- . A = n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 = n²⁰²⁰(n+1) + 1 premier ?

A est premier avec n et (n+1).

A est toujours impair.

.Exemple avec n=3,

3²⁰²¹+ 3²⁰²⁰+ 1 est composé car divisible par 5 (il suffit d’analyser les congruences des puissances de 3 pour s’en convaincre) :

modulo 5

3¹ ; 3² ; 3³ ; 3⁴ ; 3⁵ ;  3²⁰²⁰ ; 3²⁰²¹ ; 3²⁰²¹+ 3²⁰²⁰ + 1 avec p=404

A = n^5p+1+ n^5p + 1

 A = n²⁰²¹ +n²⁰²⁰ + 1 est premier pour n=1 qui donne A = 3

--- .A= n⁴⁰⁴⁰ + n³⁰³⁰ + n²⁰²⁰+ 4 premier ?

Pour que A soit premier il faut que n soit impair de façon évidente.

Avec p = n⁵⁰⁵

A = n⁴⁰⁴⁰ + n³⁰³⁰ + n²⁰²⁰+ 4 = p⁸ +p⁶ +p⁴ + 4 = (p⁴ – p³ +p² -2p + 2 ) (p⁴ + p³+ p²+2p + 2) C’est donc un nombre composé dès que p>1

 A est premier uniquement pour n=1 qui donne A = 7

---

(2)

.A= n²⁰²⁰ + n¹⁵¹⁵ + n⁵⁰⁵+ 1 premier ?

Avec p = n⁵⁰⁵

A = n²⁰²⁰ + n¹⁵¹⁵ + n⁵⁰⁵+ 1 = p⁴ + p³ + p + 1 = (p+1)² (p²-p+1) A est donc un nombre composé pour tout p positif.

 Il n’existe aucune valeur pour laquelle il est premier.

--- .A= n⁷⁰⁷⁰ + n²⁰²⁰ + 1 premier ?

Avec p = n¹⁰¹⁰

A = n⁷⁰⁷⁰ + n²⁰²⁰ + 1 = p⁷ + p² + 1 = (p² +p +1) (p⁵-p⁴+p²- p+1) A est donc un nombre composé pour tout p>1

 A est premier uniquement pour n=1 qui donne A = 3

163 840 001 601 est multiple de 3 puisque la somme de ses chiffres est 30 puis celle de 30 est 3.

Par ailleurs

163 840 001 601 = 40⁷ + 40² + 1

OR p⁷ + p² + 1 = (p² +p +1) (p⁵-p⁴+p²- p+1) DONC

163 840 001 601 = (40² +40+1) (40⁵-40⁴+40²- 40+1) 163 840 001 601 = 1641 * 99 841 561

--- 50 629=225*225 + 4 = 225² + 4 = 15⁴+ 4

Nombre de la forme p⁴ + 4 avec p=15  c’est un nombre composé.

Rq : 50629 = 197 * 257 -

--- 656 829 000 901 = 17 * 38 637 000 053 est divisible par 17 et est donc composé.

Voir fin de page, le critère de divisibilité par 17.

Par ailleurs

656 829 000 901 = 900⁴ + 900³ + 900 + 1 OR p⁴ + p³ + p + 1 = (p+1)² (p² -p+1) DONC

656 829 000 901 = 901² * (810 000 - 900 +1) SOIT 656 829 000 901 = 901² * 809101

--- 216 145 087 = 71 * 3 044 297 est divisible par 71 est donc composé.

Par ailleurs

216 145 087 = 11⁸ + 11⁶ + 11⁴ + 4

OR p⁸ + p⁶ + p⁴ + 4 = (p⁴ – p³ +p² -2p + 2 ) (p⁴ + p³+ p² +2p + 2) DONC

216 145 087 = ( 11⁴ - 11³ +11² - 2*11 +2) * (11⁴ +11³ +11²+ 2*11 +2) SOIT 216 145 087 = (14641 – 1331 +121 -22 +2) * (14641 + 1331 +121 +22 +2)

216 145 087 = 13411 * 16117

---

(3)

99 960 005 999 600 009 999 = 17 * 588 000 035 291 7647 647 est divisible par 17 est donc composé.

Par ailleurs

99 960 005 999 600 009 999 = 9999⁵ + 9999⁴ + 1

OR p⁵ + p⁴ + 1 = (p⁴ – p³ +p² -2p + 2 ) (p⁴ + p³+ p² +2p + 2) DONC

99 960 005 999 600 009 999 =

--- 99 960 005 999 600 010 001 = 9999⁵ + 9999⁴ + 1

OR p⁵ + p⁴ + 1 = (p³ - p + 1 ) (p² +p + 1) DONC

99 960 005 999 600 010 001 = (9999³ – 9999 + 1) (9999²+ 9999 + 1) 99 960 005 999 600 010 001 = 999 700 020 001* 99 990 001

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Critère de divisibilité par 17

Un nombre an…a1a0 est divisible par 17 si et seulement si an…a1 – 5a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 17, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 51 (= 3 × 17). Le nombre de départ est divisible par 17 si et seulement si le résultat final est 0, 17 ou 34.

Exemples

3 723 est divisible par 17 car 372 – 5 × 3 = 357 et 35 – 5 × 7 = 0.

5 933 est divisible par 17 car 593 – 5 × 3 = 578 et 57 – 5 × 8 = 17.