A232. Chi va piano, va sano e va lontano
On considère la séquence de nombre entiers définie par son premier terme 0 et la relation de récurrence suivante :
- 1 si le plus grand diviseur impair de est de la forme 4 1 - 1 si le plus grand diviseur impair de est de la forme 4 3 Démontrer que cette séquence contient au moins 2009 fois l’entier 2009.
Nota : il ne faut pas être pressé pour trouver l’entier 2009 la première fois mais il est bien connu : Chi va piano…
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Posons 1 si le plus grand diviseur impair de est de la forme 4 1, et 1 dans le cas contraire, c'est-à-dire si le plus grand diviseur impair de est de la forme 4 3.
De sorte que :
On exprime alors en fonction de par : 1
On remarque alors que vérifie :
1 1
On en déduit une première relation de récurrence sur : 1
1
1
0
(1)
D’autres relations en découlent :
1
1 1 1 1
(2) (3) (4) En utilisant alternativement les relations (3) et (2), on peut construire une suite extraite de qui décrit :
0, 1, 2, 3, 4, …
On atteint donc ! 2009 pour un certain #. Suivant la parité de #, on applique les relations (1) ou (4) pour construire une infinité de ! 2009.
Ce qu’il fallait démontrer.
