D20163. Le plus grand cercle dans un ellipso¨ıde
Un plan coupe un ellipso¨ıde d’axes de longueur 2a, 2b et 2cavec a < b < c de telle sorte que l’intersection est un cercle. Quel est le diam`etre maximal de ce cercle ?
Solution
SoitC un cercle trac´e sur l’ellipso¨ıde,Ason centre. Le plan passant parAet orthogonal au grand axe (de longueur 2c) coupe le cercle selon un diam`etre M N, et l’ellipso¨ıde selon une ellipseE homoth´etique (avec rapport≤1) de l’ellipse d’axes 2aet 2b.M N est une corde deE, donc le diam`etre deC est major´e par 2b, axe interm´ediaire.
Pour construire un cercle de diam`etre 2b, il suffit de couper l’ellipse d’axes 2aet 2c(section de l’ellipso¨ıde par le plan orthogonal `a l’axe interm´ediaire en son milieuO) par une sph`ere de rayonbcentr´ee enO. Les points d’inter- section d´efinissent avec l’axe interm´ediaire deux plans de section circulaire de diam`etre 2b.
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