SUSPENSION AUTOMOBILE
On s’int´eresse `a une suspension automobile dont on donne ci-dessous un extrait du cahier des charges fonctionnel.
L’affaissement statique correspond `a la variation de longueur des ressorts d’amortisseurs lors de leur ´ecrasement sous le propre poids de la voiture.
La figure ci-dessous repr´esente le sch´ema cin´ematique de la suspension en vue de face, avec :
— (1) est le chˆassis de la voiture.
— (9) est le ressort de l’amortisseur.
— (0) est la route.
Hypoth`eses et donn´ees :
— Le probl`eme est plan.
— L’action de la pesanteur est n´eglig´ee sauf sur le chˆassis de la voiture.
— Toutes les liaisons sont parfaites.
— L’action du sol sur la roue est mod´elis´ee au point L par un torseur glisseur dont la r´esultante est : −→
R06 =F06.−→y ; F06 repr´esente le quart du poids de la voiture (m= 2200kg), qui est consid´er´e comme ´etant r´eparti ´egalement sur les quatre roues.
— L’action du ressort (9) sur (2) est mod´elisable, aveck=100000N/m, par : {T92}=
−k.(δl).−→y
−→ 0
H
— a=16cm,b=33cm,c=8cm,d=25cm,h=3cm,L=15cm,e=9cm,µ=18cm Q1. Justifier, `a l’aide du PFS appliqu´e `a (3), queY43=0.
Graphe de structure :
On isole le solide 3. Le BAME donne :
→ Liaison pivot de 1 sur 3 d’axe(B,−→z);
→ Liaison pivot de 4 sur 3 d’axe(C,−→z);
Le solide 3 est un solide en ´equilibre soumis `a deux actions ; celles-ci sont donc ´egales et oppos´ees, et port´ees par la droite passant par leur point d’application, donc la droite (BC).
Or la droite(BC)est colin´eaire `a l’axe−→x, on en d´eduit donc que :
−→
F4→3=X43.−→x +Y43.−→y =X43.−→x Et donc :Y43=0.
Q2. D´eterminer, en appliquant le PFS `a l’ensemble E = 4+6 au poind D, les trois ´equations liant les composantes d’actions m´ecaniques et les dimensions du syst`eme.
On isole l’ensembleE=4+6. Le BAME donne :
→ Liaison pivot de 2 sur 4 d’axe(D,−→z);
{T2→4}=
X24 0 Y24 0
0 0
(D,(−→x,−→y,−→z))
→ Liaison pivot de 3 sur 4 d’axe(C,−→z);
{T3→4}=
X34 0
0 0
0 0
(C,(−→x,−→y,−→z))
→ Force de 0 sur 6 au point L.
{T0→6}=
0 0
F06 0
0 0
(L,(−→x,−→y,−→z))
Transportons les torseurs au pointD:
−−−−→
MD,3→4 = −−−−→
MC,3→4+−→
DC∧−→ F3→4
= −→ 0 +
c
−a 0
B
∧
X34
0 0
B
= a.X34.−→z {T3→4} =
X34 0
0 0
0 0
(C,(−→x,−→y,−→z))
=
X34 0
0 0
0 a.X34
(D,(−→x,−→y,−→z))
−−−−→
MD,0→6 = −−−−→
ML,0→6+−→
DL∧−→ F0→6
= −→ 0 +
c+e
−(a+µ) 0
B
∧
0 F06
0
B
= (c+e).F06.−→z {T0→6} =
0 0
F06 0
0 0
(L,(−→x,−→y,−→z))
=
0 0
F06 0 0 (c+e).F06
(D,(−→x,−→y,−→z))
L’application du PFS au point Ddonne, dans la base B= (−→x,−→y,−→z):
X24 0 Y24 0
0 0
(D,B)
+
0 0
F06 0 0 (c+e).F06
(D,B)
+
X34 0
0 0
0 a.X34
(D,B)
=
0 0 0 0 0 0
(D,B)
On en d´eduit les 3 ´equations scalaires suivantes :
X24+X34 = 0 (1)
Y24+F06 = 0 (2)
(c+e).F06+a.X34 = 0 (3)
Q3. D´eterminer, en appliquant le PFS `a (2) au point A, les trois ´equations liant les composantes d’actions m´ecaniques et les dimensions du syst`eme.
On isole le solide2. Le BAME donne :
→ Liaison pivot de 1 su 2 d’axe(A,−→z);
{T1→2}=
X12 0 Y12 0
0 0
(A,(−→x,−→y,−→z))
→ Liaison pivot de 4 sur 2 d’axe(D,−→z);
{T4→2}=
X42 0 Y42 0
0 0
(D,(−→x,−→y,−→z))
→ Force de 9 sur 2 au point H.
{T9→2}=
0 0
−k.δl 0
0 0
(H,(−→x,−→y,−→z))
Transportons les torseurs au point A:
−−−−→
MA,4→2 = −−−−→
MD,4→2+−→
AD∧−→ F4→2
= −→ 0 +
d 0 0
B
∧
X42 Y42 0
B
= d.Y42.−→z {T4→2} =
X42 0 Y42 0
0 0
(D,(−→x,−→y,−→z))
=
X42 0 Y42 0 0 d.Y42
(A,(−→x,−→y,−→z))
−−−−→
MA,9→2 = −−−−→
MH,9→2+−→
AH∧−→ F9→2
= −→ 0 +
L h 0
B
∧
0
−k.δl 0
B
= −L.k.δl.−→z {T9→2} =
0 0
−k.δl 0
0 0
(H,(−→x,−→y,−→z))
=
0 0
−k.δl 0 0 −L.k.δl
(A,(−→x,−→y,−→z))
L’application du PFS au point Adonne, dans la baseB= (−→x,−→y,−→z):
0 0
−k.δl 0 0 −L.k.δl
(A,B)
+
X42 0 Y42 0 0 d.Y42
(A,B)
+
X12 0 Y12 0
0 0
(A,B)
=
0 0 0 0 0 0
(A,B)
On en d´eduit les 3 ´equations scalaires suivantes :
X42+X12 = 0 (4)
−k.δl+Y42+Y12 = 0 (5)
−L.k.δl+d.Y42 = 0 (6)
Q4. En d´eduire une relation entre F06,δl et les dimensions du syst`eme. Faire l’application num´erique.
En prenant les ´equations(6)et(2), on obtient :
(6) ⇒ −L.k.δl+d.Y42=0 (2) ⇒ Y24+F06 =0⇒Y42=F06
⇒ −L.k.δl+d.F06=0
⇒ δl= d.F06 L.k
Q5. Conclure quant au respect du crit`ere de la fonction FS1.
L’application num´erique donne :
δl= d.F06
L.k = 25.10
−2×14×2200×9, 81
15.10−2×1.105 =0, 089m On obtient donc un affaissement statique de9cm<12 cm.
Le cahier des charges est bien respect´e.
Remarques :
— Pour autant de 0 dans les torseurs, il aurait ´et´e plus int´eressant de r´esoudre ce probl`eme avec des vecteurs uniquement.
— Le probl`eme ´etant dans le plan(−→x,−→y), la composante en−→z des forces n’est pas `a consid´erer, et la composante en moment est toujours suivant l’axe−→z.
— Pour r´epondre `a la probl´ematique de cet exercice, on pourra se rendre compte qu’il aurait fallu : 1. Isoler le solide 3 pour d´eterminer queY43=0(Q1) ;
2. Isoler l’ensemble E=4+6 et appliquer le Th´eor`eme des R´esultantes Statiques en projection sur−→ y. Donc le d´eplacement des torseurs de la Q2 a ´et´e totalement inutile et superflus `a la r´esolution ;
3. Isoler le solide 2 et appliquer le Th´eor`eme des Moments Statiques en projection sur−→z.
