Pierre Lissy May 1, 2010

Caractères de quelques groupes (Malliavin page 107)

Pierre Lissy May 1, 2010

Théorème 1. Le groupe dual deRest l'ensemble dese^itxdonc est isomorphe àR.

Proof. Evidemment pour tout t ∈ R l'application x7→ e^itx est un caractère. Il reste à prouver l'inclusion inverse. On considère un caractère χ sur R. On a χ(0) = 1, donc χ étant continu, il existe un certain intervalle [−a, a] tel que Re(χ(x)) > 0 pour tout x dans cet intervalle. on peut alors utiliser la détermination principale du logarithme sur C^∗/(iR^−∗). On alog(χ(x))qui existe pour x ∈ [−a, a]. De plus, log(χ(x)) = il(x) avec −π/2 < x < π/2 puisque le module de χ est 1 et que nécessairement comme Re(χ(x)) > 0 et que 0 ∈ [−a, a], par connexité on ne peut pas sortir de (−π/2, π/2). Enn, la fonction l est continue (puisque le log l'est et que χ l'est),et vérie pourx, y, x+y∈[−a, a]la relationl(x+y) =log(χ(x+y))/i=log(χ(x)χ(y))/i= (log(χ(x))+log(χ(y)))/i=l(x)+l(y). On en déduit immédiatement par récurrencel(mx) =ml(x) pour m entier tel que mx ∈ [−a, a]. Ensuite, pour p entier non nul, on a automatiquement x/p∈[−a, a]et donc l(x) =l(p(x/p)) =pl(x/p), d'oùl(x/p) = 1/p∗l(x). Enn, soit maintenant un rationnel|r=p/q|61. Alorsrx∈[−a, a]et l(rx) = l(p(x/q)) =pl(x/q) =p/ql(x). Comme l est continue on en déduit par densité deQ∩[−1,1]dans [−1,1]que pour tout t∈(−1,1) on a l(tx) =tl(x). Donclest linéaire,pourx∈[−1; 1], on al(x) =xa,aréel. Donclog(χ(x)) =ixa, ie en passant aà l'exponentielle, on aχ(x) =e^ixa. Enn, i lest clair que sia6=b, alorse^ixa ete^ixbne sont pas égales d'où l'isomorphisme avecR

Lemme 1. Les caractères deRⁿ sont e^{it1x1+...+tnxn}.

Proof. Ces éléments sont évidemment des caractères. Pour monter que c'est les seuls, prenonsχ un caractère deRⁿ, eteilei−mevecteur de la base canonique. Alors l'applicationt7→χ(xei)est nécessairement un caractère deRpuisque l'applicationt7→xeiest un morphisme du groupe additif Rvers le grouep additifRⁿ. Ainsi, pout tout i, i lexisteti tel queχ(xei) =e^itixei. Mais χ étant un caractère, si l'on posex=⁰ x1, . . . xn) =P

xiei, alorsχ(x) =Q

χ(xiei) =Q

e^itixi =e^Pxiei. De même que précedemment c'est bien homéomorphe àRⁿ.

Lemme 2. les caractères du tore sont de la formee^iθ 7→e^imθ avec m entiers relatifs. Le groupe dual du tore est isomorphe àZ.

Proof. D'abord, on remarque que de tels morphismes sotn bien dénis. En eet si e^iθ = e^iθ0 alors θ et θ⁰ diérent de 2kπ donc mθ et mθ⁰ dièrent de 2kπm et leur images par e^i. restent identiques. Ensuite, ce sont clairement des caractères. Il reste donc à montrer que c'est les seuls.

Mais on remarque que l'on dispose d'un morphisme deRdans le tore : x7→e^ix. Donc la composée x7→χ(e^ix est un caractère réel. Il existe donc un certaint∈Rtel queχ(e^ix) =e^itx. Mais on doit en outre avoirχ(1) = 1, autrement ditχ(e^2iπ) =e^2iπt = 1. Ceci implique quet∈Z. Finalement, on a bien tout ce qu'on voulait.

On fairait de même avec le tore en dimension.

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