E576. Les cyclopes D’après un problème proposé par Augustin Genoud
Sur une île, les seuls habitants sont des cyclopes qui, comme chacun le sait, n’ont qu’un seul œil. Une malédiction fait que le jour où un cyclope peut déduire avec certitude la couleur de son œil, il meurt dans la nuit qui suit. Les cyclopes ne voient pas durant la nuit. Les cyclopes n’ont aucun moyen de voir la couleur de leur œil (pas de miroirs, pas de reflets,...). Comme ils ne veulent pas faire mourir leurs semblables, ils ne parlent jamais de la couleur de l’œil de quiconque.
Le matin du 1er janvier 2017, un missionnaire de passage, annonça à tous les cyclopes vivant sur cette île qu’il voyait exclusivement trois couleurs des yeux : bleu, vert et marron.
Tous les cyclopes moururent dans la seule nuit du 31 janvier au 1er février 2017 Combien y avait-il de cyclopes sur cette île ? Justifiez votre réponse.
Proposition de solution
Nous allons raisonner par l’absurde sur chaque jour :
-s’ils sont trois en tout : un de chaque couleur, tous meurent le 2 janvier.
Ceci parce que chacun verrait deux yeux de couleur différente : vert et marron, ou vert et bleu ou bleu et marron.
Il déduirait donc sa propre couleur différente de celle des deux autres.
Et il mourrait dans la nuit du 1er janvier au 2 janvier.
D’ailleurs les deux autres subiraient le même sort ! MAIS
Le 2 janvier, personne n’est mort.
Il ne peut donc pas y avoir 3 cyclopes ayant chacun un œil différent.
Il y a au moins deux cyclopes de chaque couleur (le raisonnement tenu pour un œil d’une couleur donnée sera identique pour les autres couleurs).
Exemple :
S’il y avait deux yeux marron exactement, disons M1 et M2.
Alors, M1 voit
-des yeux verts et des yeux bleus et -un l’œil marron de M2.
Il se dit :
«
-si mon œil est bleu, alors M2 ne voit que des yeux verts ou bleus. M2 en déduira sa propre couleur marron et M2 mourra dans la nuit du 2 janvier au 3 janvier.
Même raisonnement s’il pense que -son œil est vert.
Dans les deux cas, M2 mourra.
D’ailleurs là aussi même sort pour M1.
Et ce raisonneemnt vaut pour deux cyclopes avec œil vert ou deux cyclopes avec œil bleu .
»
Le 3 janvier, personne n’est mort.
Il ne peut donc pas y avoir 2 cyclopes ayant un œil de la même couleur.
Ceci est vrai pour chaque couleur.
Donc il y a au moins 3 cyclopes avec œil vert, 3 cyclopes avec œil bleu et
3 cyclopes avec œil marron
Soient M1, M2 et M3 les trois cyclopes avec un œil marron.
M1 voit
-des yeux verts et des yeux bleus et -deux yeux marron
Il se dit :
«
-si mon œil est bleu, alors on se retrouve avec la situation précédente avec deux yeux d’une couleur donnée, et M2 comme M3 saura sa couleur et mourront la nuit suivante.
» MAIS
Le 4 janvier personne n’est mort.
On ne peut avoir 3 cyclopes de chaque couleur.
Il y a donc au moins 4 d’une couleur donnée et par suite de chacune des couleurs.
Et ainsi de suite :
4 janvier il y a au moins 4 cyclopes de chaque couleur.
5 janvier il y a au moins 5 cyclopes de chaque couleur.
. . .
31 janvier personne n’est mort il y a au moins 31 cyclopes de chaque couleur.
On sait qu’ils meurent tous le 1er février.
Ils sont donc bien exactement
31*3 = 93 cyclopes.
31 avec œil bleu ; 31 avec œil vert et 31 avec un œil marron.
