D354 ‒ Le cube
Problème proposé par Michel Lafond
Un cube est posé sur un plan horizontal en contact avec un de ses sommets.
Les distances des 8 sommets au plan sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cm.
Quel est le côté du cube ?
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
On effectue une homothétie de rapport 1/c ( c étant l'arête du cube ) afin d'avoir un cube d'arête 1
A) Le cube est d'abord posé à plat sur le plan horizontal : La face carrée ABCD est la face d'appui . E,F,G & H sont respectivement
éloignés de A,B,C & D d'une distance égale à l'unité . On pose x = 1/c les nouvelles distances sont : 0 , x , 2x ... 6x & 7x .
B) On effectue une rotation du cube autour de l'arête AD d'une valeur t radian de telle façon que les points B & C soient
équidistants du plan d'appui (P) d'une valeur x On obtient tout de suite x = sin t
C) On effectue ensuite une seconde rotation du cube autour de l'arête AB d'une valeur u radian de sorte que le sommet D
soit distant du plan (P) d'une valeur 2x , mais de sorte aussi que le sommet E soit distant de (P) d'une valeur 4x .
On obtient maintenant ces 3 équations : (1) x = sin t
(2) 2x = sin u . cos t (3) 4x = cos u . cos t
(2) & (3) entrainent ---> tan u = 1/2 ---> sin u = 1/√5 (4)
(1) ,(2) & (4) entrainent ---> 2 sin t = cos t /√ 5 . ----> x = sin t = 1/√ 21 Comme x = 1/c , alors c = √ 21 = 4.5825...
