(3) - (4)

D347 – Voyage dans l’espace :

On considère 2015 points distincts choisis au hasard dans l’espace et libellés Pi pour i variant de 1 à 2015 puis un point A0 distinct de ces points. En partant de A0, Zig le téméraire se rend au point A1

symétrique de A₀ par rapport à P₁ et poursuit le périple avec le trajet A₁ A₂ A₃ ....A_i A_i+1 tel que le point Ai+1 est le symétrique de Ai par rapport au point Pi+1 .Une fois qu’il est arrivé au point A2015

symétrique du point A2014 par rapport au point P2015 ,il constate que ce point est distinct de A0. C’est pourquoi,il décide de continuer son voyage selon les mêmes conditions que précédemment en allant au point A₂₀₁₆ symétrique du point A₂₀₁₅ par rapport au point P₁ etc... . A-t-il bon espoir de retourner à son point de départ A0 à l’issue d’un ou plusieurs périples complets? Si oui, déterminez le nombre total de périples complets qu’il a effectués.Si non, justifiez votre réponse.

De son côté Puce le sage partant toujours du même point A₀ décide prudemment d’effectuer un parcours dans les mêmes conditions que Zig mais avec seulement les 6 premiers points P1 à P6 .A-t-il bon espoir de retourner au point de départ A0 ? Si oui, à quelles conditions? Si non, justifiez votre réponse.

Nous allons directement généraliser car 2015 et 6 sont des cas particuliers.

Le premier pour un nombre impair de points, le second pour un nombre pair de points.

Soit G le barycentre des points impairs P1, P3… Soit H le barycentre des points pairs P₂, P₄… Toutes les notations qui suivent sont vectorielles.

La condition courante de symétrie peut s’écrire pour les points impairs sous la forme : GA2i +GA2i+1=2.GP2i+1 (1)

Et pour les points pairs : HA2i-1 +HA2i=2.HP2i

soit aussi GA2i-1 +GA2i=2.HP2i + 2.GH (2)

CAS 1 : Le nombre de points est impair, il est égal à 2n+1 (on ferait n=1007 pour avoir 2015 points) La somme des conditions (1) pour les points impairs s’écrit :

∑^𝑛_𝑖=0 (GA2i +GA2i+1) = ∑^𝑛_𝑖=0 2.GP2i+1 = 0 (3) puisque G est le barycentre de ces points.

La somme des conditions (2) pour les points pairs s’écrit :

∑^𝑛_𝑖=1 (GA2i-1 +GA2i) = ∑^𝑛_𝑖=1 (2. HP2i + 2.GH) = 2n.GH (4) puisque H est le barycentre de ces points.

Si on calcule

(3) - (4)

∑^𝑛_𝑖=0 (GA2i +GA2i+1) - ∑^𝑛_𝑖=1 (GA2i-1 +GA2i) = 2n.HG

De nombreux termes du premier membre s’éliminent et il reste : GA0 + GA2n+1 = 2n.HG (5)

Appelons B0, le point A2n+1 ; après un second parcours des points P1 à P2n+1, on aura la condition de type (5) suivante :

GB0 + GB2n+1 = 2n.HG ou en revenant à un notation en A : GA2n+1 + GA2(2n+1) = 2n.HG (6) En faisant (5) - (6), on constate que :

GA0 - GA2(2n+1) = 0

Ce qui signifie que les points A0et A2(2n+1) sont confondus.

Ainsi à la fin du second tour on repasse par le point de départ et ainsi de suite tous les 2 tours.

Cas particulier :

Si HG=0, c’est-à-dire si les barycentres des points pairs et des points impairs sont confondus, la condition (5) devient : GA0 + GA2n+1 = 0

Ce qui signifie que les points de départ et d’arrivée à la fin du premier tour sont symétriques par rapport aux barycentres H et G qui sont confondus.

CAS 2 : Le nombre de points est pair, il est égal à 2n (on ferait n=3 pour avoir 6 points) La somme des conditions (1) pour les points impairs s’écrit :

∑^𝑛−1_𝑖=0 (GA2i +GA2i+1) = ∑^𝑛−1_𝑖=0 2.GP2i+1 = 0 (10) puisque G est le barycentre de ces points.

La somme des conditions (2) pour les points pairs s’écrit :

∑^𝑛_𝑖=1 (GA2i-1 +GA2i) = ∑^𝑛_𝑖=1 (2. HP2i + 2.GH) = 2n.GH (11) puisque H est le barycentre de ces points.

Si on calcule

(10) - (11)

∑^𝑛−1_𝑖=0 (GA2i +GA2i+1) - ∑^𝑛_𝑖=1 (GA2i-1 +GA2i) = 2n.HG GA0 - GA2n = 2n.HG

GA2n = GA0 + 2n.GH (12)

Ce qui signifie que les points A0 et A2n ne sont pas confondus et les choses ne feront qu’empirer car après k tours, on aura GA2kn = GA0 + 2kn.GH (12)

Ainsi à l’issue de chaque périple, on ne repasse jamais par le point de départ si les barycentres ne sont pas confondus. On remarque que les points de passage successifs sont alignés et se déduisent à chaque fois par une translation de 2nGH

Cas particulier :

Toutefois il y a une exception, si les barycentres des points pairs et des points impairs sont confondus, la condition (12) devient :

GA2n = GA0

Donc on repasse alors par le point de départ à la fin de chaque tour.