1 J138 – Le carré Breton [***** à la main]
Problème proposé par Jean-Marie Breton Solution proposée par l’auteur
Avec quatre couleurs pour le fond et cinq couleurs pour la lettre nous avons 20 configurations que nous retrouvons successivement tous les 20 mouvements comme représenté dans la première ligne du tableau ci-dessous.
La deuxième ligne indique le nombre de mouvements effectués (modulo 20) depuis la position initiale (lettre noir sur fond blanc), la troisième le nombre de mouvements (modulo 20) à effectuer pour y revenir.
X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
0 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
De ce tableau nous pouvons déduire pour la position de départ, proposée ci-contre, le nombre minimal de mouvements nécessaires que doit effectuer chacune des cases pour se retrouver en noir sur fond blanc.
A B C D E F G H I J K L M N O P Nbr Mvt 1 1 5 2 4 4 4 6 0 3 3 2 0 2 3 0 distance 1 1 1 2 4 2 2 2 0 3 1 2 0 2 3 0
Chaque coup déplaçant 4 lettres la somme des nombres de mouvements pour l'ensemble des lettres est toujours un multiple de 4, ici cette somme est 40, la solution minimale théorique est donc de 10 coups.
Pour chaque case du cas présent la distance, telle que définie plus haut, est toujours inférieure ou égale au nombre de mouvements nécessaire. Une solution en 10 coups est envisageable.
R1 : Les lettres ayant une distance égale au nombre de mouvements qu'elles doivent effectuer ne peuvent faire l'objet de deux coups immédiatement consécutifs et opposés par exemple pour J on ne peut jouer la séquence 3, 6 (sans avoir joué 6 avant) ou pour N la séquence 6, 5 (sans avoir joué 5, 6 ou 8 avant) ou encore pour O la séquence 2, 3.
R2 : Dès qu'une case contient une lettre en noir sur un fond blanc elle ne doit plus bouger sinon un minimum de 20 mouvements et donc de 20 coups serait nécessaire pour la ramener dans cet état et la solution en 10 coups dépassée. Les nombres de mouvements du tableau ci-dessus sont donc pour chacune des lettres ceux qu'elles doivent exactement effectuer.
Pour chaque lettre regardons les mouvements et les coups correspondants.
0 coup :
I, M et P ne devant pas bouger les sous-carrés 4, 7 et 9 ne doivent pas entre utilisés (règle R2).
1 coup :
B D O L A H C J I G N K M F E P
1 2 3
4 5 6
7 8 9
2 Il est aussi immédiat que le sous-carré 1 ne sera joué qu'une fois pour A et B sans que 4 ne soit précédemment joué (ce qui est le cas d'après ce qui précède).
Une fois le sous-carré 1 joué le sous-carré 2 ne peut plus être joué puisque B s'y trouvera et ne devra plus être déplacé (règle R2 et B ne peut être déplacé qu'en jouant 1). D'où la règle
R3 : tous les coups 2 doivent être joués avant 1.
En fait 1 ne peut être joué qu'une fois et en dernier.
2 coups :
D devant regagner sa place en 2 coups cela ne peut se faire qu'en jouant 2 puis 3, dans cet ordre mais pas nécessairement sans coups intermédiaires s'ils sont différents de ces valeurs. Ce qui montre que si 2 est joué plus d'une fois la deuxième fois doit être exécutée après 3.
3 ne peut être joué avant 2 car alors O se trouverait en (1, 4) et ne pourrait rejoindre sa place en (4, 3) avec les deux mouvements qui lui restent.
L ne peut regagner sa place en 2 coups qu'en jouant 3 puis 6 dans cet ordre ; de plus 6 ne devra plus être joué à nouveau (R2) (et 9 dont c'est nécessairement le cas).
N ne peut regagner sa place en 2 coups qu'en jouant deux fois 8.
3 coups :
J pour regagner sa place n'a que deux combinaisons possibles : 6, 6, 5 ou 3, 5, 5.
K impose un premier coup avec 6 puisque 9 n'est pas joué suivi d'un aller-retour pour avoir 3 coups, cela n'est possible qu'en jouant successivement 6 puis 5 (9 ne peut toujours pas être joué) sans que 6 ou 3 ne soit intercalés, soit la séquence 6, 6, 5.
O n'a pas d'autre solution que 2, 5, 8 sans 2, 3 ou 6 entre 2 et 5 et sans 5, 6 ou 9 entre 5 et 8. Donc 2, 5, 8 sont directement consécutifs.
Si 258 est joué en début on obtient la situation ci-contre : on ne peut plus jouer ni 4, ni 5, ni 6, ni 7, ni 8, ni 9 (R2) ; de même pour 1, 2 et 3 qui aboutissent à une situation R2.
Il faut donc jouer au moins un coup avant la séquence 258 dont 5 (R4).
Donc on devrait commencer par 5258 MAIS cela conduit à la situation ci-contre qui place les sous-carrés 1 et 2 en situation R2.
Il faut donc jouer au moins deux coups avant.
4 coups :
E sachant que 4, 7 et 9 sont interdits E ne peut retrouver sa place en 4 coups qu'avec la combinaison 8, 8, 5, 1 de plus E et F ne sont accessibles que par 8 qui devra être joué en premier
F de même deux combinaisons possibles : 8, 8, 5, 5 et 8, 5, 2, 1 G trois combinaisons : 5, 2, 2, 2 ou 5, 2, 5, 2 ou 8, 5, 5, 5
H appartient à l'intersection des sous-carrés 1, 2, 4 et 5, il ne peut donc bouger qu'en jouant 1, 2, 4 ou 5 mais nous avons vu que 4 ne doit pas être utilisé et 1 doit être joué après 2.
Si 2 est joué avant 5 alors H se retrouve sur la première ligne en (1, 2) ce qui impose de jouer 2 au moins une fois encore et après 3 (voir cas de D) puis une fois de plus puisque D étant en place 3 n'est plus jouable. H se retrouve alors en (2, 3) devant subir encore 2 déplacements (5 et 6) pour se
B H D L A G C J I F N K M E O P
B G D L
A N H J
I F C K
M E O P
3 retrouver en (2, 4). Soit finalement la séquence 2, 3, 2, 2, 5, 6. Avec K qui impose une séquence 6, 6, 5 ; N une séquence 8, 8 et le coup 1 pour A, B ; on arrive à 11 coups donc
R4 : 5 devra être joué avant 2.
85258 on sait que la séquence 36 doit être jouée pour L et qu'après 6 ne peut plus être joué, or K impose une séquence 6,6, 5 donc on peut essayer 852586365 et comme 1 doit être joué on arrive à
