MATHEMATIQUES - PARTIE II

SESSION 2016 DGMA202    CONCOURS NATIONAL D’ADMISSION DANS LES GRANDES ECOLES D’INGENIEURS

(Concours national DEUG)   ____________________  

  Epreuve commune à 2 options (Mathématiques et Physique)  

MATHEMATIQUES - PARTIE II

Mardi 17 mai : 10 h 15 - 12 h 15   ____________________  

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.  

 

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Les calculatrices sont autoris´ees

Le sujet est compos´e d’un exercice et d’un probl`eme, tous ind´ependants.

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Partie I :

Exercice : somme des coefficients d’une matrice orthogonale Soit A= (aij) une matrice orthogonale de Mn(R) avec n 2, c’est-`a-dire v´erifiant

tAA=A^tA =I_n.

Le but de l’exercice est d’´etablir une majoration de la valeur absolue de la somme S des coefficients de la matrice orthogonale A, c’est `a dire du nombre

|S|=

n

i=1 n

j=1

aij

.

On note E le R-espace vectoriel des matrices `a coefficients r´eels `a une seule colonne et `a n lignes. On d´efinit le produit scalaire canonique surE par :

∀(X, Y)∈E², < X, Y >=^tXY.

On note � · � la norme euclidienne associ´ee, c’est-`a-dire :

∀X ∈E, �X�=

< X, X >.

I.1. V´erifier que l’application <·,·> est bien un produit scalaire sur E. I.2. D´emontrer que pour tout X ∈E, on a �AX�=�X�.

On note U le vecteur deE dont tous les coefficients sont ´egaux `a 1.

I.3. D´emontrer `a l’aide de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz que |< AU, U >|n.

I.4. En d´eduire que |S|n.

I.5. D´eterminer une matrice orthogonale pour laquelle |S|=n.

Partie II :

^{Probl`eme : int´}egrale de Poisson

Dans ce probl`eme, on propose le calcul pour α ∈R\ {−1,1}, de l’int´egrale de Poisson : I(α) =

π

−π

ln(α²−2αcosx+ 1) dx.

II.1.

II.1.a Soit x∈[−π, π] fix´e. D´emontrer que

∀t ∈R\ {−1,1}, t²−2tcosx+ 1 >0. II.1.b En d´eduire que l’int´egrale de Poisson est bien d´efinie.

Cas o` u α ∈] − 1, 1[

On suppose dans toute cette sous-section, que α∈]−1,1[.

Pour n∈N^∗, on d´efinit sur R la fonction fn par :

f_n(x) = αⁿcos(nx)

n .

2/3

II.2. D´emontrer que la s´erie de fonctions

n1

f_n converge normalement sur R. On note ainsi f sa somme, c’est-`a-dire :

∀x∈R, f(x) =

+∞

n=1

αⁿcos(nx)

n .

II.3.

II.3.a Calculer pourn 1, l’int´egrale

π

−π

cos(nx) dx. II.3.b En d´eduire avec soin que

π

−π

f(x) dx= 0.

II.4. Exprimer la valeur de f(0) `a l’aide de ln (on pourra utiliser un d´eveloppement en s´erie enti`ere de la fonction t�→ln(1 +t)).

II.5. D´emontrer que la fonctionf est de classeC¹ surRet ´ecriref^′(x) sous forme d’une somme de s´erie.

II.6. Soit x un r´eel.

II.6.a Calculer la partie imaginaire deZ = e^ix 1−αe^ix.

II.6.b Exprimerf^′(x) `a l’aide de la partie imaginaire de Z, en d´eduire que : f^′(x) = −αsinx

α² −2αcosx+ 1. II.7. En d´eduire deux r´eelsa etb, tels que :

∀x∈R, f(x) =aln(α²−2αcosx+ 1) +b.

II.8. Donner alors la valeur de l’int´egrale de Poisson lorsque α∈]−1,1[.

Cas o` u |α| > 1

On suppose dans toute cette sous-section, que |α|>1.

II.9. D´eterminer une relation entre I(_α¹) et I(α), en d´eduire la valeur de I(α) lorsque|α|>1.

Fin de l’´enonc´e

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IMPRIMERIE NATIONALE – 16 1362 – D’après documents fournis