RS T A UV W

(1)

TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL EI3 2001-2002 Devoir surveillé N°1

Durée 2h avec documents ______________

I – CONVERSION ANALOGIQUE-NUMERIQUE

Un système de traitement numérique audio comprend un convertisseur analogique- numérique à N = 16 bits fonctionnant en mode bipolaire. La pleine échelle du signal d’entrée est [-A_max, +A_max] avec A_max = 4,096 V. La fréquence d’échantillonnage est f_e = 48 kHz.

1) Calculer le pas de quantification q et la puissance P_q du bruit de quantification.

2) On applique à l’entrée le signal analogique : x t_a( )= ⋅A sin(2πf t₀ )

Exprimer et représenter graphiquement la signal numérique x(n) obtenu par échantillonnage à la fréquence f_e de x_a(t) pour f₀ = 6 kHz.

3) Donner une expression de la puissance Px de x(n) calculable exactement.

En déduire le rapport signal à bruit en décibels pour A = 2 V.

4) Refaire ce calcul pour A = A_max et comparer le résultat obtenu à celui déduit de la formule statistique du cours.

5) On intercale à l’entrée du CAN un échantillonneur-bloqueur.

Expliquer, en quelques lignes, l’utilité de ce dispositif.

6) Quelle est la fréquence maximale théorique f_max du signal d’entrée x_a(t) ?

7) Calculer l’incertitude maximale ∆t sur l’instant d’échantillonnage (gigue) pour une fréquence maximale f_max = 20 kHz.

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II – REPONSE TEMPORELLE

1) Un SLIT a pour réponse impulsionnelle h n( )=

RS T A

^{0 0 1}

UV W

^.

Quelle est la réponse y(n) à un signal x(n) quelconque ?

Représenter graphiquement y(n) pour x(n) = u(n) (échelon unité).

2) On considère deux systèmes de réponses impulsionnelles h₁(n) et h₂(n) en cascade.

Quelle est la réponse impulsionnelle globale h(n) ?

Application : Calculer et représenter graphiquement h(n) pour : h n₁ 1 0 0 25

( ) ,

=

RS T A UV W

^et^{h n}²^{( )}⁼^{a u n}ⁿ^⋅ ^{( )} avec a = 0,5 3) Soit le signal x n( ) cos=

RS T

n^π²

UV W

^.

a) Représenter graphiquement x(n).

b) Quelle est l’expression du signal analogique x_a(t) initial et la valeur de sa fréquence f₀ sachant qu’il a été échantillonné à la cadence f_e = 40 kHz ?

c) x(n) est appliqué à l’entrée d’un filtre de réponse impulsionnelle h n( )=

RS T A

^{1 0 1}

UV W

. Calculer le signal de sortie y(n).

(2)

III - REPONSE EN FREQUENCE

Un filtre « réjecteur » a pour réponse impulsionnelle h n( )=

RS T A

^{1 0 1}

UV W

1) Calculer sa réponse en fréquence H(f) qui pourra s’écrire sous la forme H f( )=G f e( )⋅ ⁻^{j fT}^2π ^e dans laquelle G(f) est une fonction réelle.

2) Tracer les courbes représentatives du module |H(f)| et de la phase ϕ(f).

Quelle est la fréquence éliminée par ce filtre ? 3) Ecrire la relation de récurrence de ce filtre.

Est-il récursif ?

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