Licence de Math´ematiques Orsay 2005–06 Troisi`eme semestre - Arithm´etique
Feuille d’exercices no4 Corps et Polynˆomes
1 - Exemples de corps
Lesquels des ensembles suivants sont des corps :N,Z,D(l’ensemble des nombres d´ecimaux),Q, Z[i] ={a+ib,(a, b)∈ Z2},Q[i] ={a+ib,(a, b)∈ Q2},R, C, Q?,R?, C?,Z/5Z, Z/18Z ? Mˆeme question avec Z[√3
2] ={a+b√3 2 +c√3
4,(a, b, c)∈Z4}etQ[√3
2] ={a+b√3 2 +c√3
4,(a, b, c)∈Q4}, et avecK[X] o`uKest un corps.
2 - Calculs dans Q[j]
Dans cet exercice, on notej le nombre complexe −1+i
√ 3
2 .
1. Exhiber un polynˆome P ∈ Q[X] unitaire, de degr´e 2, tel que P(j) = 0. D´emontrer qu’il est irr´eductible dansQ[X].
2. D´emontrer queQ[j] ={a+bj, (a, b)∈Q2} est un corps.
3. Dans ce corps, calculer explicitement le produit de deux ´el´ementsa+bj eta0+bj0.
3 - Calculs de pgcd
1. Calculer le pgcd des polynˆomesXn−1 et Xm−1 en fonction de celui des entiersnetm.
2. Calculer les pgcd suivants, par deux m´ethodes : la d´ecomposition en facteurs premiers et l’algorithme d’Euclide :
pgcd(X3−5X2+ 6X, X2−7X+ 12),
pgcd(2X3−4X2−110X+ 112, X3+ 4X2−15X−18).
3. Calculer les pgcd suivants, par la m´ethode d’Euclide :
pgcd(X3+X2+X+ 1, X5+X4+X3+X2+ 1), pgcd(X5+ 4X2+ 3X+ 1, X4+ 3X3+ 5X−2), pgcd(X3−X2+X−1, X4+ 3X3−X2+ 3X−2).
4 - Relations de Bezout
Pour chaque couple (a, b) ci-dessous, d´emontrer que a et b sont premiers entre eux et construire une relation de Bezout de la forme au+bv= 1 :
(a, b) = (X6−1, X2+ 1), (a, b) = (X3+X+ 1, X4−3X2),
(a, b) = (X4+ 1, X3−1).
5 - Racines rationnelles des polynˆomes de Z[X]
Soit P(X) =a0+a1X+. . . anXn∈Z[X] un polynˆome, avecn≥1 et an6= 0.
1. Soit p/q une fraction, ´ecrite sous forme irr´eductible, telle que P(p/q) = 0. En consid´erant qnP(p/q), d´emontrer queq diviseanet que p divisea0.
2. D´emontrer que si P est unitaire (c’est-`a-dire an = 1) alors toutes ses racines rationnelles sont enti`eres.
3. D´emontrer que√ 2, √3
2 et √4
2 sont des nombres irrationnels. Plus g´en´eralement, montrer que si aetbsont deux entiers strictement positifs alors √a
best soit un nombre entier, soit un nombre r´eel irrationnel.
6 - Irr´eductibilit´e et existence de racines Soient Kun corps, etP ∈K[X] un polynˆome.
1. D´emontrer que siP est irr´eductible de degr´e ≥2 alors P n’a aucune racine dans K.
2. R´eciproquement, d´emontrer que si P est de degr´e 2 ou 3 et n’a aucune racine dans K, alors P est irr´eductible dansK[X].
3. Le polynˆome X3−2 est-il irr´eductible dansQ[X] ? Mˆeme question dansR[X] puis dans C[X].
4. D´ecomposer le polynˆome X4 + 1 en produit de polynˆomes irr´eductibles, respectivement dans C[X],R[X] etQ[X]. En d´eduire que l’hypoth`ese sur le degr´e deP dans la question 2 est n´ecessaire.
5. D´ecomposer le polynˆome X3+ 3X+ 1 en produit de polynˆomes irr´eductibles, dans (Z/5Z)[X]
puis dans (Z/7Z)[X].
6. Donner la liste de tous les polynˆomes de degr´e 3 `a coefficients dans Z/2Z, et dire lesquels sont irr´eductibles.
7 - Le petit th´eor`eme de Fermat
Soientpun nombre premier, eta∈Zqui n’est pas multiple dep. D´emontrer queap−1 ≡1 modp.
En d´eduire le reste dans la division euclidienne de 20062006 par 7.
8 - Infinit´e de polynˆomes irr´eductibles
Soit Kun corps. D´emontrer qu’il y a une infinit´e de polynˆomes irr´eductibles dans K[X].
9 - Un id´eal qui n’est pas principal
On a vu en cours que tout id´eal de K[X], o`u K est un corps, est principal c’est-`a-dire s’´ecrit P(X)K[X] pour un certain polynˆome P. Dans cet exercice, on va montrer que cette conclusion n’est plus vraie si on remplaceK parZ. Pour cela, on consid`ere l’id´ealJ form´e par les polynˆomes de Z[X] de la forme 2A+XB avec A, B ∈Z[X].
1. V´erifier que J est bien un id´eal.
2. Supposons que J = P(X)K[X] pour un certain polynˆome P ∈ Z[X]. D´emontrer que P est forc´ement constant, puis queP = 1. Trouver un polynˆome `a coefficients entiers qui n’est pas dans J, et en d´eduire une contradiction.
10 - Polynˆome interpolateur
Soient Kun corps, eta, b∈Kdeux ´el´ements distincts.
1. Etant donn´es deux ´el´ementsλ, µ∈K, montrer qu’il existe un et un seul polynˆomeR∈K[X] de degr´e ≤1 tel que R(a) =λetR(b) =µ. Donner une formule pour le calculer.
2. A l’aide de la premi`ere question, comment calculer le reste dans la division euclienne d’un polynˆome P ∈K[X] par (X−a)(X−b) ?
3. QuandK=R, quel est le reste dans la division euclienne deX7−23X3+ 11X−1 parX2−1 ?
