Coll`ege ST ANNEE UNIVERSITAIRE 2014/2015
Parcours : Licence de Math´ematiques UE : G´eom´etrie Diff´erentielle (N1MA6011)
Date : 4/05/2015 Heure : 14h00 Dur´ee : 3h00 Documents : Non autoris´es. Calculette : autoris´ee Epreuve de Mr : Bessi`eres. Sujet : 2 pages
Exercice 1 (Question de cours).
1) (a) D´efinir submersion et immersion.
(b) Soit f :Rn→Rmlisse. Montrer queg:Rn×Rm→Rmd´efinie parg(x, y) =y−f(x)est une submersion. Montrer queh:Rn→Rm×Rm d´efinie parh(x) = (x, f(x))est une immersion.
2) SoitΣ⊂R3 une surface lisse.
(a) D´efinir la seconde forme fondamentaleII de Σ.
(b) Montrer que la courbure K d’une courbe r´eguli`ere c ⊂ Σ param´etr´ee par longueur d’arc satisfait
K ≥ |II(c′, c′)|
3) SoitT unk-tenseur sur un espace vectoriel E et σ une permutation de{1, . . . , k}. On note σT lek-tenseur d´efini par
σT(v1, . . . , vk) =T(vσ(1), . . . , vσ(k))
Montrer queσ◦αT =σ(αT). En d´eduire que T est altern´e si et seulement si σT =ε(σ)T pour toute permutationσ. (ε(σ) d´esigne la signature).
Exercice 2.
Soit α∈Ω(R2\ {0}) d´efinie parα(x, y) = (xdy−ydx)/(x2+y2).
(1) V´erifier que αest ferm´ee.
SoitI un intervalle ouvert de Ret soitγ :I→R2 une courbe r´eguli`ere de classeC2 param´etr´ee par longueur d’arc.
(2) Expliciterγ′∗α sous la forme f(t)dt (t∈I). Interpr´eter g´eom´etriquement la fonction|f|. (3) `A partir du cas o`u γ(t) = (cos(t),sin(t)) (t∈R), prouver queα n’est pas exacte.
(4) On consid`ere la carte polaire
Φ :]0,∞[×]−π, π[→R2\(]− ∞,0]× {0}), Φ(r, θ) = (rcos(θ), rsin(θ)).
ExprimerΦ∗(α).
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Exercice 3.
Soitγ : [−1,1]→R2 une courbe lisse, r´eguli`ere, param´etr´ee par longueur d’arc, injective. On noteU l’ouvert ]−1,1[×R⊂R2 et on d´efinit
h: U→R3, h(u, v) = (γ(u), v).
1) Montrer que h est un plongement (indication : montrer que γ est un hom´eomorphisme de l’in- tervalle ferm´e [−1,1]sur son image). On note Σ =h(U) la surface param´etr´ee par h.
2) Donner une base du plan tangent en un point quelconque. Montrer que toute courbe dansΣ de la forme
t7→h(at+b, ct+d), (a, b, c, d∈R) est une g´eod´esique.
3) D´emontrer que toute g´eod´esique de Σ est de cette forme (on pourra ´ecrire une g´eod´esique c(t) =h(u(t), v(t))et montrer que u′′ =v′′ = 0).
4) Donner une autre preuve de 3) sans calculs, en utilisant un r´esultat du cours.
5) Calculer la premi`ere forme fondamentale de Σ. Est-ce coh´erent avec la question pr´ec´edente ? 6) Calculer l’endomorphisme de Weingarten deΣ(on prendra l’application de Gauss orient´ee comme
∂uh∧∂vh). Peut-on interpr´eter les courbures principales comme des courbures de courbes deΣ?
Exercice 4. On se propose de montrer un th´eor`eme d’Archim`ede : Si une sph`ere S2 est plac´ee dans un cylindre vertical de rayon 1, la projection horizontale radiale (de centre l’axe z) de S2 sur le cylindre pr´eserve l’aire.
On param`etre une partie de S2 par h1 :V→U1 ⊂S2, o`u V =]0, π[×]0,2π[⊂R2 et h1(u, v) = (sin(u) cos(v),sin(u) sin(v),cos(u)).
On notepla projection horizontale radiale d’axezqui envoie(x, y, z), o`u(x, y)̸= (0,0), sur l’unique (λx, λy, z)∈S1×Rtel queλ >0.
1) (a) Calculerp.
(b) Montrer que p est un hom´eomorphisme de S2\ {(0,0,1),(0,0,−1)} sur S1×]−1,1[=:C (on pourra d´eterminer p−1 entre ces espaces).
(c) Montrer queU2 :=p(U1) est le compl´ementaire dansC de la droite{x= 1, y = 0}. 2) On pose h2 =p◦h1 :V→U2⊂C. Montrer que
h2(u, v) = (cos(v),sin(v),cos(u))
et queh2 est une param´etrisation de U2 (on admet que h1 est une param´etrisation de U1).
3) Calculer les premi`eres formes fondamentales des param´etrisationsh1 et h2.
4) En d´eduire que p pr´eserve l’aire des domaines ⊂ U1 (c’est-`a-dire Aire(A) = Aire(p(A)) si A⊂U1). Conclure.
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